1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 49
Текст из файла (страница 49)
утроенному весу груза.Полученное решение показывает, что динамические реакции действительномогут значительно отличаться от статических.Рис. 244Задача 108. Желоб состоит из дву* дуг АВ и BD окружностей радиуса R, расположенных в вертикальной плоскости так, что касательная BE в точке сопряжения горизонтальна (рис. 244). Пренебрегая трением, определить, на какой высоте h над линией BE надо положить в желоб тяжелый шарик, чтобы он соскочилс желоба в точке Мр лежащей на таком же расстоянии к ниже линии BE.Р е ш е н и'е. Шарин оторвется от желоба в той точке Mi, где его давление нажелоб (или реакция N желоба) обратится в нуль. Следовательно, задача сводится к определению N, Изображаем шарик в точке Afj.
На него действуют силатяжести Р и реакция желоба N. Составляя уравнение (54) в проекции на внутреннюю нормаль МгС, найдем, чтоmv\/R= Pcos<p—N,Так как в точке отрыва N = 0, то, учитывая, что R cos «р= K C = R —й, получимдля определения Л уравнениеnw l= P (R -h ),(а)Величину mv\ наймем из теоремы об изменении кинетической энергии, Танкак 1>0= 0 , то уравнение (52') даетmvl/2 = A*M„Mi) .Работу здесь совершает только сила Р, причем A (P)=2Ph. Следовательно,/т»?=4ЯЛ. Подставляя это значение пти\ в уравнение (а), получим 4h= R —h, отхудаЛ=0,2Л.Задача 109. Груз М подвешен на нити длиной I (рис.
245). Какую наименьшуюначальную скорость и0, перпендикулярную нити, надо сообщить грузу, чтобы онописал полную окружность?Р е ш е н и е . Груз опишет полную окружность, если на всем пути натяжение нити нигде (кроме, может быть, точки М ) не обратится в нуль, т. е. нить нигде не будет смята. Если же в какой-либудь точке Mt , где t ^ O , натяжение нитиобратится в нуль, то нить перестанет удерживать груз и он будет продолжать движение как свободная точка (по параболе).222Для решения задача найдем натяжение Т нити в произвольном положении Я ,определяемом углом ф, а затем потребуем, нтобы при любом угле <р^180° было7>0.В положении М на груз действуют сила F и натяжение нити Т. Составив уравнение (54) в проекции на внутреннюю нормаль Мп, получимяю*/1= Т—Р cos ф,(а)где v — скорость груза в положении М.
Для определения v применяем теорему обизменении кинетической энергии:м1mv*/2—«Уо/2= А *.В данном случае А*=—Ph=—P l(l—cosy) и, следовательно,mti*=muo—2Р/(1—cos ф).Подставив это значение то* в уравнение (а) и вычислив Т,получимТ= Р (vl/gl—2+3cos ф).Наименьшее значение Т будет иметь при Ф= 180°:T ^ n = P (iV g l-b ).Чтобы Т нигде (кроме, может быть, точки М') не обратилось в нуль, необходимо, чтобы было Tmin^O.
Отсюдаvl/gl Э» 5 и о„ Э» V~bgi-“оРИ° ‘ 245Следовательно, наименьшая начальная скорость, при которой груз будет описывать полную окружность, определяется равенствомt'omin =* V W -Допустим, что вместо нити груз будет подвешен на жестком легком (невесомом)стержне длины /. В этом случае (так как стержень в отличие от нити может работать и на растяжение, и на сжатие) груз опишет полную окружность, если при движении его скорость нигде (кроме, может быть, точки М') яе обратится в нуль.Применяя уравнение^ (52') для перемещения М0М' и считая в точке М' скоростьо = 0 , получим — nwt/2=*-mg'2l.
Отсюда следует, что в данном случаеfomln = V"| 91. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИВторой закон динамики и полученные из него выше уравненияи теоремы верны только для гак называемого абсолютного движенияточки; т. е. движения по отношению к инерциальной («неподвижной»)' системе отсчета.Обратимся теперь к изучению относительного движения точки,т. е. движения по отношению к неинерциальным, произвольно движущимся по отношению к инерциальной системам отсчета.Рассмотрим материальную точку М , движущуюся под действием приложенных к ней сил Ft, F ........
Fn, являющихся результатомвзаимодействия точки с другими материальными телами. Будемизучать движение этой точки по отношению к осям Охуг (рис. 246),которые в свою очередь каким-то известным нам образом движутсяотносительно инерциальной системы отсчета (неподвижных осей)OiXjl/iZi,223Найдем зависимость между относительным ускорением точкиаот и действующими на нее силами. Для абсолютного движенияосновной закон динамики имеет видгм л6 = % Т„.(55)Но из кинематики известно (см. § 66), что а1б= а0т + апер+<Зкор)где а01, Опер, акор — относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.
Подставляя это значение а& в равенство (65) и считая в дальнейшем аот= а , так как эта величина представляет собойускорение изучаемого нами относительного движения, получимта = 2 F„ + (— manep) + (— ташор)•Введем обозначения:^п ер —"т<;гпер>^кор"•та,кор*Величины F*ep и F"aр имеют размерность силы. Назовем их соответственно переносной и кориолисовой силами инерции. Тогда предыдущее уравнение примет видffW = 2 ^ * + ^ e P + ^ 0 P (56)Уравнение (56) выражает основной закон динамики для относительного движения точки. Сравнивая равенства (55) и (56), приходим к выводу: все уравнения и теоремы механики для относительногодвижения точки составляются так оке, как уравнения абсолютногочдвиокения, если при этом к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами прибавить переносную и кориолисовусилы инерции.
Прибавление сил F”ep и F"oP учитывает влияние наотносительное движение точки перемещения подвижных осей.мжРис. 247Чтобы уяснить характер этого влияния, рассмотрим, например, точку В,неподвижную в инерциальной системе отсчета 0 1jf1y 1z1 (рис. 247), и допустим, чтоподвижные^оси Охуг перемещаются относительно осей О ^ у м поступательно ^ускорением Од. Тогда по отношению к осям Охуг точка В будет иметь ускорение ад== —<zg и причина появления этого ускорения будет кинематическая — движениеподвижной системы отсчета.224'ппМэнй т э (мИнэстэбэи яшптдод nwbvmu mtnsfidg о vnmuondQonnves w w rГтнош vu п Ф и н вт эд эе э/ поше ndu пю э 'xvoo хпнжпвдоиэи в vr-390H9Dd vm tm m dfi хгм ‘эж uviu VTWonsvemuooo кпээвонтё osouwrn-пэоишо vnH3HBDdfi oih ‘xaAtfaira олэн е ц -тьош- (voxou) ьпэээонтогоняуэшпэоишо anum svdfi уороэ xaKireBxoffadu (ig) эинэнявс!^(zs)■ o - ^ + 'f SVHB 13ВИИ-Hdu (gg) oaxDHaaBd B tfjoi •(10я х г о ) з = |1ом» aHHadoMoA oaoomroHdoMBH ИВХ ‘0 = dOHi И *ОНЧ1ГЭ1ВЯО1ГЭ1Г0 в ‘о = я = 10д и о = о ээн KirtT ох ‘эо-OU a BDXHtfOXBH ИВЭО ИИНЖИВ^ОЦ И ОШНЭГТТОНХО OU ВМЬОХ И1Л>3 •£•ттнтсж яопэзьпээЬю тиэоняуэшюоншо utihundMSdimifBj эТпэ HNxndxxo хиохэоэ woie g кинэжиаН' эониэнш гои^и :aoHdawoHaed ‘эоня1/эхвиЛхэои xaBmdaaoo ига эомои а вхэьэхо виэх-из kbhhbV hi; KoxHtfoxBH ‘чхи ж ^вн ро неч1гэн woxHawHdauDxe иих-эьинвхэи иимвмин охь ‘хэвиэхпя BXBX4irAead 0J0HH3hXirou с иЯонятпМэнп xatfAэжмвх вхэьэхо вкэхоиэ ввнвх ‘оня 1гэхваогтэ1Г) ииэо иинжияЬ'оизн :о т н это н х о ои-иинэжиай’ нохве и мвм ‘Яиа эж цомвх яхэии хэ^Лр ви-ЭЖИа^ 0Л0НЯ1/ЭХИЭ0НХ0 НОМВе И Q = d°ilj/= dallj OX 4>HH3HHIfOWBdll И 01-dawoHBBd ‘онч^эхвиХхэои BoxoiBtnawsdau изо эшркиайои шгэд z■d3'ij_+'lj Z - E ulVwX9BWHHHdu КИНЭЖИа'С ОЛОНЯ1ГЭХИЭОНХО НОМВЕ И '(zfiXQ ИЭЭО ХННЖИ1-ffou BHHaftiBda qxoodoxo вваоимА — го) о = ® эвьЛю иохе я нвх яв,,0 = doJi;/ ох ‘онч1гэхвиАхэои вэхХжиай' изо эпнжиа’п'ои ш гэз j•ивьХш эннхэвь andoxoMSH wndxowDOBj•(rw adoax анШро ‘ dawnduBH) вхэьэхо экэхэиэ уончи*виТ^ани а винажиаУ tsuV ээнеэпннэьХ гои ‘ nxeiqirXead ээа вииэжиа1Г олонягохиэонхо иинэьХеи Hdu' qxfeaowirouo;xaKiroaeou o ih ‘ (go) waHHaHaedA э хэвСвиаоэ АУиа ou xbm xbx ‘ohqoVX aairog (gg) айна-aBdX уинэжо1ги<ш kitV о н 'ш нэ1гваивм е (og) и (,99) KHHaHaedA инэаьихвмэхвуу•чхэвь o ja 0ХЧ1Г0Х — уончгаиПоэниэн а е 'ихьох aHHadoxaX язе xatf/ig 0 1вхэьэхо эпэхэиз yoH4 ifBHHdaHH а он 'вш гьэш о жгштпэ pogoir в ш / l j j aoHasd ‘ эи-adoxaX эмьох хогешдооз * j n v m anHHBtf охь ‘ эжмвх он1Гив (,95) KHHaHaedX е й.•вхэьэхо пмэхзиэ донживИ'ои винэжиа'э и в х э У э т а хэвьХтои вньох andoxon ‘ имкинэйохэХ кэхоиигак хпм эвл вш xu jX d v eaV' 4j 141ГИО aHtnoiXaxogaV ХснвШдооэ эхьох aodoxox ‘ sHHsdoxoX xэвжвdlчa эонэвлегaoadau ихэвь goaedu o ja g -ьв1Гве и и Hamad Hda к э я х в а о т го и OHHaexoiradoouaH oi-ж о и w ndoxox ‘ ихьох винэжив)Г оаоня1гэхиэонхо внохве эинэж edпa aojXdtr o xgC9S).(«0» £ —) + (<J»uO —=£NHhXiroa ‘v = 10о ‘ агпяа OHBiraVs oxe мвя 1ввлвгоц ‘ox 'йаг,о -\-й *ио -\-10п = 9’ о ч хэотг-иасе чхээьХ и u / / ^ ^ = 9 * £ 4 X H ifa ffa d u o (qg) BaxoHaaed ей и ю э ‘ э вьХ ю н э Щ о д■тизюшо г т з ш т э пою>э т н зж п в д огоннэйою И зит ш чуЯ ея] в п з/тз гт-gdonafi tum hfhrou m m out т и з к я и о з п з ш з п з ц о н ч п т М т п г н в ox ‘* j 1гиэ ээн ен киах-yaV хэьо ве охчсох aHHddoxaX qiHhXirou хаж ои ‘ (дд) BHHaHaedX ей он1Гия ох€ xei‘ вхьо х BBH4ireHd3XBW вхэьэхо эпэхзиэ yoH4i/BHTidaHH а и ш э ‘ woeedgo п и х в х4.При составлении уравнений относительного движения в случаях, когда FZор#0, надо иметь в виду, чтоF ;0p = — тав0р = — 2 т (ш х й0Т).Следовательно, сила FK0V перпендикулярна v„ = v, а значит, и касательной к относительной траектории точки.
Поэтому:а) проекция кориолисовой силы инерции на касательную Мхк относительной траектории точки всегда равна нулю (fJoPT=0), ипервое из уравнений (11) в относительном движении будет иметь видm - ^ = IF*T+ / * p t;(58)б) работа кориолисовой силы инерции на любом относительномперемещении равна нулю [см. § 87, формула (44)}, и теорема об изменении кинетической энергии точки в относительном двиясениибудет иметь ' ввди и, — значения относительных скоростей,А — работа на относительном перемещении)ffwJ/2— mui/2*='2l A k + A (F b p).(59)Последние слагаемые в правых частях равенств (58) и (59) учитывают влияние движения подвижных осей на изменение величины и.• Во все остальные уравнения относительного движения будут вобщем случае входить и переносная, и кориолисова силы инерции.Задача НО. Пренебрегая массой всех вращающихся частей центробежного регулятора (рис.
248) по сравнению с массой шаров В и О, найти угол а , определяиУщий положение относительного равновесия стержня АВ, если регулятор вращается е постоянной угловой скорость*) ш, а длина АВ=1.Р е ш е н и е . Для определения положения относительного равновесия (поотношению к вращающимся вместе с регулятором осям) прибавляем^согласно равенству (57), к'действующим на шар В силе тяжести Р и реакции N переноснуюсилу инерции 7^еР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
