1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Вес тела или сила тяжести, как и величина g,изменяются с изменением широты и высоты над уровнем моря; массаже является для данного тела величиной неизменной.С и л а т р е н и я . Так будем кратко называть силу тренияскольжения, действующую (при отсутствии жидкой смазки) надвижущееся тело. Ее модуль определяется равенством (см. § 23)F = fN ,(4)где / — коэффициент трения, который будем считать постоянным;N — нормальная реакция.С и л а т я г о т е н и я . Это сила, с которой два материальныхтела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения,открытому Ньютоном.
Сила тяготения зависит от расстояния и длядвух материальных точек с массами т1 и т г, находящихся нарасстоянии г друг от друга, выражается равенствомF = fm 1mJr'1,(5)где f — гравитационная постоянная (в СИ/= 6 ,6 7 3 -Ю-11 м3/кг*с*).С и л а у п р у г о с т и . Эта сила тоже зависит от расстояния.Ее значение можно определить исходя из закона Гука, согласнокоторому напряжение (сила, отнесенная к единице площади)пропорционально деформации. В частности, для силы упругостипружины получается значениеF=cX,(6)где А,— удлинение (или сжатие) пружины; с — так называемыйкоэффициент жесткости пружины (в СИ измеряется в Н/м).С и л а в я з к о г о т р е н и я . Такая сила, зависящая отскорости, действует на тело при его медленном движении в оченьвязкой среде (или при наличии жидкой смазки) и может быть выражена равенствомR = \ lv,(7)где v — скорость тела; ц — коэффициент сопротивления.
Зависимость вида (7) можно получить исходя из закона вязкого трения, открытого Ньютоном.Силааэродинамического(гидродинамич е с к о г о ) с о п р о т и в л е н и я . Эта сила тоже зависит от*Закон свободного падения тел был открыт Галилеем. Значение g в разныхместах земной поверхности различно; оно зависит от географической широты места н высоты его над уровнем моря. На широте Москвы (на уроян* моря) g —=9,8156 м/с*.185скорости и действует на тело, движущееся в такой, например, среде,как воздух или вода. Обычно ее величину выражают равенством/?=0,5c*pSi>*,(8)где р — плотность среды; 5 — площадь проекции тела на плоскость,перпендикулярную направлению движения (площадь миделя);сх — безразмерный коэффициент сопротивления, определяемыйобычно экспериментально и зависящий от формы тела и от того, каконо ориентировано при движении.И н е р т н а я и г р а в и т а ц и о н н а я м а с с ы .
Для экспериментального определения массы данного тела можно исходить иззакона (1), куда масса входит как мера инертности и называетсяпоэтому инертной массой. Но можно исходить и из закона (5), кудамасса входит как мера гравитационных свойств тела и называетсясоответственно гравитационной (или тяжелой) массой.
В принципени откуда не следует, что инертная и гравитационная массы представляют собой одну и ту же величину. Однако целым рядом экспериментов установлено, что значения обеих масс совпадают с оченьвысокой степенью точности (по опытам, проделанным советскимифизиками (1971 г.),— с точностью до 10~12). Этот экспериментальноустановленный факт называют принципом эквивалентности." Эйнштейн * положил его в основу своей общей теории относительности(теории тяготения).Исходя из изложенного, в механике пользуются единым термином «масса», определяя массу как меру инертности тела и его гравитационных свойств.Глава XVIДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ§ 77.
ДИФФ ЕРЕНЦИАЛЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯМАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИД ля решения задач динамики точки будем пользоваться однойиз следующих двух систем уравнений.У р а в н е н и я в д е к а р т о в ы х к о о р д и н а т а х . Изкинематики известно, что движение точки в прямоугольных декартовых координатах задается уравнениями (см. § 37):2—/ з (0*(9)Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная движениеточки, т. е.
уравнения (9), определить действующую на точку силу•Альберт Эйнштейн (1879— 1955) — выдающийся ученый-физик, создателспециальной теории относительности (релятивистская механика) и общей теорииотносительности.186или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить законее движения, т. е. уравнения (9). Следовательно, для решения задачдинамики точки надо иметь уравнения, связывающие координатых, у, г этой точки и действующую на нее силу (или силы). Эти уравнения и дает второй закон динамики.Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силFt, F t ,.
. ., Fn по отношению к инерциальной системе отсчетаОхуг.Проектируя обе части равенства (2), т. е. равенства ma=1>Fh, наоси х, у, г и учитывая, что ах=д?х1№ и т. д., получим:=m ^ = ZFkv,т ^ = 2 ^ г,(10)или, обозначая вторые производные по времени двумя точками,=тУ =tnz — JlFkz.(10')Это и будут искомые уравнения, т. е. дифференциальные уравнениядвижения точки в прямоугольных декартовых координатах .Т а к какдействующие силы могут зависеть от времени t, от положенияточки, т. е. от ее координат х, у, г, и от скорости, т. е. от vx= x,V[,—у, v z=z, то в общем случае правая часть каждого из уравнений(10) может быть функцией всех этих переменных, т.
е. t, х, у, г, х,у, г одновременно.У р а в н е н и я в п р о е к ц и я х на о с и е с т е с т в е н н о г о т р е х г р а н н и к а . Для получения этих уравненийспроектируем обе части равенства та= 2 F h на оси МхпЬ, т. е. на касательную М х к траектории точки, главную нормаль М п, направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль M b (см. в§ 42 рир. 122; на нем Охуг — оси, по отношению к которым движется точка). Тогда, учитывая, что (см. §43) ax=dvldt, a„=w*/p,аь= 0, получим=m ^ ^ F kn,0 = 2F„.(И )Уравнения (11), где v=ds/d/, представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественноготрехгранника.§78.
РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ(ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ПО ЗАДАННОМУ ДВИЖЕНИЮ)Если ускорение движущейся точки задано, то действующая силаили реакция связи сразу находится по уравнениям (1) или (2). Приэтом для вычисления реакции надо дополнительно знать активныесилы. Когда ускорение непосредственно не задано, но известен закондвижения точки, то для определения силы можно воспользоватьсяуравнениями (10) или (11).187Задача 86.
Воздушный шар весом /" опускается с ускорением а. Какой груз Q(балласт) надо сбросить, чтобы шар стал подниматься с таким же ускорением.Р е ш е н и е . На падающий шар действуют сила тяжести Р и подъемная силаТ (рис. 211, а). Составляя уравнение (2) в проекции на вертикаль, найдем, что(Pig) а=Р —F.Когда будет сброшен балласт (рис. 211, б), вес шара станет равен P—Q, аподъемная сила останется той же. Тогда, учитывая что шар при этом движетсявверх, -получимСP -Q )a /g = F -(P -Q ).Исключая из этих уравнений неизвестную силу F, найдемQ = 2 P /(l+ g/a).Задача 87.
Лифт весом Р (рис. 212) начинает подниматься с ускорением а.Определить натяжение троса.tSР е ш е н и е . На лифт действуют,сила тяжести Р и реакция троса Т. Составляя уравнение (2) в проекции на вертикаль, получим (P/g)a=T—P , откудаT=P{l+a/g).Если лифт опускается с таким же ускорением, то натяжение троса будет равно f 1= P ( l —а/в).Задача 88 . Радиус закругления в точке А моста равен R (рис. 213). Найти,какое давление на мост в точке А окажет автомобиль масс!* т, движущийся соскоростью V.Р е ш е н и е . В точке А автомобиль имеет нормальное ускорение a„=i?/R.При этом на него действуют сила тяжести P=mg и реакция N.
Тогда по уравнению (2), составленному в проекции на нормаль, или непосредственно по второму188из уравнений (И) будетrm?/R=mg—N, откуда N=m{g —»*//?).Сила давления иа мост равна по модулю N, но направлена вниз.Задача 89. Кривошип ОА длины I, вращаясь равномерно с угловой скоростью со, перемещает кулису К, движущуюся поступательно вдоль направляющих1, 1 (рис. 214). Найти, пренебрегая трением, чему при этом равна сила давления Qползуна А на кулису, если вес кулисы Р.Р е ш е н и е .
Проведем координатную ось Ох. Тогда положение кулисы определится координатной x = l cos ф и, поскольку <р=о>t, закон движения кулисы будет x = l cos и>1. Зная этот закон, воспользуемся первым из уравнений (10'). Вычисляя производную от х, получимх — — шЧ cos = —ш*х.Кроме того, <?х= —Q. В результате находим—(P/g)aPx= —Q и Q=(P/g)<o*x.СледовательНо, сила давления ползуна на кулису изменяется пропорциональнорасстоянию х кулисы от оси О.§ 7 9 . РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИДвижение материальной точки будет прямолинейным, когдадействующая на нее сила (или равнодействующая приложенныхсил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальныймомент времени равна нулю или направлена вдоль силы.Если при прямолинейном движении направить вдоль траекториикоординатную ось Ох, то движение точки будет определяться первым из уравнений (10),'т.
е. уравнениемm T F = 2 /:**илиО 2)Уравнение (12) называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:==<13>В случаях, когда при решении задачи надо искать зависимостьскорости от координаты х, а не от времени t (или когда сами силызависят от дс), уравнение (13) преобразуют к переменному х. Таккак d v jd t—dvxld x ‘d x ld t= d v jd x 'v x, то вместо (13) получим:mvx= 2 Fkx,= vx.(14)Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы изданных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т. е.x = f(t).
Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение. Чтобы яснее было, к чему сводится этаматематическая задача, напомним, <гго входящие в правую частьуравнения (12) силы могут зависеть от времени t, от положения189точки, т. е. от х, и от ее скорости, т. е. от vx—x. Следовательно, вобщем случае уравнение (12) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющеевид m x—F(t, х, i).Если для данной конкретной задачи дифференциальное уравнение(12) будет проинтегрировано,.то в полученное решение войдут двепостоянные интегрирования Ci и С % и общее решение уравнения(12) будет иметь видx = f( t, Си Сг).(15)Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца,надо определить значения постоянных С± и С*.
Для этого используются обычно так называемые начальные условия.Изучение всякого движения будем начинать с некоторого определенного момента времени, называемого начальным моментом. Овэтого момента будем отсчитывать время движения, считая, что вначальный момент t = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
