1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

График такого движения, если при t = 0 х= х£> 0 и vx= vxt,имеет в зависимости от значения vx0 вид одной из кривых, показан­ных на рис. 260 (V — при vxO> 0; 2 — при чзсв< 0 , когда Iw^l неве­лик; 3 — при »жо<0, когда |их,| велик; все эти результаты качествен­но ясны из физических соображений). При х0< 0 вид графиков неизменится (они будут лишь зеркально отображенными относитель­но оси Ot)\ наконец, при Хо>0 и их0= 0 график (кривая 1) имеет мак­симум В в начальный момент времени 1=0.3.

В заключение рассмотрим случай, когда b= k. Корни харак­теристического уравнения (78) будут при этом тоже действительны­ми, но кратными (n i,,= ± Ь ) и общее решение уравнения (76) приметвид (что можно проверить подстановкой х в уравнение)х = е -« ( С 1+ С10Движение точки в данном случае тоже не будет.колебательными она со временем стремится асимптотически к равновесному поло­жению х —0 [по правилу Лопиталя lim (//eb*)==lim (1/Ьёь#—0]. Граt-¥СРфик движения в зависимости от начальных условий имеет тоже видкривых, показанных на рис. 260.°)^ --1$Рис. 261Задача 116.

Цилиндр (его масса т , а площадь дна S), частично погруженныйв вязкую жидкость с удельным весом у (рис. 261), выводят из равновесного поло­жения. Определить период последующих затухающих колебаний цилиндра, счи­тая, что на него действует сила вязкого трения R = —]iv.240Р е ш е н и е . В равновесном положении (рис.

261, а) на цилиндр действуютсила тяжести Р и архимедова сила Na, равная численно весу вытесненной жидко­сти, т. е. Nt= ySh (ft — высота погруженной части цилиндра при равновесии).Проведем из начального положения точки С вертикально вниз ось Сх и изоб­разим цилиндр в произвольном положении, при котором точка С смещена вниз навеличину х (рис. 261, б). На цилиндр в этом положении действуют: сила тяжести Р ,архимедова сила N и сила сопротивления R (при движении цилиндра вниз, т. е.когда их>0, она направлена вверх); изобразим силы Р и R приложенными в точ­ке С.

Поскольку дополнительное погружение цилиндра равно х, то N = yS (А+дг)== Nt+ySx (мы видим, что N здесь является восстанавливающей силой, пропорцио­нальной смещению х). Составляя дифференциальное уравнение поступательногодвижения цилиндра в проекции на ось Сх, получим:т х = Р х-\-Nх + R x или тх = P - ( N B-\-ySx)— nvx.Учтя, что при равновесии P= N a и введя обозначенияyS/m=ki , ji/m=2ft,(а)приведем составленное уравнение к виду~х+2Ьх+кшх = 0,такому же, как у уравнения (76).

Тогда по формуле (82), учтя обозначения (а),найдем для искомого периода колебаний значениеV yS/m— ц2/4т*S 96. ВЫ Н У Ж Д ЕН Н Ы Е КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНСРассмотрим важный случай колебаний, возникающих когда наточку кроме восстанавливающей силы F действует еще периодическиизменяющаяся со временем сила Q, проекция которой на ось ОхравнаQ*=QoSinp/.(83)Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происхо­дящие при действии такой силы, называются вынужденными.

Вели­чина р в равенстве (83) является частотой возмущающей силы.Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со вре­менем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением слу­чая, когда Qx определяется равенством (83). Такая возмущающаясила называется гармонической. Конкретный пример ее дан ниже взадаче 117.1.В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я при о т с у т с т ­в и и с о п р о т и в л е н и я * .

Рассмотрим движение точки, накоторую кроме восстанавливающей силы F (см. рис. 253) действуеттолько возмущающая сила Q: Дифференциальное уравнение движе­ния в этом случае будетт х ——caj+Q# sin pt.*Получаемые В'Этом пункте результаты могут быть найдены как частный слу­чай из п. 2.16-1870241Разделим обе части этого уравнения на т и положимclm—k*, Qtlm = Pt,где Р 0 имеет размерность ускорения. Тогда дифференциальное урав­нение движения примет вид'jc+ft,x = P0sin pt.(85)Уравнение (85) является дифференциальным уравнением вынуж­денных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его ре­шением, как известно из теории дифференциальных уравнений, бу­дет x=x1+ xt, где Xi — общее решение уравнения без правой части,т.

е. решение уравнения (67), даваемое равенством (69), a xt — ка­кое-нибудь частное решение полного уравнения (85).Полагая, что рфк., будем искать решение хшв видех%—В sin pt,где В — постоянная величина, которую надо подобрать так,чтобыравенство (85) обратилось в тождество. Подставляя значение х% иего второй производной в уравнение (85), получим—р*В sin pt+k\B sin pt= Pt sin pt.Это равенство будет выполняться при любом t, если В (k%—p ') = Р ,илиB = P ,/(**-/>*).Таким образом, искомое частное решение будет(86)Так как x= xi+ xt, а значениедается равенством (69), то об­щее решение уравнения (85) имеет окончательно видх — А sin (kt + at) +рsin pt,(87)где А И а — постоянные интегрирования, определяемые по началь­ным данным.

Решение (87) показывает, что колебания точки слага­ются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой А (зависящей отначальных условий) и частотой k, называемых собственными коле­баниями; 2) колебаний с амплитудой В (не зависящей от начальныхусловий) и частотой р, которые называются вынужденными колеба­ниями.Практически, благодаря неизбежному наличию тех или иных со­противлений, собственные колебания будут довольно быстро зату­хать.

Поэтому основное значение в рассматриваемом движении име­ют вынужденные колебания, закон которых дается уравнением (86).Частота р вынужденных колебаний, как видно, равна частотевозмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделитьчислитель и знаменатель на k\, можно представит^ в видеQ_242Po_I **-/>* I11—Р*/**Г(88)где согласно равенствам (84) 'kt= P Jk 1= Q Jc, т. е. X, есть величинастатического отклонения точки под действием силы Q,. Как ви­дим, В зависит от отношения частоты р возмущающей силы к часто­те k собственных колебаний. Введем обозначенияг—р/к, rj=В1Хц.(88')Безразмерный коэффициент т] называют коэффициентом динамично­сти.

Он показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных коле­баний В (т. е. максимальное отклонение точки от центра колебаний)больше статического отклонения К , и зависит от отношения час­тот г. График этой зависимости, определяемой равенством (88), по­казан ниже на рис. 264 кривой, помеченной знаком Л=0 (другиекривые на рис. 264 дают зависимость ц от г при наличии сопротивле­ния).Из графика [или из формулы (88)] вцдно, что, подбирая различ­ные соотношения между р и k, можно получить вынужденные коле­бания .с разными амплитудами.

При р= 0 (или p<ZM) амплитударавна Я, (или близка к этой величине). Если величина р близка кк, амплитуда В становится очень большой. Наконец, когда p^>k,амплитуда В становится очень малой (практически .близка к нулю).Отметим еще, что при p<.k, как видно из сравнения формул (83)и (86), фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы все вре­мя совпадают (обе равны pt). Если же p>k, то, внося минус под знаксинуса, можно представить уравненИЬ (86) в виде* .= = 7 i5 irs in (/ r t — я ).Следовательно, при p>k сдвиг между фазами вынужденных коле­баний и возмущающей силы равен л (когда сила Q имеет максималь­ное значение и направлена вправо, колеблющаяся точка максималь­но смещена влево и т.

д.).Р е з о н а н с . В случае, когда p=k, т. е. когда частота возму­щающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет местотак называемое явление резонанса. Формулами (86), (88) этот слу­чай не описывается, но можно доказать,что размахи вынужденных колебаний прирезонансе будут со временем неограничен­но возрастать так, как это показано наpine. 262. Подробнее общие свойства вынуж­денных колебаний (и, в частности, резонан­са) рассмотрены в конце этого параграфа(п.

3).При p=k уравнение (85) частного решения xt== B sin p t не имеет, и это решение будем искать в виде* 2 = Ct cos pt.Тогда х ,= —2Cpsinp<—pHltco&pt, и подстановка в уравнение (85), если учесть, чтоp=k, дает —2Cpsinp/= P^mpt, откуда С = —Я0/2р. В результате находим законвынужденных колебаний при резонансе в случае отсутствия сопротивления:хг= — (P„l2p)tcospt или *а= (Pj2p)tsia (pt—п/2),16*(89)243Как видим, ралмахи вынужденных колебаний при резонансе действительно воз­растают пропорционально времени, и закон этих колебаний имеет вид, покамкиый иа рис.

2о2. Сдвиг фаз при резонансе, равен п/2.2.*. В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я п р и в я з к о мс о п р о т и в л е н и и . Рассмотрим движение точки, на которуюдействуют восстанавливающая сила F, сила сопротивления R, про­порциональная скорости (см. § 95), и возмущающая сила Q,' опреде­ляемая формулой (83). Дифференциальное уравнение этого движе­ния имеет видтх ** — сж— + sin pt.(90)Деля обе части уравнения на т и учитывая обозначения (77) и (84),получимx + 2b'x+ k*x = P t sinpt.(91)Уравнение (91) является дифференциальным уравнением вынуж­денных колебаний точки при наличии вязкого сопротивления. Егообщее решение, как известно, имеет вид х=*х+*«, где — общеерешение уравнения без правой части, т.

е. уравнения (76) [прик>Ьэгто решение дается равенством (81)1, ах , — какое-нибудь част­ное решение полного уравнения (91). Будем искать решение х, ввидех, = В sin (pt — Р),где В и р — постоянные, которые надо подобрать так, чтобы равен­ство (91) обратилось в тождество. Вычисляя производные, получим:х = Bp cos (p t— Р), £ = — Bp* sin (p t— p).Подставляя эти значения производных и величины х, в левуючасть уравнения (91) и обозначая для краткости pt— р=\|) (илиpt—•$+$), найдем, чтоВ (—p*+&')sin <jj-f2ЬрВ cos(cos P sin^-f-sin p cosij>).Чтобы это равенство выполнялось при любомт. е. в любоймомент времени, коэффициенты при simp и cosrp в левой и правойчастях должны быть порознь равны друг другу; следовательно,В (k*—p*) = Р 0соф, 2ЬрВ = P 0sinP.Из полученных уравнений (ими также пользуются для однозначно­го определения величины Р) находим, возводя их сначала почленнов квадрат и складывая, а затем деля почленно друг на друга:В = - 7= = = А _ = г=г., tgp= v,2ftp .

Характеристики

Список файлов книги