1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 45
Текст из файла (страница 45)
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИТак как масса точки постоянна, а ее ускорение a —dv/dt, тоуравнение (2), выражающее основной закон динамики, можнопредставить в виде(32)Уравнение (32) выражает одновременно теорему об измененииколичества движения точки в дифференциальной форме: производнаяпо времени от количества движения точки равна сумме действующихна точку сил *._ Пусть движущаяся точка_имеет в момент времени t —0 скоростьvt , а в момент tx — скорость vt .
Умножим тогда обе части равенства(32) йа d/ и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будутОна слева, где интегрируется скорость, пределами интегралабудут соответствующие значения скорости и0 иТак как интеграл*По существу это другая формулировка 2-го закона динамики, близкаятой, которую дал сам Ньютон.202от d(mu) равен mv, то в результате получимmv j — mv0 = 2 J Fk d t.оСтоящие справа интегралы, как следует из формулы (30), представляют собой импульсы действующих сил.
Поэтому окончательно будетmu,—mvt = ESk.(33)Уравнение (33) выражает т е о р е м у о б и з м е н е н и иколичествадвиженият о ч к и в конечном виде:изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот жепромежуток времени.При решении задач вместо векторного уравнения (33) часто пользуются уравнениями в проекциях.
Проектируя обе части равенства(33) на координатные оси, получим(34)В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль осиОх, теорема выражается первым из этих уравнений.Р е ш е н и е з а д а ч . -Уравнения (33) или (34) позволяют,зная как при движении точки изменяется ее скорость, определитьимпульс действующих сил (первая задача динамики) или, зная импульсы действующих сил, определить, как изменяется при движениискорость точки (вторая задача динамики).
При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их импульсы, Как видноиз равенств (30) или (31), это можно сделать лишь тогда, когда силыпостоянны или зависят только от времени.Таким образом, уравнения (33), (34) можно непосредственноиспользовать для решения второй задачи динамики, когда в задачев число данных и искомых величин входят: действующие силы, времядвижения точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величиныt, v0, и,), причем силы должны быть постоянными или зависящими только от времени.Задача 95. Точка, масса которой т = 2 кг, движется по окружности с численнопостоянной скоростью v=4 м/с. Определить импульс действующей на точку силыва время, в течение которого точка проходит четверть окружности.
___Р е ш е н и е . По теореме об изменении количества движения S=m v1—mt»0Строя геометрически разность этих количеств движения (рис, 222), находим изполученного прямоугольного треугольникаS = m V oj + pj.Но по условиям задачи t»e= ti 1= ti; следовательно,5 = mv У~2— 11,3 кг-м/с.203Для аналитического подсчета можно, используя первые два из уравнений (34),найтиSx = mv0, Sv = — mvi, откуда S = m ] f vl + v\.Задача Вв. Грузу, имеющему массу т и лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость v0.
Последующее движение груза тормозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится,О -«— С >У Жш /тЖжУЖ Ж Л хм>$м)Рис. 223Р е ш е и и е. По данным задачи видно, что для определения времени движенияможно воспользоваться доказанной теоремой. Изображаем груз в произвольномположении (рис.*223). На него действуют: сила тяжести Р, реакция плоскости Nи тормозящая сила 7 . Направляя ось Ох в сторону движения, составляем первоеиз уравнений (34)mvlx — mvt x = 2 S kx.(а)В данном случае ulx= 0 (tiL— скорость в момент остановки), а 0^ = 0,.
Из силпроекцию на ось Ох дает только сила F. Так как она постоянна, то Sx=Fxti=- - —Ftt , где — время торможения. Подставляя все эти данные в уравнение (а),получаем —mv9= —Ft1, откуда искомое времяt^—mvJF.(б)Таким образом, время торможения растет пропорционально начальной схорости.Решим эту же задачу, считая, что тормозящая сила равна Q и не постоянна, а смомента начала торможения растет пропорционально времени, т. е. Q=kt, гдек — некоторый постоянный коэффициент, и становится равной F в момент остановки груза.
Так как сила зависит от времени, то опять можно воспользоватьсяуравнением (а), определяя S x по первой из формул (31). Учтя, что Q *=—Q=— —kt, получимиSx = T ~ ^kt d<= — kt{/2.ОТогда уравнение (а) дает mwe=A /'/2. Значение к найдем из условия, что приt= t1 Q=F, т. е. ktx=F, откуда k=F!ix и окончательно будетt1=2mv0/F.(в)Следовательно, в этом случае время торможения удваивается,в 86. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТАКОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ (ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ)В некоторы х задачах в качестве динамической характеристикидвиж ени я точки вместо самого вектора количества движения nwрассм атриваю т его момент относительно некоторого центра или оси.204Эти моменты определяются так же, как и моменты силы (см.
§ 8, 14и 28).Таким образом, моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина то (mv),определяемая равенствомт0 (mv) = r x mv,(35)где г — радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О.При этом вектор m0 (mv) направлен перпендикулярно плоскости,проходящей через mv и центр О, a \mQ(mv)\—mv-h (рис. 224; длясравнения на нем показан и вектор m 0 (F)—rX F ).Момент количества движения точки относительно какой-нибудьоси Ог, проходящей через центр О, будет равен проекции вектораm0 (mv) на эту ось:т, (mv) = [т0 (mv)]z = | т0 (mv) | cos у,(36)где f — угол между вектором т0 (mv) и осью Ог.Теорема моментов устанавливает, как изменяется со временемвектор m0 (mv).
Чтобы доказать ее, продифференцируем по временивыражение (35). Получим(г х mv) - ( j p х т й ) + ( г х т ^ ) = (vx mv) + (7 х та).Но v X m v = 0 как векторное произведение двух параллельныхвекторов, а т а= ¥, где при действии нескольких сил F= 'LFk.Следовательно,jjr (7 x m v j = 7 x fилиj f [ m 0 (mv)] = m 0 (F).(37)В результате мы доказали следующую т е о р е м у м о м е н т о в о т н о с и т е л ь н о ц е н т р а : производная по времени отмомента количества движения точки, взятого относительно какогонибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точкусилы относительно того же центра._Сравнивая уравнения (37) и (32), видим, что моменты векторов mvи F связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы mvи F.Если спроектировать обе части равенства (37) на какую-нибудьось Ог, проходящую через центр О, то, учтя соотношение (36), получим*37 [т* {mv)] — тг (F).(38)Эго равенство выражает теорему моментов относительно оси.Из уравнения (37) следует, что если m 0 (F)=Q, то m0 (mu)=const,205т.
е. если момент действующей с и т относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительноэтого центра есть величина постоянная. Такой результат имеетместо в практически важном случае движения под действием центральной силы (см. § 86).Задача 67.
Шарик М привязан к нити MBA, часть ВА которой продета сквозьвертикальную трубку (рис. 225). В момент, когда шарик находится на расстоянииЛ0 от оси г трубки, ему сообщают начальную скоростьU„, перепендикулярную плоскости MBA. Одновременно нить начинают медленно втягивать в трубку. Найти,какую скорость vt будет иметь шарик, когда его расстояние от оси г станет равно_*!•_Р е ш е и и е. На шарик действуют сила тяжести Р и реакция нити Т. Моментыэтих сил относительно оси г равны нулю, так как сила Я параллельна оси г, а силаТ эту ось пересекает.
Тогда по уравнению (38)-gj-[m ,(m »jj = 0,откуда mz (mv)=mvh= const. Так как масса m постоянна, то отсюда следует, чтопри движении шарика vlfyt= v1h1.Следовательно,Vi=h0v0/hi.По мере приближения шарика к оси его скорость растет.§ 86*. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ.ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙЦентральной называется сила, линия действия которой проходит все время через данный центр О.
Примером такой силы являетсясила притяжения планеты к Солнцу или спутника к Земле.Рассмотрим, пользуясь уравнением (37), как будет двигатьсяточка М (рис. 226)_под действием ^центральной силы F. Так как вданном случае mo (F)=0,_to m0 (mv) —гX mu=const юш, посколькумасса т постоянна, m0 (v )= rX v —const, т. е. вектор m0{v) постоянен и по модулю, и по направлению. Напомним, «го вектор m 0 (v)=^306*=Fxv направлен перпендикулярно плоскости, проходящей черезвекторы 7 и V. Следовательно, если вектор г Х у имеет все время постоянное направление, то радиус-вектор г —ОМ точки М и векторее скорости v должны все время лежать в одной и той же плоскости.Отсюда заключаем, что траектория точки М будет плоской кривой.Кроме того, одновременно \m0 (y)\= vh—= const.Таким образом, при движении поддействием центральной силы точка двигается по плоской кривой, а ее скоростьv изменяется так, что момент вектораv относительно центра О остается постоянным (кЛ—const).Последний результат имеет наглядное геометрическое истолкование.
Так 0хкак vh= h'ds/dt, a ft*ds=2da, где d o —Рис. 226площадь элементарного треугольникаО М М \ то, следовательно, vh—2da/dt.Величина do/d/ определяет скорость, с которой растет площадь,ометаемая радиусом-вектором ОМ при движении точки М , и называется секторной скоростью точки. В рассматриваемом случае этаскорость постоянна:=(rm>) | = const.(39)Таким образом, при движении под действием центральной силыточка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т. е. так, что радиус-вектор точки в любые равные промежутки времени ометает равные площади (закон площадей). Этот законимеет место при движении планет илиспутников и выражает собой один иззаконов Кеплера.Пример.
Орбитой планеты, движущейся под действием силы притяжения Солнца, является эллипс, причем Солнце находится в одном из фокусов С эллипса(рис. 227). Так как сила притяжения является центральной, то при движении имеРис. 227ет место закон площадей. Поэтому в ближайшей к Солнцу точке орбиты П (перигелий) скорость планеты vn будет наибольшей, а в наиболее удаленной от Солнцаточке А (афелий) скорость »д будет наименьшей. Этот результат следует из уравнения (39), которое для точек А и /7 дает i/д *AC=vn -ПС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
