1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 52
Текст из файла (страница 52)
То, что период этих колебаний не зависит от начальных (или краевых) условий, а следовательно, и от амплитуды, является одним из основных свойств линейныхколебаний. Колебания, которыеУописываются нелинейными дифференциальными уравнениями, наFМ Р х00,зывают нелинейными', они упомянутыми свойствами не обладаютЛег,X(см. задачу Г15).Влияние постояннойРис. 255с и л ы на с в о б о д н ы е к о л е б а н и я т о ч к и . Пусть на точку М кроме восстанавливающей силы F, направленной к центру О (численно F=c-OM ), действует еще постоянная по модулю и направлению сила Р (рис. 255).В этом случае положением равновесия точки М , где сила Р уравновешивается силой F, будет точка 0 1( отстоящая от О на расстоянииOOi=XCT, которое определяется равенством ск„—Р илиК ^ Р 'с .(74)Величину ХС1 назовем статическим отклонением.Примем Оу за начало координат и направим ось О^х в сторонудействия силы Р.
Тогда Fx——с(л:+Л,ст) и Р Х= Р . В результате,составляя уравнение (12) и учитывая, что согласно равенству (74)сК„—Р, получим т х= —сх или x+ k*x= 0.Это уравнение, где k определяется равенством (66), совпадаетс уравнением (67). Отсюда заключаем, что постоянная сила Р, неизменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторонудействия силы на величину статического отклонения А,ст.Выразим период колебаний черезИз (74)'и (66) находим,что k*=P/mX„. Тогда равенство (71) даетГ == 2я К m kzJP.(75)Таким образом, период кйлебаний пропорционален корню квадратному из статического отклонения Хст.В частности, если силой Р является сила тяжести (как, например, в задаче 112), то P = m g и формула (75) принимает видT = 2nVK Tg.(75')Задача 112.
Груз подвешивают к концу В вертикальной пружины АВ и отпускают без начальной скорости. Определить закон колебаний груза, если в равновесном положении он растягивает пружину на величину Аст (статическое удлинение пружины).235Р е ш е н и е . Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось Ох по вертикали вниз (рис. 256). Сила упругостиF—ck. В нашем случае Х=Хст+ х . Следовательно, Fx= —с(Хст-)--*)Составляя дифференциальное уравнение движения, получимтх = — с (Лет +х)-\-Р.Но по условиям задачи сила тяжести P=mg=d.cr (в равновесном положениисила Я уравновешивается силой упругости сХс1).>В результате, введя обозначениес/т= ^ /А сх=А , 1 приведем уравнение к видуX+ k*X=*:Q.Отсюда сразу находим период колебаний груза в виде (75')Г = 2я/* = 2я V KCT/g.Решением полученного дифференциального уравнения будетх = Ci sin kt - f Cj cos kt.По начальным условиям при <=0 * = —ХСт.
^ ,= 0 . Так какvx =*x = kCi cos k t — kCt sin kt,то, подставляя начальные данные, получим С ,= —^ т, ^ = 0 . Следовательно, колебания происходят с амплитудой Хст по законуx = — XCTcos 'kt.Отсюда видно, что наибольшее удлинение пружины при колебаниях груза равно 2ХСТ. Этот результат был получен другим путем в задаче 102, где роль пружиныиграла балка.'xРис. 256Рис. 257Задача 113. Определить перцод колебаний груза весом Р, подвешенного надвух пружинах с коэффициентами жесткости с. и с., так, как похазано на рис.257, а.Р е ш е н и е . Каждая из пружин в статическом положении растягиваетсяс силой Р.
Следовательно, статические удлинения пружин будут: XiCT= P /cl ,Х*С1= Я /с ,. Тогда общее удлинение пружинПолагая Я = свквАст, найдем, чтогде с»к» — коэффициент жесткости эквивалентной пружины, заменяющей дведанные пружины. В частности, при сх= с а= с получим с,кв= с /2.236Период колебаний по формуле (75') будет7’ = 2л - | / £т аg= 2я 1 / L cJ± £ !с,с.гГ а g <V,Задача 114. Решить предыдущую задачу, считая, что груз подвешен на пружи-.нах так, как показано на рис. 257, б.Р е ш е н и е . В этом случае очевидно, что статические удлинения (сжатия)обеих пружин одинаковы. При этом сила Р уравновешивается силами упругостиCjXcx и с,Хст пружин, т. е. Р= (Ci+Cj)Act- Отсюда ем а —Ci+Ci, а период колебанийЗадача 115.
Определить период колебаний материальной точки с массой т,если действующая на нее восстанавливающая сила ¥ пропорциональна кубу отклонения точки от центра 0 (см. рис. 253) и Fx= —c1&, где ct — заданный постоянный коэффициент. В начальный момент времени <=0 координата *=*#, а ио= 0 .Р е ш е н и е . Дифференциальное уравнение движения точки составим в виде(14) (см. § 79); получим следующее нелинейное уравнение:я ю .т £ —V е или1^— nV(« •— £ ) •Умножим обе части этого уравнения на dx и возьмем (в соответствии с начальными условиями) интегралы слева от 0 до-v*, а справа от хв до х\ получимч » /2 =п * (д с « -д с 4) / 4 .(я)Так как в момент времени / = 0 их= 0 , то под действием силы ¥ (см.
рис. 253)точка начнет двигаться влево и vx <0. При *=>=—*о, как видно из равенства (а),»*=*0 и дальше под действием силы F (при ж<0 и ^**< 0, а следовательно, Fx > 0)точка будет двигаться вправо до положения х=х^, где опять ц*=0, и т. д. Такимобразом, точка совершает колебания с «амплитудой *<,.Для дальнейшего решения находим из (a) dxldt=vXl учитывая, что vx <0, получим:dxп i / - j — *;jjY 5dx-Т7=*------ т=гУ х о — *4 и d< = — --------- ,t ,.37Т Т» уИз предыдущих рассуждений следует, что время движения от положения х=«=х, до * = 0 (до точки 0) равно четверти периода.
Следовательно,Т_4“оV I Гdxn IV x l-x * 'Полагая здесь х=х<р, где г — новое переменное, и учтя, что при * = 0 и 2= 0 ,а при X—Xt будет ?= I , получимг1 £ Z .C _ J L —“ • я*о ^ V I-* * ‘Значение стоящего справа определенного интеграла (это частный вид так называемого эллиптического интеграла) можно найти из соответствующих таблиц; приближенно он равен 1,31 и тогда окончательноТя)7,4/пхл.Мы .видик» что при этих нелинейных колебаниях (в отличие от колебаний линейных) период зависит от «« и с увеличением xt я данном случае убывает,237f as.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ(ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ)Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление,создаваемое силой вязкого трения [см. § 76, формула (7)1, т. е. силой, пропорциональной первой степени скорости: R = —fiv (знакминус указывает, что сила R направлена противоположно v). Пустьна точку при ее движении действуют восстанавливающая сила Fи сила сопротивления R (рис.
258). Тогда Fx= —cx, R x= —*=—|uc, и дифференциальное уравнение движения будеттх = — сх— |juc.Деля обе части уравнения на т, получимjc-h 2frjc-h Ar*x= 0,(76)с/т = k*, ц/m = 2b.(77)где обозначеноЛегко проверить, что величины k и b имеют одинаковые размерности (1/время); это позволяет, сравнивать их с друг с другом.Уравнение (76) представляет собой дифференциальное уравнениесвободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости. Его решение, как и решение уравнения_ _ „(67), ищут в виде x = e nt. Подставляя это зна__I 5 * ~ Тчение х в уравнение (76), получим характери0м Iстическое уравнение п*+2Ьп+к*=0, корниРис. 258которого будут*1., = — b ± V ¥ ^ k ' .(78)1.Рассмотрим случай, когда k> b, т.
е. когда сопротивление посравнению с восстанавливающей силой мало. Введя обозначениеk, = V k ' — b \(79)получим из (78), что n i ,,= —b ± ik , т. е. что корни характеристического уравнения являются комплексными. Тогда общее решениеуравнения (76) будет, очевидно, отличаться от решения уравнения(67) только множителем e~bt, т. е.x = e - *f ( C j S i n ^ + C.cosAjO(80)или, по аналогии с равенством (69),x = ^ e " “ sjn(ft1/ - f а).(81)Входящие в (81) величины А и а являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.Колебания, происходящие по закону (81), называются затухающими, так как благодаря наличию множителя е _4< величина х —ОМ238(рис. 258) с течением времени убывает, стремясь к нулю.
Графикэтих колебаний показан на рис. 259 (график заключен между пунктирными кривыми x —A t~ bt и х —— Ae~bt, так как s in (M + a ) по модулю не может стать больше единицы).Промежуток времени 7\, равный периоду s in (M + a ), т. е. величинуT‘- f - 7f er ’(82)принято называть периодом затухающих колебаний. За период точка совершает одно полное колебание, т. е., например, начав двигаться из положения х = 0 вправо (см.
рис. 258), приходит в то жеположение, двигаясь также вправо. Формулу (82), если учесть равенство (71), можно еще представить в виде^2л1k_Т~« т ( 1+ т ^ ) -<82')Из полученных формул видно,что Т{> Т, т. е. что при наличиисопротивления период колебаний несколько увеличивается. Однако когда сопротивление мало (Ь<^Л), то величиной b4k%по сравнению с единицей можно пренебречь и считать 7’1« 7 \ Следовательно,малое сопротивление на период колебаний практически не влияет.Промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево)также оказывается равным 7 \ *. Следовательно, если первое максимальное отклонение вправо Xi происходит в момент U, то второеотклонение x t наступит в момент t,= ti+ T i и т. д. Тогда по формуле(81), учитывая, что fti7\= 2n, получим:= i4e-!fc,‘ sin (klt l + a),xt — Ae~bi,' +T') sin-f k 1T 1 a) = x 1e~br'.Аналогично для любого отклонения x n+i будетТаким образом, оказывается, что размахи колебаний будут убыватьпо закону геометрической прогрессии.
Знаменатель этой прогрессиие~т называется декрементом рассматриваемых колебаний, а модуль его логарифма, т. е. величина ЬТи— логарифмическим декрементом.Из всех полученных результатов следует, что малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает постепен*Моменты, когда * имеет максимум или минимум, находятся из уравненияAxldt=Ae~bt (/ijcos (fc^+a )—b sin(ife1/+ a )] = 0 . Если квадратная скобка обращается в нуль при некотором t= tlt то она, очевидно, обратится в нуль и в моменты времени ti+ T i, / 1+ 2 Г 1 и т. д., поскольку *17’1= 2 я .239вое их затухание вследствие убывания размахов колебаний по закону геометрической прогрессии.2.
Рассмотрим теперь случай, когда b> k, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозначение b*—к*=г*, найдем, что в этом случае корни характеристического уравнения (78) равны n i,,= —Ь ± г, т. е. оба действительны иотрицательны (так как т<Ь). Следовательно, решение уравнения(76), описывающее закон движения точки, имеет при b> k видx = C1e~lb*r)t + Cte~lb~r)t.Так как функция е _вТ, где а > 0 , со временем монотонно убывает,стремясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колебательным и она под действием восстанавливающей силы будет постепенно (асимптотически) приближаться к равновесному положениюлг=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
