1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 46
Текст из файла (страница 46)
К такому же выводу можно прийти, если, учесть, что площади пунктирно заштрихованных на рис. 227 секторов, ометаемых за одинаковые промежутки времени, должны быть равны;следовательно, за одно и то же время планета вблизи точки 77 должна пройтибольший путь, чем вблизи А.Аналогичный результат имеет место при движении спутника.207i 87. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ^Д ля характеристики действия, оказываемого силой на тело гфинекотором его перемещении, вводится понятие о работе силы, широко используемое не только в механике. Сначала введем понятие обэлементарной работе.Элементарной работой силы F, приложенной в точке М(рис.
228), называется скалярная величина *(L4 = F Tds,(40)где Fx — проекция силы F на касательную М х к траектории точкиМ , направленную в сторону перемещения этой точки (или проекция F на направление скорости v точки Af); ds — модуль элементарного перемещения точки М .Такое определение соответствует представлению о работе како мере того действия силы, которое приводит к изменению модуляскорости точки. Если разложить силу F на составляющие Fx и F„,то изменять модуль скорости будет Fx, так как Fx==max= m 'dv/dt(составляющая Fn изменяет или направление вектора V, или принесвободном движении — силу давления на связь).Замечая, что Fx—F cos а , где а — угол между F и Мх, получим из (40) другое выражение для <L4:dA —Fds cos a.(41)Если угол a острый, то работа положительна.
В частности, прио = 0 элементарная работа dA —Fds.Если угол а тупой; то работа отрицательна. В частности, приа = 1 8 0 ° элементарная работа dA = —Fds.Если угол a =90°, т. е. если- сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна,когда составляющая Fx направлена в сторону движения (силаускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющаяF T направлена противоположно направлению движения (силазамедляет движение).Если учесть, 4 T o d s= |d r|, где dг — вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебрыпонятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство(41) можно представить в виде **__________d/4 = F •dr.(42)*Здесь dA (как H'dS в § 83) — символ элементарной величины, но не диффренциала.
Дифференциалом какой-нибудь функции величина dA вообще можетне быть (см. § 126)._** Скалярным произведением двух векторов а и"5 называется скалярная величина, определяемая равенством в* b=ab cos а , где а — угол .между векторами "аи Ь. Выражение скалярного произведения через проекции векторов а и ~Ь на координатные оси- имеет вид в - b=oxbx-)-al/bl/-\-at bl .208Следовательно, элементарная работа силы равна скалярномупроизведению силы на вектор элементарного перемещения танки ееприложения.Если в формуле (42) выразить скалярное произведение черезпроекции векторов F и г на координатные оси и учесть, что г х — х ,гу—у, гг=г, то получим аналитическое выражение элементарнойработыd A = F xd x + F yd y + F zdz,_ (43)в котором х, у, г — координаты точки приложения силы F.Рис.
229Работа силы на любом конечном перемещении AloMi (рис. 228)вычисляется как предел интегральной суммы соответствующихэлементарных работ(М.)$ Fx ds,(44)(М.)илиA (u ,Mt)= $ (Fx dx + Fv dy + FI dz).(44')<Af.)Следовательно, работа силы на любом перемещении МоМх равнавзятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарнойработы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменныхинтегрирования в точках М 0 и М х (точнее говоря, интеграл беретсявдоль кривой M tM i, т. е.
является криволинейным).Если величина F-, постоянна (FT=const), то из (44), обозначаяперемещение M„Mi через sx, получим'4(м,л11) = ^т®1(45)В частности, такой случай может иметь место, когда действующая сила постоянна по модулю и направлению (F = const), .а точка,к которой приложена сила, движется прямолинейно (рис. 229).В этом случае Fx=Fcos а = const иЛ<м,м.) = Fst cos а .(45')Единицей измерения работы является в СИ — 1 джоуль (1 Д ж == 1 Н •м = 1 кг*м2/сг), а в системе МКГСС— 1 кГ -м.14-1870209Г р а ф и ч е с к и й с п о с о б в ы ч и с л е н и я р а б о т ы . Если силазависит, от расстояния « и известен график зависимости F%от $ (рис.
230), то работу силы можно вычислить графически. Пусть в положении Л10 точка находитсяот начала отсчета на расстоянии %, а 6 положении М{ — на расстоянии Si. Тогдапо формуле (44), учитывая геометрический смыслинтеграла, получимМ,)= J ft< ls = 0 ,*•где о — величина заштрихованной на рис. 230 площади, умноженной на масштабный коэффициент.М о щ н о с т ь . Мощностью называетсявеличина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работасовершается равномерно, то мощность N*=Altit где h — йремя, втечение которого произведена работа А . В общем случаеN == dAjdt = Fx ds/dt = Fxv.(46)Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.Единицей измерения мощности в СИ является ватт (1 В т== 1Дж/с), а в системе МКГСС— 1 кГ.-м/с.
В технике за единицумощности часто принимается 1 л. с., равная 736 Вт (или 75 кГ «м/с).Работу, произведенную машиной, можно измерять произведениемее мощности на время работы. Отсюда во'зникла употребительная втехнике единица измерения работы киловатт-час (1 кВт >4=3,6 хх10* Д ж «367100 кГ-м).Из равенства N = F xv видно, что у двигателя, имеющего даннуюмощность N , сила тяги Fx будет тем больше, чем меньше скорость v.Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полноймощности двигаться с меньшей скоростью и развивать ббльшуюсилу тяги.| 88. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАБОТЫРассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можнонепосредственно пользоваться при решении задач.1.Р а б о т а с и л ы т я ж ё с т и .
Пусть точка М , на которудействует сила тяжести ~Р, перемещается из положения М 0(х0,у», г0) в положение M l {xi< у и *i). Выберем координатные оси так,чтобы ось Ог была направлена вертикально вверх (рис. 231). ТогдаР х —О, P v= 0, Р г= — Р. Подставляя эти значения в формулу (44'),получим, учитывая, что переменным интегрирования является гзZ|S (— Р) d z ^ P {z t— гх).*•210Если, точка М„ выше M i, то z0—Zi=A, где h — вертикальноеперемещение точки; если же точка М й ниже точки Мх, то г„—гх=>= — (?!—20) = —А.Окончательно получаемА щ ,м ,) = ± Ph.(47)Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со знакомплюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения.
Работа положительна, если начальнаяточка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка нижеконечной.Из полученного результата следует, что работа силы тяжести независит от вида той траектории, по которой перемещается точка ееприложения. Силы, обладающие таким свойством, называютсяпотенциальными (см. § 126).2.Р а б о т а с и л ы у п р у г о с т и . Рассмотрим груз М ,лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис. 232, а). На плоскости отметим точкой О положение, занимаемое концом пружины, когда она ненапряжена (АО ~10 — длина ненапряженной пружины), и примемэту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз отравновесного положения О, растянув пружину до величины I,то пружина получит удлинение %=1—/0 и на груз будет действоватьсила упругости F, направленная к точке О.
Так как в нашем случаеА,=*, то по формуле (6) из § 76F=cA,=c|x| и F x —— cx.Последнее равенство справедливо и при jcCO (груз левее точки О);тогда сила F направлена вправо и получится, как и должно быть,F*>0.Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения М в(х0) в положение Afi(jcj). Так как в данном случае F x — —сх,’ F y= F z= 0 , то, подставляя эти значения вформулу (44'), найдемJ ( —cx)dx =(x|—xj).(Этот же результат можно получить по графику зависимости Fот х (рис. 232, б), вычисляя площадь о заштрихованной на чертежетрапеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле х0 представляет собой начальное удлинение пружины Х0, a xt — конечноеудлинение пружиныСледовательно,Л (м .м1, ^ ! № - * ! ) ,(48)т.
е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.Работа будет положительной, когда k0> ^ i, т. е. когда конецпружины перемещается к равновесному положению, и отрицательной, когда Я,д<А,1, т.
е. когда конец пружины удаляется от равновесного положения.Можно доказать, что формула (48) остается справедливой и вслучае, когда перемещение точки М не является прямолинейным.Таким образом, оказывается, что работа силы Т зависит толькоот значений Х0 и Хх и не зависит от вида траектории точки М.
Следовательно, сила упругости также является потенциальной.3.Р а б о т а с и л ы т р е н и я . Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис. 233) иликривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю fN ,где / — коэффициент трения, a N — нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки.Следовательно, FTP т= —Fip= —/jV и по формуле (44)(м.)(м;>Л (м,м1) = — S FTpds = — I ' f Nd s .т „ )212(м .)Если численно сила трения постоянна, то А ш м ^ ~ —где s — длина дуги кривойпо которой перемещается точкаТаким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Так как эта работа зависит от длины дуги Af0Af1( то,следовательно, сила трения является силой непотенциальной.4.Р а б о т а с и л ы т я г о т е н и я .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
