1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Следова* Масштаб изображения в направлении оси Ох на рис. 252 сильно увеличен.230тельно, FKop=2 m(og<cosA, и первое из уравнений (60) примет видi = 2 (cog cos X) t.Так как величина, стоящая в скобках, постоянная, то, интегрируя это уравнение, получим:х= (cog co sX ^ + C j, х— (cog cosX)^/3+Cx<+C2.Подстановка начальных данных дает C j= C a= 0 . Таким образом, уравнения,приближенно определяющие закон относительного движения точки, будут:х= (cog cos A.) <*/3, у= Н —gf*/2.Движение оказывается непрямолинейным и падающая точка действительноотклоняется к востоку. Исключив из предыдущих равенств время t, получим в первом приближении уравнение траектории точки (полукубическая парабола):cos* X (Иj/)®.Полагая здесь у= 0, найдем восточное отклонение е, которое точка будет иметьв момент падения на Землю*:e = - z - cocos X 1 / ------3Уg(61)Как видим, отклонение е пропорционально угловой скорости Земли со и является величиной малой.
Например, на широте Москвы (А.=55°47', g= 9,816 м/с*)при падении с высоты Н= 100 м величина г— 1,2 см.Ряд опытов, проведенных во многих пунктах Земли разными исследователями, подтверждает правильность результата, который дает формула (61).Рассмотрим движение точки, брошенной из пункта О вертикально вверх с начальной скоростью ц>.
Сила F"0р при подъеме будет в первом приближении направлена на запад. Тогда, если направить ось Ох также на запад (рис. 252, б), то дифференциальные уравнения движения сохраняют вид (60), а начальные условия будут:при < = 0 * = 0 , у= 0, vx=0, vv= v0.При этих условиях второе из уравнений (60) дает:v„=v0—gi, y= v0t —g t2/2.(62)Тогда, считая, как и в предыдущей задаче, приближенно v= vu, получим F^op—= 2 т ш (i>0—gt)cosA, и первое из уравнений (60) примет видx= 2 (со cos А) (v0—gt).Это уравнение будет описывать движение точки и при ее падении вниз, так какпроисходящее при этом изменение направления вектора F£0р учтется изменениемзнака множителя (v0—gt)—vv.Интегрируя полученное уравнение при начальных условиях задачи, найдемокончательно* = co-cos X (v0P—g^/3).(63)Полагая в равенстве (62) у—0, найдем время движения точки до момента ее падения на Землю: tl=2v0lg.
Учитывая одновременно, что и0= Y 2 g H lt где Ну — высота подъема, определим из уравнения (63) западное отклонение точки в момент*При определении модуля и направления силы F"0р мы в первом приближении пренебрегали составляющей скорости vx, направленной на восток. Вследствие наличия этой скорости сила F”op будет иметь дополнительную составляющую, вызывающую отклонение точки к югу.
Так как х= (cog cos k)ls/3, то скоростьvx= x пропорциональна со и отклонение к югу пропорционально со8, т. е. являетсямалой величиной второго порядка.231падения:___OB = ef = w c o sA ,^ p или е*=-^- со со» X " |/ " ^ L l .(64)Из формул (61) и (64) видно, что при H i= H отклонение ej= 4e.Если движение точки может продолжаться дальше (точка бросания О не наповерхности Земли), то траектория точки, начиная от пункта В, будет все времяотклоняться на восток.Все эти расчеты относятся, как было указано, к движению в безвоздушном пространстве и учитывают влияние вращения Земли только в первом приближении;Глава XIXПРЯМОЛИНЕЙНЫЕКОЛЕБАНИЯ ТОЧКИf 94.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ УЧЕТА СИЛСОПРОТИВЛЕНИЯУчение о колебаниях составляет основу ряда областей физикии техники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и др., отлича_ются друг от друга по своей физической при— %"роде, основные законы этих колебаний во всехjLj ■* случаях остаются одними и теми же. Поэтому изучение механических колебаний являРис. 253ется важным не только по той причине, чтотакие колебания очень часто имеют местов технике, но и вследствие того, что результаты, полученные приизучении механических колебаний, могут быть использованы дляизучения и уяснения колебательных явлений в других областях.Начнем с изучения свободных колебакий точки без учета силсопротивления..
Рассмотрим точку М , движущуюся прямолинейнопод действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию отэтого центра. Проекция силы F на ось Ох (рис. 253) будетFx——cx.(65)Сила F, как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где Р = 0; отсюда и наименование «восстанавливающая»сила.
Примером, такой силы является сила упругости (см. § 88,рис. 232) или сила притяжения, рассмотренная в задаче 92 (см. § 80).Найдем закон движения точки М . Составляя дифференциальноеуравнение движения в проекции на ось х (уравнение 12 из § 79), получим:тх — Fx или тх = — сх.Деля обе части равенства на т и вводя обозначениес/т=к *,232(66)приведем уравнение к видух + кгх = 0.(67)Уравнение (67) представляет собой дифференциальное уравнениесвободных колебаний при отсутствии-сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второгопорядка ищут в виде x = e nt. Полагая в уравнении (67) x = e nt, получим для определения п характеристическое уравнение л*+ 6а= 0 .Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми (rti,2=— ± ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений,общее решение уравнения (67) имеет вид*= C i sin kt+ C 2cos kt,(68)где Cj и С, — постоянные интегрирования. Если вместо постоянныхи С, ввести постоянные А и а, такие, что С ^ Л с о э а , Ct = A s\n a ,то получим х —А (sin kt cos a+ cosW sin а) или* = /lsin (W + a ).(69)Это другой вид решения уравнения (67), в котором постояннымиинтегрирования являются А и а.
Им удобнее пользоваться для общих исследований.Скорость точки в рассматриваемом движенииvx—x = A k cos (kt+ a).(70)Колебания, совершаемые точкой по закону (69), называютсягармоническими колебаниями. График их при а = л /2 показан нарис. 127, в (см. § 45).Всем характеристикам этого движения можно дать нагляднуюкинематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюсярапномерно по окружности радиуса А изположения В0, определяемого углом DOB0=—а (рис.
254). Пусть постоянная угловаяскорость вращения радиуса ОВ равна k.Тогда в произвольный момент времени tугол ф==/D O B = a + k t и легко видеть, чтопроекция М точки В на диаметр, перпендикулярный DE, движется по закону х ==i4sin(W +a), где *=0/Vf, т е. совершаетгармонические колебания.Величина А, равная наибольшему отклоРис. 254нению точки Af от центра колебаний О, называется амплитудой колебаний. Величина<p=W+a называется фазой колебаний. Фаза ф в отличие от координаты х определяет не только положение точки в данный момент времени, но и направление ее последующего движения; например, изположения М при фазе, равной ф, точка движется вправо, а прифазе, равной (п—ф),— влево.
Фазы, отличающиеся на 2я, считаются одинаковыми (на рис. 127, в светлыми точками отмечены две одц233наковые фазы). Величина а определяет фазу начала колебаний (начальная фаза). Например, при а = 0 колебания происходят по закону синуса (начинаются от центра О со скоростью, направленнойвправо), при <р=я/2 — по закону косинуса (начинаются из положения х —А to скоростью 0о=О). Величина к, совпадающая с угловой скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис.
254, называется круговой частотой колебаний.Промежуток времени Т (или т), в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. Поистечении периода фаза изменяется на 2л. Следовательно, должнобыть kT = 2n, откуда период7 = 2я/Л.(71)Величина v, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за 1 с, называется частотой колебаний:v = llT = k l2 n .(72)Отсюда видно, что величина k отличается от v только постоянным множителем 2л.
В дальнейшем мы обычно для краткости частотой колебаний будем называть и величину k.Найдем теперь значения постоянных интегрирования А и а.О п р е д е л е н и е А н а по н а ч а л ь н ы м у с л о в и я м .Считая, как всегда, при /= 0 x —xt и vx—vt, получим из (69) и (70)х ,= А sin a , v J k —A cos а. Отсюда, складывая сначала почленно квадраты этих равенств, а затем деля их почленно одно на другое, най_______дем:A = V x l + vVk%, tg о = kxt/v0.(73)О п р е д е л е н и е А я а п о к р а е в ы м у е л о в и я м (см. § 79).
Пустьвместо начальных заданы краевые условия вида: при t= 0 х = 0 , а при t= tx х=1.Тогда из (69) получим0 = s in a ,/= i4 s in (#!+<»), откуда a=0,.A=f/sinJWj, ирешением уравнения (67) . будет х= (//sin ktx) sin kt, если только t1^n lk = Т12. Если же<!=л/й (или 2я fk и т. д.), то для определения А получится уравнение /=/4sin я,которому при 1Ф0 удовлетворить нельзя, и задача решения не имеет.
А если 1=0и t ^ n / k , то для определения А получится уравнение 0= j4sinn, которое удовлетворяется при любом А, и, следовательно, уравнение (67) идеет неоднозначное решение * = /lsin kt, где А — любое число.Таким образом, в отличие от задач с начальными условиями, краевые задачимогут ийеть неоднозначные решения или вовсе не иметь решения. В рассмотренныхслучаях это' объясняется тем, что если по условиям при / = 0 дс=0 , то и через поляериода, т. е.
при tx—hlk, должно быть тоже *= 0. Поэтому здесь удовлетворитьусловию при tx—nlk х=1ф0 нельзя, а условие при t ^ n l k x=L=Q удовлетворяется всегда, т. е. при колебаниях с любой амплитудой А.С в о й с т в а с в о б о д н ы х к о л е б а н и й . В заключение отметим следующие важные свойства свободных колебаний:1) амплитуда н начальная фаза колебаний зависят ог начальных(или краевых) условий; 2) частота k, а следовательно, и период Тколебаний от начальных (или краевых) условий не зависят [определяются равенствами (66) и (71)] и являются неизменными характеристиками данной колеблющейся системы.234Отсюда, в частности, следует, что если в задаче требуется определить только период (или частоту) колебаний, то надо составитьдифференциальное уравнение движения и привести его к виду (67).После этого Т найдется сразу по формуле (71) без интегрирования.Рассмотренные колебания, как и те, что будут рассмотрены в§ 95, 96, называют линейными, так как они описываются линейными дифференциальными уравнениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
