1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 55
Текст из файла (страница 55)
д. с.) Е (0 (рис. 268),Тогда, исходя из второго закона Кирхгофа, можно установить, что зарядq конденсатора удовлетворяет дифференциальному уравнениюLq + Rq + (\/C)q = E {t).(101)Сравним это уравнение с уравнением (90), в котором для общности будем считать, что вместо QoSinpf стоит Q(f); видим, что тогда оба уравнения совпадают сточностью до обозначений. Следовательно, закон рассмотренных выше, механических колебаний и закон изменениязаряда конденсатора аналогичны. При этом, сравниваяуравнения (90) и (101), найдем, что аналогами являются:1) для смещения (координаты) х — заряд q\ 2 ) для массыт — индуктивность £; 3) для коэффициента вязхого сопротивления |х — омическое сопротивление R; 4) для коэффициента жесткости с — величина 1/С, обратная емкости; 5) для возмущающей силы Q — э.
д. с. £.Рис 268Эта аналогия, естествейно, относится не только квынужденным, но и к свободным (затухающим и незатухающим) колебаниям. Например, для периода собственных затухающих электрических колебаний в рассматриваемой цепи по формулам (77) и (82) из § 95 получим:**= 1 /0 ., b = R /2 L и Т1 = 2л1У \/CL — R44L*.Когда- омическое Сопротивление отсутствует, Т = 2л У CL.Электродинамические аналогии используются для моделирования соответствующих механических колебаний, в частности и в электронных аналоговых машинах.Глава X X *ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ПОЛЕ ЗЕМНОГО ТЯГОТЕНИЯ§07.
Д ВИ Ж ЕН И Е БРОШ ЕННОГО ТЕЛАВ ПОЛЕ ТЯГО ТЕНИЯ ЗЕМ ЛИЗадача о движении тела в поле земного тяготения возникает приизучении движения баллистических ракет и искусственных спутников Земли, а также при рассмотрении проблем космических полетов.Будем рассматривать движущееся тело как материальную точку массы т , а Землю считать неподвижной. Пусть в начальный момент времени эта точка находится у поверхности Земли в положенииМ 0 (рис. 269) и имеет начальную скорость и0, направленную подуглом а к горизонтальной плоскости. Если пренебречь сопротивлением воздуха (что для рассматриваемых высот полета в первомприближении допустимо), то на точку при ее движении будет действовать только сила тяготения F , направленная к центру Земли.Как показано в § 88, п. 4, модуль этой силы можно представить ввЬдеF = tn g R Ч г\(102)250где г—ОМ — расстояние точки от центра Земли; R=OM « — значение г для точки вылета М 0', g — ускорение силы земного тяготения в точке Af0*.Так как сила F — центральная (см.
§ 86), то траектория точкибудет плоской кривой. Поэтому для изучения движения можно воспользоваться полярными координатамиг=ОМ и ф, поместив их начало (полюс)О в центре Земли и направляя полярную ось Ох вдоль линии ОМ0. Составимдифференциальные уравнения движенияточки М .По закону площадей (см. § 86) придвижении под действием центральной силы момент вектора скорости v относительно центра О (или удвоенная секторная скорость точки) будет величиной постоянной. Следовательно, m0(v)= c. Ноиз чертежа видно, что если разложитьвектор v на радиальную vr и поперечРис. 269ную 1>ф составляющие (см. § 47), тот 0 (v) = т 0 (йф) = rvф, где v4 = г •d<p/d/.Отсюда получаем первое уравнение(103)Значение постоянной с найдем из условий в точке, вылета Af0,где, как легко видеть, mo(v0)= R v<1co&a.
Следовательно,c=/?u0cosa.(104)Второе уравнение получим из теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме [см. § 89, формула (51)1d(mi>s/2)=cL4.Но по формуле (49) из § 88dA = —Fdr= —mgR'dr/r*.В результате найдем второе уравнение в виде4( т ) - « « ч ( г )dtp(105)*В формуле (102) R может иметь любое значение, большее земного радиуса.Когда точка /Й0 берется на поверхности Земли, будем обычно считать R равнымрадиусу земного экватора /?„=6378 км и g=9,82 м/с” (g всюду — ускорение силыземного тяготения, а не силы тяжести, см.
§ 92). Но, конечно, все получаемые далее формулы справедливы для движения в поле тяготения любого другого небесного тела.2SIгде (см. § 47)=+= (- * !)* + /■•($)*.(106)Интегрируя дифференциальные уравнения (103) и (105), можноопределить г и <р как функции времени t, т. е. найти закон движения точки. Вместо этого найдем сразу ее траекторию. Чтобы упростить расчет, введем новое переменное и, полагая“-7-П 0 7 )Тогда с учетом равенств (107) и (103) получимdrdr d f"ЗГ = 1ф.
du сdu1ф 7*’ = _ с 1ф :itdipr~it=.■с и .Подставляя эти значения в формулу (106), находими9= с* [U* + (du/dcp)*].Найденное выражение t/9 подставим в левую часть уравнения (105).Получим, Гdu . du d*u 1n , du0 l “ l?- + _5pd9*-J= * ;? !? •Заменяя здесь с его значением из (104) и сокращая на du/d<p,найдем окончательно дифференциальное уравнение траектории:•хт-И*— v} cos9—d<P*а или '3^'“ Ф* + н —ТР ’где обозначеноt'oCOS1 «г(1 0 9 )вРешение этого уравнения слагается из общего решения уравнения без правой части, которое совпадает с решением уравнения (67)при1 и частного решения уравнения с правой частью.
Следовательно, «=ы1+ и |, где «1 имеет вид (68) или (69) при k—\, а и»=1/р,в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. В результате решением уравнения (108) будетM= c,sin(<p + ct) + jили м = у [ 1+ схр sin(<р+с,)],где Ci и с , —г постоянные интегрирования. Полагая здесь сгр ——е,с,=я/2—р, где е и р — новые постоянные, и переходя от и к г, найдем окончательно уравнение траектории в виде'- т = <-« .
V b (П0)Из аналитической геометрии известно, что (110) представляетсобой уравнение конического сечения (эллипса, параболы или ги-2S2перболы) с фокальным параметром р и эксцентриситетом е, выраженное в полярных координатах, для которых полюс О находится в одном из фокусов. При этом геометрический смысл постоянной Р виден из того, что при ф=р знаменатель в равенстве (110) имеет минимум, а следовательно, величина г—ОМ — максимум. Таким образом, угол р определяет положение оси симметрии траектории(ось А Р на рис.
269) по отношению к линии ОМ0 или к точке вылета М 0.Чтобы определить значения постоянных интегрирования !е и Р,надо для начального положения <p=0, т. е, в точке М 0, знать кромег (или и) еще и производную от г (или от и) по <р. Формулы (32),полученные в § 47, и последнее из равенств (107) дают:vrv<p1 drr d<pIrurdиdq>-- = --- j — ИЛИ — ------=3 i ■Но в точке М о, как видно из рис. 269, r= R и vrlvv=iga.. Следовательно, начальные условия для и имеют вид:при#ч1ф= 0 u = T ,dw_1 4= _ T tg a.Из уравнения (110), переходя опять от г к а, найдемы = 1 [1 — есоз(ф— р>], -j^- = y s in (фР).Подставляя сюда начальные значения и и du/d<p, получимp/R = 1—ecosP, -r-(p!R)tg a = —eslnpили, заменяя p его значением (109),( 111)Из этих равенств, деля их сначала почленно друг на друга, а затем возводя в квадрат и складывая, найдем окончательно:vo sin 2a<112)(113)Равенство (112) определяет угол р, т.
е. положение оси симметрии траектории по отношению к точке вылета М 0- Формула же(113) даёт значение эксцентриситета траектории. Из нее видно, чтотраекторией точки будет:а) эллипс (е < 1), если v0< V 2gR\б) парабола (е=1), если—gR',в) гипербола (е > 1), если v0> V 2gR.Скорость 0 ,= К 2gR называется параболической или второй космической скоростью. Если считать R = R 0= 6378 км Иg=gt= 9,82 м/са,то получим и,«11,2 км/с. Таким образом, при начальной скоростиv0^ ll,2 км/с тело, брошенное с поверхности Земли под любым углом а к горизонтальной плоскости, будет двигаться по параболе илигиперболе (при а =90° — по прямой), неограниченно удаляясь отЗемли.
Достижение скоростей такого порядка необходимо для межпланетных сообщений *. При скорости, меньшей второй космической, тело или упадет обратно на Землю, или станет искусственнымспутником Земли.Закон движения точки вдоль .траектории, т. е. ее положение натраектории в любой момент времени, можно найти, заменяя в равенстве (103) г его значением из (110), а затем, интегрируя полуденное уравнение.§ 98. ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ.ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИПри о0-< К2gR и афп/2 траектория тела, брошенного с земнойповерхности, есть эллипс, у которого ось РА , образующая с Охугол Р, является осью симметрии (см.
рис. 269). Если начальныеусловия в пункте М 0 будут таковы, что уголто траекторияпересечет поверхность Земли в симметричной относительно осиРА точке M i, т. е. тело упадет на Землю. Следовательно, брошенное тело может стать спутником Земли лишь при тех начальных условиях, которые дают р= я. Но, как показывают равенства (111),Р = я только при а= 0 (или а = я ) и xfi^gR, так как при р= я иvl<.gR первое из равенств (111) дает е<0, что невозможно, поскольку е — величина положительная. Следовательно, чтобы тело, брошенное с земной поверхности, превратилось в спутника Земли,необходимо выполнение двух условий:а = 0, V2gtR 0> V o ^ V & R r(114)Эксцентрисистет орбиты спутника при а= 0 й Р= я, как видноиз равенств (111) или (113), будетe= v'Jg R - \.(115)Скорость Vy—V g R , при.которой е=0 и спутник движется покруговой орбите радиуса R , называется круговой или первой космической скоростью [см.
§ 82, формула (28)]. При бросании с поверхности Земли, если считать R = 'R 0= 6378 км и g=g0=9,82 м/са, первая космическая скорость их«7 ,9 км/с. При Уо>Ух орбитой спутника будет эллипс, эксцентриситет которого тем больше, чем большеv0 (рис. 270).*Скорость, необходимая для освобождения межпланетного корабля от совместных притяжений Земли и Солнца,, будет больше У 2g0R 0 и при определенномнаправлении и0 равна около 16,7 км/с; эту скорость называют третьей космической скоростью,254Когда угол бросания афО, то ни при какой начальной скоростиv0 тело, бросаемое с земной поверхности (если даже не учитыватьсопротивление воздуха), спутником Земли стать не может. Поэтому,например, создать искусственный спутник Земли выстрелом изОрудия практически невозможно; для этой цели пригодна управляемая ракета, которая с помощью сох Зшпсответствующих приборов может подНЯТЬ СПУТНИК На заданную ВЫСОТУ И/'^ОкружностьJсообщить ему в пункте М „ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
