1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 44
Текст из файла (страница 44)
РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИВ случае криволинейного движения точки основная задачадинамики решается с помощью дифференциальных уравнений движения, полученных в § 77. Если задача решается в прямоугольныхдекартовых координатах, т. е. с помощью уравнений (10), то начальные условия, определяющие положение и скорость точки в начальный момент времени /= 0 , задаются в виде:При < = 0 Х —Хо, У=Уо, z= z„\Da(=l>j[o,oi(23)197Проинтегрировав уравнения (10), находят координаты х, у, г движущейся точки, как функции времени t, т.
е. определяют закон движения точки. При этом полученные решения будут содержатьшесть постоянных интегрирования Си Cit. . ., С„ значения которых должны определяться по начальным условиям (23).Конкретный ход решения показан в рассматриваемой ниже задаче.Д в и ж е н и е точки, б р о ш е н н о й под у г л о м кгоризонтальнойплоскостив однородномп о л е т я ж е с т и . Изучим движение тела, брошенного с начальнойскоростью 1>0, направленной под углом а к горизонтальной плоскости,рассматривая его как материальнуюточку с массой т. При этом сопротивлением воздуха пренебрегаем, аполе ^тяжести будем считать однородным (P=const), полагая, что дальность полета и высота траектории малы по сравнению q радиусом Земли.Поместим начало координат О в начальном положении точки.Направим ось Оу вертикально вверх; горизонтальную ось Ох расположим в плоскости, проходящей через Оу и вектор о0, а ось Огпроведем перпендиулярно первым двум осям (рис.
220). Тогда уголмежду вектором v0 и осью Ох будет а.Изобразим двужущуюся точку М в произвольном положении.На нее действует только одна сила тяжести Р (см. примечание кзадаче 93 в § 80), проекции которой на координатные оси равны:Р х= 0, Р у= —Р = —mg, Р г= 0.Подставляя эти величины в уравнения (10) и замечая, чтоd*x/df*=d»J[/df и т.
д., после сокращения на т получим:dVydtУмножая обе части этих уравнений на d/ и интегрируя, находимvx=Ci, v„=—g t+ C t, vz= C t .Начальные условия (23) в нашей задаче имеют вид)при t —0 х —0, у —0, 2=0;t»*=u0cosa, t)„=D0sina, »z= 0 .Удовлетворяя начальным условиям, получимC1= y ,c o s o J C ,= v ,sin a , С*=0.Подставляя эти значения Си С, и С8 в найденные выше решения изаменяя и* на dx/dt и т. д., придем к уравнениям:йхdу.,dz п-^■ = Щcos a, -fi< = v,$ in a — g t, -jp = 0.Интегрируя эти уравнения, получим:x=v„t c o sa + C 4, у —v0 f s i n a —g<V2+C5, z = C ,.Подстановка начальных данных дает С4= С 5= С ,= 0 , и окончательнонаходим уравнения движения точки М в виде:jc=i>0fco sa, (/= u0f s in a —gt*!2, z —0.(24)Из последнего уравнения следует, что движение происходит вплоскости Оху.Имея уравнения движения точки, можно методами кинематикиопределить все характеристики данного движения.1.
Т р а е к т о р и я т о ч к и . Исключая из первых двух уравнений (24) время t, получим уравнение траектории точки:y — x t a a ------ . х*.9ь2wJco»*a(25)''Это уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу. Такимобразом, брошенная под углом к горизонтальней плоскости тяжелаяточка движется в безвоздушном пространстве по параболе (Галилей).2. Г о р и з о н т а л ь н а я д а л ь н о с т ь . Определим горизонтальную дальность, т. е.
измеренное вдоль оси Ох расстояниеО С=Х. Полагая в равенстве (25) у = 0, найдем точки пересечениятраектории с осью Ох. Из уравнения х [tga—g-ле/ (2^5cos,ot)] = 0 получаем* i= 0 , Jc1=(2uJcos, a*tga)/g.Первое решение дает точку О, второе — точку С. Следовательно,X —x t и окончательноX — {vlJ g) sin 2 a .(26)Из формулы (26) видно, что такая же горизонтальная дальностьX будет получена при угле {5, для'которого 2§ = 180°—2а, т. е. еслиугол ^=290°—а .
Следовательно, при данной начальной скорости«о в одну и ту же точку С можно попасть двумя траекториями:настильной (а<45°) и навесной (а>45°).При заданной начальной скорости и0 наибольшая горизонтальнаядальность в безвоздушном пространстве получается, когда s in 2 a = l,т. е. при угле а —45°.3. В ы с о т а т р а е к т о р и и . Если положить в уравнении(25) x —X/2= (vl/g) sin a cos а , то определится высота траектории Н:Н = {v\l2g) sin’ a .(26')4.В р е м я п о л е т а .
Из первого уравнения системы (24)следует, что полное время полета Т определяется равенством X =190= 0 * 7 c esa . Заменяя здесь X его значением, получимТ =г (2v jg ) sin a .(26*)При угле наибольшей дальности а* =45° все найденные величиныимеют значения:X* = vl/g,H* = vl/4g = XV4,Т* = (vjg ) V 2 .(27)Полученные результаты могут находить некоторые приложения,например, во внешней баллистике для оценки того, как изменяетсядальность полета при изменении угла а или скорости v0 на оченьмалую величину, или же для ориентировочных оценок в случаях,аналогичных рассмотренному в приводимом примере.Пример. Известно *, что немецкий снаряд ФАУ-2 после вертикального запуска имел на высоте 20 км скорость ив» 1700 м/с и угол а « 4 5 ° (поворот снаряда производился с помощью специальных приборов и рулей).
Дальнейший полет снарядапрактически происходил как полет брошенного тела в безвоздушном пространствеи на высотах, для которых можно еще грубо считать P = co n st. Тогда по формулам(27) должно быть:* * « 3 0 0 км, N * « 7 5 км, Т * « 24 5 с.Эти результаты очень близки к тем, которые имели место для данных снарядовфактически.Перваякосмическаяс к о р о с т ь . Рассмотримеще одну задачу о движении брошенного тела. Найдем, какую начальную скорость надо сообщить телу, находящемуся н& расстояниим0щR от центра Земли, чтобы оно двигалосьвокруг Земли по круговой орбите радиусаR (рис.
221); сопротивление воздуха считаем отсутствующим, а тело рассматриваемкак материальную точку.Прежде всего замечаем, что так какскорость точки в любой момент временидолжна быть направлена по касательной ктраектории, то скорость v0 следует направить перпендикулярно радиусу СМ0, гдеМ 0 — начальное положение точки.Д ля дальнейшего решения воспользуемся уравнениями (11).Рассматривая точку в произвольном положении М , проводим осиМ х и М п и изображаем действующую на точку силу тяготенияF\ численно F = m g0, где m — масса точки, g0 — ускорение силытяготения в пункте М . Так как F T= 0, а Fn—F, уравнения (11) примут вид:du Л то* г_ mv*-3 7 = 0 . - R - = F ИЛИ - j f = "lga.Из первого уравнения находим, что v= const и, следовательно,v —v„. После этого второе уравнение дает (если считать, v ro R = R 0=* См.: К о о й И.
, Ю т е н б о г а р т И. Динамика ракет. Оборонгиз, 1950.200=6378 км — радиус земного экватора, a g0= 9,82 м/с*)V» = У g,R» — 7914 м /с » 7,9 км/с.(28)Эта наименьшая скорость, которую нужно сообщить брошенномутелу, чтобы оно не упало обратно на Землю, называется круговойили первой космической скоростью (см. § 97, 98).Глава XVIIОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИДля решения многих задач динамики, особенно в динамике системы, вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, являющимися следствиями основного закона динамики.Значение общих теорем состоит в том, что они устанавливаютнаглядные зависимости, между соответствующими динамическимихарактеристиками движения материальных тел и открывают темсамым новые возможности исследования движения механическихсистем, широко применяемые в инженерной практике.
Кроме того,применение общих-теорем избавляет от необходимости проделыватьдля каждой задачи те операции интегрирования, которые раз и навсегда производятся при выводе этих теорем; тем самым упрощаетсяпроцесс решения.Перейдем к рассмотрению общих теорем динамики точки.f 83. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. ИМПУЛЬС Г И Л ЫОдной из основных динамических характеристик движения точкиявляется количество движения *.Количеством движения материальной точки называется векторная величина mv, равная произведению массы точки на ее скорость.Направлен вектор mv так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к ее траектории.Единицей измерения количества движения является в СИ —1 кг*м/с=1 Н-с, а в системе МКГСС—1 кГ *с.И м л у л ь с с и л ы .
Д ля характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводитсяпонятие об импульсе силы. Сначала введем понятие об элементарномимпульсе, т. е. об импульсе за элементарный промежуток времениdt. Элементарным импульсом силы называется векторная величинаdS, равная произведению силы F на элементарный промежуток вре*Другая основная динамическаягия — будет рассмотрена в § 89.характеристика — кинетическая энер201мени И:dS = Fdf.(29)Направлен элементарный_импульс вдоль линии действия силы.Импульс S любой силы F за конечный промежуток времени Uвычисляется как предел интегральной суммы соответствующихэлементраных импульсов, т. е.иS = $ F d /.(30)о_Следовательно, импульс силы за некоторый промежуток времениti равен определенному интегралу от элементарного импульса,взятому в пределах от нуля доВ частном^случае, если сила F постоянна и по модулю, и по направлению (F=const), то S==Fti. Причем в этом случае и модульS = F t j. В общем случае модуль импульса может быть вычислен поего проекциям на координатные оси:иииSx ~ \ F , & t , S„==$FBd/, S ,= $ F f d/.(31)ОООЕдиницей измерения импульса силы, как и количества движения,является в СИ — 1 кг «м/с, а в системе МКГСС — 1 кГ -с.§ 84.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
