1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если Землю (планету) рассматриватькак однородный шар (или шар, состоящий из однородных концентрических слоев), то на точку М с массой т, находящуюся вне шара на расстоянии г от его центра О (или находящуюся на поверхности шара), будет действовать сила тяготенияF, направленная к центру О (рис. 234), значение которой определяется формулой(5) из § 76. Представим эту формулу в видеF=km!r*и определим коэффициент k нэ того условия, что, когда точка находится на поверхности Земли (r=R, где R — радиус Земли), сила притяжения равна mg, где g —ускорение силы тяжести (точнее силы тяготения) на земной поверхности.
Тогдадолжно бытьmg=km/R* и k ^ g R 1.Подсчитаем сначала элементарную работу силы Т. Как видно из рисунка, адементарное перемещение ММ' точки М можно разложить на перемещение Ма, численно равнее приращению dr расстояния ОМ=г и направленное вдоль ОМ, и наперемещение 'Mb, перпендикулярное ОМ, а следовательно, и си л е?. Поскольку наэтом втором перемещении работа силы F равна нулю, а перемещение Ма направлено противоположно силе, тоd A = -F d r= -k m -^ -= -m g R * ^ -.(49)Допустим теперь, что точка перемещается из положения Afe, где г = г в, • положение Mlt где г—г1.
Тогдаj сМ = - m * /? 3 j(М*)г,=*mgR%^ dг,или окончательно—---- ^Работа будет положительной, если г0>г1, т. е. когда конечное положение точкиближе к земной поверхности, чем начальное, и отрицательной, если r0<rt . От видатраектории точки М работа силы тяготения, как видно из формулы (50), не зависит. Следовательно, сила тяготения является потенциальной.f 80. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙЭНЕРГИИ ТОЧКИ, Введем понятие еще об одной основной динамической характеристике движения — о кинетической энергии. Кинетической анергией материальной точки называется скалярная величина nw*l2,равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы(в СИ — 1 Дж). Найдем зависимость, которой связаны эти две величины.213Рассмотрим материальную точку с массой т, перемещающуюсяиз положения M t, где она имеет скорость v0, в положение М и где ееСКОрОСГЬ V i .Для получения искомой зависимости обратимся к выражающемуосновной закон динамики уравнению ma=luFh.
Проектируя обе егочасти на касательную М х к траектории точки М , направленнуюв сторону движения, получимВходящее сюда касательное ускорение точки представим в видеdo dsds i t ~ivisВ результате найдем, чтоУмножим обе части этого равенства на ds и внесем т под знакдифференциала. Тогда, замечая, что f ikxd s = d /lft, где di4fc — элементарная работа силы Fh, получим выражение т е о р е м ы о бизменении кинетитеской энергии точки вд и ф ф е р е н ц и а л ь н о й форме:(51)Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах,соответствующих значениям переменных в точках М„ и M it найдемокончательно(52)Уравнение (52) выражает т е о р е м у о б и з м е н е н и ик и н е т и ч е с к о й энергии точки вконечномвиде:изменение кинетической энергии тонки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точкусил на том же перемещении.С л у ч а й н е с в о б о д н о г о д в и ж е н и я .
При несвободном движении точки в правую часть равенства (52) войдет работазаданных (активных) сил F% и работа реакции связи. Ограничимсярассмотрением движения точки по неподвижной гладкой (лишеннойтрения) поверхности или кривой. В этом случае реакция N (см.рис. 233) будет направлена по нормали к траектории точки и N x= 0.Тогда, согласно формуле (44), работа реакции неподвижной гладкойповерхности (или кривой) при любом перемещении точки будетравна нулю, и из уравнения (52) получим(52')214Следовательно, при перемещении по неподвижной гладкой поверхности (или кривой) изменение кинетической энергии точкиравно сумме работ на этом перемещении приложенных к точкеактивных сил.Если поверхность (кривая) не является гладкой, то к работеактивных сил,прибавится работа силы трения (см.
§ 88). Если же поверхность (кривая) движется, то абсолютное перемещение точки Мможет не быть перпендикулярно N и тогда работа реакции Nне будет равна нулю (например, работа реакции платформы лифта).Р е ш е н и е з а д а ч . Теорема об изменении кинетическойэнергии [формула (52)1 позволяет, зная как при движении точкиизменяется ее скорость, определить работу действующих сил (первая задача динамики) или, зная работу действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задачадинамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надовычислить их работу. Как видно из формул (44), (44'), это можносделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только отположения (координат) движущейся точки, как, например, силыупругости или тяготения (см.
§ 88).Таким образом, формулу (52) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в числоданных и искомых величин входят: действующие силы, перемещениеточки и ее начальная и конечная скорости (т. е.
величины F, s,Vo, v ^, причем силы должны быть постоянными или зависящимитолько от положения (координат) точки.Теорему в дифференциальной форме [формула (51)] можно, конечно, применять при любых действующих силах.Задача 08. Груз массой т = 2 кг, брошенный со скоростью о0=20-м/с из пункта А, находящегося на высоте Л =5м (рис. 235), имеет в точке падения С скорость1),= 16 м/с. Определить, чему равна работа действующей на груз при его движении силы сопротивления воздуха Л.Р е ш е н и е . На груз при его движении действуют сила тяжести Р и сила сопротивления воздуха 7?. По теореме об изменении кинетическойэнергии, считая груз материальной точкой, имеемmvl/2— mvl/2 = А(Р)-\-А (R).Из этого равенства, так как согласно формуле (47) А (Р)= ЯЛ, находимРис.
235A (R) = mv\l2 — mvl/2— mgfi = — 242 Дж.Задача 99. При условиях задачи 96 (см. § 84) определить, какой путь пройдетгруз до остановки (см, рис, 223, где М0 — начальное положение груза, а Мх —конечное)._Р е ш е н и е . На груз, как и в задаче 96, действуют силы ¥, N, F. Для определения тормозного пути s1=AfoAli, учитывая, что в условия данной задачи вхо»дят St, и0, Pi и постоянная сила F, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергиити*/2=2ЛшдЛ||>216В рассматриваемом случае Oj=0 f a — скорость груза в момент остановки).Кроме того, А (Р )= 0 и A (N)—0, так как силы Р и N перпендикулярны перемещению, A (F )= —Fsi, поскольку /■= const. В итоге получаем —ffwJ/2=—откуданаходимSi — mv*/2F.По результатам задачи 96 время торможения растет пропорционально начальной скорости, а тормозной путь, как мы нашли,— пропорционально квадрату начальной скорости.
Применительно к наземному транспорту это показывает, каквозрастает опасность с увеличением скорости движения.Задача 100. Груз весом Р подвешен на нити длиной /. Нить вместе с грузомотклоняют от вертикали на угол ф0 (рис. 236, а) и отпускают_без начальной скорости. При движении на груз действует сила сопротивления R, которую приближенно заменяем ее средним значением R * (R * = const). Найти скорость груза в тотмомент времени, когда нить образует с вертикалью угол <р.Р е ш е н и е . Учитывая условия задачи, воспользуемся опять теоремой (52):mv*/2— m v i/2 = 1АШаМ).(а)Н а'груз действуют сила тяжести Р, реакция нити N и’сила сопротивления,представленная ее средним значением R*.
Для силы Р по формуле (47) А (P)=Ph ,для силн N, так как Nx=0, получим A {N)= 0, наконец, для силы R *, так какR * = const и R x= —R *. по формуле (45) будет A (R .*)=—/? *s=—R(длина $ дуги МЛМ равна произведению радиуса I на центральный угол ф0—<р).Кроме того, по условиям задачи и0= 0 , a m=P!g.
В результате равенство (а) дает:Pv*ftg=Ph — R*l(<pt — <р) и v = V 2 g h — 2gl (ф0 —ф) R*/PПри отсутствии сопротивления получаем отсюда известную формулу Галилеяо=справедливую, очевидно, и для скорости свободно падающего груза(рас. 236, б).Рис. 236Рис. 237В рассматриваемой задаче A=/cos<p—/cos<p0.
Тогда, введя еще обозначение* — средняя сила сопротивления, приходящаяся на единицу весагруза), получаем окончательноR * 1 Р = к * (кV — У 2 й / [ С 0 3 ф — С О Зф о — * * ( ф 0 — ф ) ЬЗадача 101. Пружина клапана имеет в недеформированном состоянии длину*,—6 см. При полностью открытом клапане ее длина / = 4 см, а высота подъемаклапана 4= 0,6 см (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
