1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 48
Текст из файла (страница 48)
237). Жесткость пружины с = 150 Н/м, масса клапана т =«=0,4 кг. Пренебрегая действием силы тяжести и сил сопротивления, определитьскорость клапана в момент его закрытия.Р е ш е н и е . Воспользуемся уравнениемm v l / 2 - m v l / 2 = A W tU i).(а)216По условиям задачи работу совершает только сила упругости пружины. Тогда по формуле (48) будет.А(М,М,)—С(Ч —Ч)/2В данном случаеХо=/0—1=2 см, A.i=/e—I—s ~ 1,4 см.Кроме того, t)e= 0 .
Подставляя все эти значения в уравнение (а), получимокончательнок1== Л/ — (Х |—X?) = 0,28 м/с.гт(б)Задача 102. Груз, лежащий на середине упругой балки (рис. 238), прогибаетее на величину Л*т (статистический прогиб балки). Пренебрегая весом балки, определить, чему будет равен ее. максимальный прогиб Хп , если груз упадет на балкус высоты МР е ш е н и е . Как и в предыдущей задаче, воспользуемся для решения уравнением (52). В данном случае начальная скорость груза v0 и конечная его скоростьi)j (в момент максимального прогиба балки) равны нулю и уравнение (52) принимает вид2Ак = 0.(а)Работу здесь совершают сила тяжести Р на перемещении МаМг и сила упругости балки F на перемещении М 'М х.
При этом А (Р)=Р(Н-{-кя ), A (F)== —0,5cX4i, так как для балки Х„=0, Хх=А,я . Подставляя эти величины в равенство (а), получимР (Н + Х а) - 0 ,5 с \ гт = 0 Но при равновесии груза на балке сила тяжести уравновешивается силой упругости, следовательно, Р—сХСТ и предыдущее равенство можно представить в виде—2ХСТХЯ — 2ХСТН = 0.Решая это квадратное уравнение и учитывая, что по условиям задачи должно быть Х „ > 0 , находимXm= XCI + K * £ + 2 7 7 ^ .Интересно отметить, что при Н = 0 получается Хт =2Хст. Следовательно, еслигруз положить на середину горизонтальной балки, то ее максимальный прогибпри опускании груза будет равен удвоенному статическому.
В дальнейшем грузначнет вместе с балкой совершать колебания около равновесного положения.Под влиянием сопротивлений эти колебания затухнут и система уравновеситсяв положении, при котором прогиб балки равен А.ст.-Задача 103. Определить, какую наименьшую направленную вертикальновверх начальную скорость и0 надо сообщить телу, чтобы оно поднялось с поверхности Земли на заданную высоту Н (рис. 239). Силу притяжения считать изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.Р е ш е н и е . Рассматривая тело как материальную точку с массой т, воспользуемся уравнениемm v \/2 -m v l/2 = A iM)Mi).(а)Работу здесь совершает сила тяготения F. Тогда по формуле (50), учитывая,что в данном случае r0= R , r ^ R + H , где R — радиус Земли, получимA iM ^ ^ m g R ^ lK R + fn -H R ].Так как в наивысшей точке и1= 0 , то при найденном значении работы уравнение (а) дает+ /гРассмотрим частные случаи:а)пусть Н очень мало] по сравнению с R.
Тогда HIR — величина, близкаяк нулю, Деля числитель и знаменатель на R, получим+ H1RТаким образом, при малых Н приходим к формуле Галилея;б)найдем, при какой начальной скорости брошенное тело уйдет в .бесконечность. Деля числитель и знаменатель на Н, получимW+ RI HПри Я = оо, считая средний радиус Зели #=6370 км, находимр .
- У З е В я И , 2 км/с.(б)Следовательно, тело, брошенное с поверхности Земли со скоростью 11,2 км/с,навсегда покинет поле земного тяготения. Скорость, определяемая равенством(б), называется второй космической скоростью.Можно доказать (см. гл. XX), что при начальных скоростях, лежащих приблизительно в пределах 8 км/с<и 0< 1 1 км/с, тело, брошенное по направлению касательной к земной поверхности, не упадет обратно на Землю, а превратится вземного спутника.
При начальных скоростях,меньших 8 км/с, или при негоризонтальном•бросании тело, описай эллиптическую траекторию, упадет обратно 'на Землю. Все этирезультаты относятся к движению в безвоздушном пространстве.Задача 104. Определить, пренебрегая трением, какую постоянную силу Q надо приложить к поршню 1 (площадь поршня S,начальная скорость t>0= 0 ), чтобы сжать газ,находящийся в цилиндре 2, до давления риесли начальное давление равно р0 (рис. 240).Считать, что при сжатии давление, газа ррастет обратно пропорционально его объемуV (сжатие происходит медленно, процесс изотермический).Р е ш е н и е .
На поршень действуют сила Q и сила давления газа Р. Так кану. поршня 1>0= 0 и t>i=0 , то по теореме об изменении кинетической энергииА(Р) + А @ ) = 0.(а)Направим ось Ох в сторону движения поршня, считая, что при х=0 давлениеP=Pq. Обозначим через /0 начальное расстояние поршня от дна цилиндра, а через*1 — перемещение поршня до положения, при котором 1 ^ = 0 и давление р—рх- Тан218как численно P=pS и Рх= —Р——pS, то по формуле (44')А (Р) = — J pS йх.(б)оЗависимость р от х найдем из условия, что давление обратно пропорционально объему, т. е.
plp0=V0lV, где начальный объем V0= S l0, а объем в произвольномположении V = S (l0—x). Тогда для р, а также для координаты х1г при которой р ==Pii получим выражения:Учтя эти зависимости, найдем из равенства (б)оДалее, так как Q=const, получим с учетом соотношений (в)»(Q) = Q * i = Q / o ( i - g ) = Q 'o ^ rf a .При найденных значениях работ равенство (а) дает окончательноQ = PoPl • S In —.PiРоPqЕсли Рх>Ро» то, полагая приближенно рх—p<s**pi, получимQ=PoS!n (pi/po)Сила Q с увеличением рх растет по логарифмическому закону, т.
е. довольномедленно. Например, при pl=20p0 Q «3p 05 , а при рх=50ро Q »3,9p 0S,Глава XVIIIНЕСВОБОДНОЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИf 90. НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИДвижение материальной точки будет несвободным, когда в силуналоженных связей она вынуждена двигаться по заданной поверхности или кривой. Ограничимся рассмотрением второго случая.Д в и ж е н и е точки по з а да н н о й н е п о д в и ж н о йк р и в о й . Рассмотрим материальную точку, движущуюся позаданной гладкой неподвижной кривой под действием активных силFl, Fi, .
.F% и реакции связи N (рис. 241). Выберем на кривойначало отсчета О' и будем определять положение точки М криволинейной координатойs = О'М (см. § 37). Проведем из точки М осиМхпЬ (см. § 42), т. е. касательную М х (в сторону положительногоотсчета координаты s), главную нормаль М п (в сторону вогнутостикривой) и бинормаль Mb и воспользуемся уравнениями (11) из § 77.Так как кривая гладкая, то реакция N перпендикулярна кривой,219t .
e. лежит в плоскости Mbn, потому Nx—0. В результате получимследующие дифференциальные уравнения движения точки позаданной кривой:тt j - 2или= 2<53)mvVp = ’2 l F%n + Nn, 0 = 2 F i b+ Nb.(54)Уравнение (53) не содержит неизвестной реакции N и позволяетнепосредственно определить закон движения точки вдоль кривой,т. е. зависимость s = / ( 0- Этим уравнением можно пользоваться ц{^случае, когда ^ривая не является гладкой, присоединив к силамFI силу трения FJV.
Но так как FTV= fN ,.то в этом случае в уравнение (53) через силу трения войдет еще и реакция N.Уравнения (54) служат для определения реакции связи N. Изуравнений видно, что при криволинейном движении динамическаяреакция в отличие от статической кроме действующих активныхсил и вида связи зависит еще от скорости. Эту скорость (если онане задана) можно найти или проинтегрировав уравнение (53), илиже, что обычно проще, с помощью теоремы об изменении кинетической энергии точки; в уравнение (52'), выражающее эту теорему для случая связей без трения, реакция N тоже не входит.Задача 105.
Тяжелому кольцу М, нанизанному на горизонтально расположенную гладкую проволочную окружность, сообщают начальную скорость ti„, направленную по касательной к окружности. При движении на кольцо действует сила сопротивления F = k m )f v, где т — масса кольца; v — его скорость; к — постоянный коэффициент. Найти, через сколько секунд кольцо остановится.Р е ш е н и е . Помещаем начало отсчета <У в начальном положении кольца(рМс. 242). Изображаем кольцо в произвольном положении и проводим оси Ми,Мп и Mb.
На кольцо действуют сила +яжести F, реакция N и сила сопротивленияF. Составим уравнение (53), учитывая, что Px—Nx= 0, a Fx= —F——kmyrv\ уравнение примет видmjj7=— kmV^.Отсюда, разделяя переменные и учитывая, что при / = 0 о= о0, получимАр" dot р* 1; __„В момент t—ti, когда груз останавливается, о=0. Следовательно, полагаяв полученном уравнении о=0, найдем*1 = 2 V v j k .Время движения до остановки при данном законе сопротивления являетсяконечным (см. задачу 93 в § 80).Задача 106.
В предыдущей задаче найти, какой путь % пройдет кольцо вдольокружности до остановки, считая, что на него действует не сила сопротивления,зависящая от скорости, а сила трения F = fN . Дано: радиус кольца R = 0,3 м, начальная скорость iie= 2 м/с, коэффициент трения кольца об окружность /= 0 ,3 .Р е ш е н и е . Выбираем начало отсчета (У и проводим оси Мт, Мп и Mb также,, как и в предыдущей задаче (рис. 242). Действующими на кольцо силами будут: P,~Rгде F — теперь сила трения. Составляя уравнения (53) и (54), получим:do_ me/*n nF,— Nn, Nb P — 0.По модулю F = fN = f n \ 4- Nn (было бы ошибкой вычислить силу трениякак арифметическую сумму сил fNf, и fN„).
Замечая, что N^=P= m g, находимF = fm VКак видим, сила трения зависит через реакцию N от скорости кольца. Чтобысразу найти зависимость s от v, заметим, что du/d/=dy/ds-as/d/=o-do/ds. Тогда,после сокращения на т, уравнение движения кольца примет видРазделяя переменные и беря от обеих частей равенства соответствующиеопределенные интегралы, получимооткуда- 2 fs/R = In (t/*+ Y g W + v*) - In (t£ + V g 'R '+ v l )и окончательно________„ Я■_ t'o + V^ g*/ ?* + t/jify‘ 4-В момент остановки о=0. Поэтому искомый путь, если считать приближенно________10 м/с*, будет„_Iз « 0. и „.Задача 107. Груз весом Я, подвешенный на нити длиной /, отклоняют от вертикали на угол а в положение М„ и отпускают без начальной скорости.
Определить натяжение нити в момент, когда груз дойдет до наинизшего положения Л11.Р е ш е н и е . Изображаем груз в том положении, для которого надо найтинатяжение нити, т. е. в положении Mi (рис. 243). На груз действуют сила тяжестиЯ и реакция нити Т. Проводим нормаль Муп в сторону вогнутости траекториии составляем уравнение (54), учитывая, что в нашем случае р = / . Получимmv\ll = T — P или T = P + mv\/l,где t»j — скорость груза в положении Му. Д ля определениянением (52')mv\/2— mvl/2 =воспользуемся урав(а)221Работу на участке M„Mi совершает только сила Р, Поэтому A*—Ph=^—P ip —сова).Так как t»0= 0 , то, подставляя найденное значение работы в равенство (а), получим tnd\=2Pl(\ —cosa) и окончательно найдемТ = Р (3—2 cos a).В частном случае, если угол начального отклонения о= 9 0 °, натяжение нитипри прохождении через вертикаль будет равно 3Р, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
