1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 38
Текст из файла (страница 38)
§ 9). Иначе говоря, пара вращений эквивалентнапоступательному (или мгновенно поступательному) двизкению соскоростью и, равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.Примером такого движения является поступательное движениевелосипедной педали DE относительно рамы велосипеда (рис. 201),171являющееся результатом относительного вращения педали вокругоси А , укрепленной на кривошипе В А, и переносного вращениякривошипа ВА вокруг .оси В. Угловые скорости со, и со, этих вращений направлены в разные стороны, а по модулю равны друг другу, так как в любой момент времени угол поворота ср, педали относительно кривошипа ВА равен углу поворота ср, кривошипа.
Скорость поступательного движени'я педали v = ( a 1-BA.Из того, что пара вращений эквивалентна поступательному движению, следует и обратный вывод: поступательное движение твердого тела эквивалентно паре вращений, у которой момент угловыхскоростей этих вращений равен поступательной скорости тела.f 70. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИПолученные в предыдущем параграфе результаты могут быть использованыдля 'кинематического расчета зубчатых передач, образованных цилиндрическимизубчатыми колесами (шестернями). Рассмотрим основные виды этих передач.Р я д о в о й назовем передачу, в которой все оси колес, находящихся в последовательном зацеплении, неподвижны.
При этом одно из колес (например, колесо / на рис. 202) является ведущим а остальные ведомыми. В случае внешнего(рис. 202 , а) или внутреннего (рис. 202 , б) зацепления двух колес имеем I®,!— |ш,| •/■,, так как скорость точки сцепления А у обоих колес одинакова. Учитывая,что число г зубцов сцепленных колес пропорционально их радиусам, а вращенияколес происходят при внутреннем зацеплении в одну сторону, а при внешнемв разные, получаем *(о)1 а)2)ВНе Ш= — Гj / / i = —; (<0j/6>i)BHyT= , , i / T i =При внешнем зацеплении'трех колес (рис. 202, в) найдем, чтоИ i /e > 2= —rt / f 1 ,0 ) ,/(! ) » = —rt /rtИ (0 1/ < l ) j = r , / r 1=ц /z i.Следовательно, отношение угловых скоростей крайних шестерен в этой передаче обратно пропорционально их радиусам (числу зубцов) и не зависит от радиусов промежуточных (паразитных) шес+ерен.Из полученных результатов следует, что при рядовом сцеплении шестеренV < d „ = ( - 1)* г „ / г , = ( - 1)* гА .(Ю1)где k — число внешних зацеплений (в случае, изображенном на рис.
202 ,о, имеетсяодно внешнее зацепление; на рис. 202 , в — два внешних зацепления, на рис. 202 , бвнешних зацеплений нет).Передаточным числом данной зубчатой передачи называется величина i'jr ,дающая отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведо-*Во всех формулах надо учитывать знак ш (to > 0 при вращении против ходаи ю< 0 при вращении по ходу часовой стрелки).172мого:( 102)fln=0)i/«On.Для рядовой передачи значение iln дает правая часть формулы (101).П л а н е т а р н о й называется передача (рис. 203), в которой шестерня 1неподвижна, а оси остальных шестерен, находящихся в последовательном зацеплении, укреплены на кривошипе АВ, вращающемся вокруг оси неподвижнойшестерни.Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й называется передача, изображенная иа рис. 203,если в ней шестерня I не является неподвижной и может вращаться вокруг своейоси А независимо от кривошипа АВ.Расчет планетарных и дифференциальных передач можно производить, сообщив мысленно всей неподвижной Плоскости Ах1у 1 вращение с угловой скоростью—илв> равной по модулю и противоположной по направлению угловой скоростикривошипа АВ (метод остановки или метод Виллиса).Тогда, н& основании результатов § 69,кривошип в этом сложном движении будет неподвижен, а любая шестерня радиуса /> будет иметь угловую скоростьа>дв,где щ — абсолютная угловая скоростьsfoft шестерни по отношению к осям Axty t(рис.
203). При этом оси всех шестерен будут неподвижны и зависимость междущ можно будет определить или приравнивая скорости точек сцепления, или непосредственно по формуле ( 101).Расчет планетарных и дифференциальных передач можно также производитьс помощью мгновенных центров скоростей (см. § 56).Задача 82. В планетарном механизме (рис. 203) шестерня / радиуса rt неподвижна, а кривошип АВ вращается с угловой скоростью содв- Найти угловуюскорость шестерни 3 радиуса rt .Р е ш е н и е . Абсолютные угловые скорости шестерен по отношению к осямА х1у1 обозначим через u)t ((о,=0), <о, и со,.
Сообщив всей плоскости Ах1у1 вращение с угловой скоростью —шда, получим в этоц движении:сч = 0—<одя, ш,=<а,—мдв.ы , = й>.— сода, ® д Я = 0 .В получившейся передаче оси колес неподвижны, а число внешних зацепленийк—2, Тогда по формуле (101)(Oi/w» = r ,/r i или —шдв/(<о*—мдя) = г»/г|.Отсюда находим абсолютную угловую скорость шестерни 3м>=(1—'А ) «даЕсли г ,> г ,( то направление вращения шестерни 3 совпадает с направлениемвращения кривошипа, при rt <r1— не совпадает. В случае, когда rt —rt , получаем(i),=0. Шестерня 3 в этом случае движется поступательно.Относительную (по отношению к кривошипу АВ) угловую скорость шестерни 3 найдем по формуле (97).
Так как абсолютная скорость он^Ш мт'Ьи.дв (Узловая скорость кривошипа является для шестерни 3 переносной), то<»зот = “ з —»>дв = — ( n l'i) ®лвПри r ,= r f получаем шаот= —(ода- Относительная ш!от и переносная о»даугловые скорости образуют при этом пару, и мы другим путем приходим к выводу,что результирующее движение шестерни 3 является в этом случае поступательным со скоростью v=<oAb ‘AB.Задача 83. Редуктор скоростей (рис.
204) состоит из: а) неподвижной шестерни 1; б) двух спаренных шестерен 2 и 3, насаженных на кривошип, скрепленный с173ведущим ралом АС (зацепление шестерен 2 и 1 внутреннее); в) шестерни 4, сидящей на ведомом валу DB. Числа зубцов шестерен: гх= 120, z2= 40, z,=30, z4= 50.Ведущий вал делает л д = 1500 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомоговала В.Р е ш е н и е . Обозначим абсолютные угловые скорости: вала АС вместе скривошипом через «>д, шестерни 4 вместе с валом DB через шд, шестерен 2 и 3черев to2J (эти шестерни вращаются как одно тело).
Шестерня 1 имеет угловуюскорость Ш|—0. Сообщив плоскости х1у1<параллельно которой движется механизм,вращение с угловой скоростью — шд, получим, что кривошип в этом движениибудет неподвижен (ш д= 0 ), а шестерни будут иметь»скорости:« ^ = 0 — Шд, C0j 3 = CD,S— ш д, ш4 = ш в — <од.Составляя теперь для шестерен 1 и 2 и шесте*рея 3 и 4 зависимости (101), получим:Wi/wjj =ш,д/а>4 = —z4/za.Перемножая эти равенства, найдем, чтоШ1/Ш4 = —илисод/((ов —сод) = z^ /z x zj.Отсюда, учитывая, что величина п об/мин, про*порциональна со, находимлВ= ( 1 + 21 z3/z2 z j лд=4200 об/мин.Задача 84.
Решить предыдущую задачу при условии, что шестерня 1 вращается в ту же сторону, что и ведущий вал АС, делая лх= 1100 об/мин (редукторс дифференциальной передачей).Р е ш е н и е . Ход решения остается таким же, как и в задаче 83, с той лишьразницей, что теперь (Oj^O (причем по условиям задачи знаки «о, и шд совпадают);следовательно, 0^ = % —и д. В результате полученная в задаче 83 пропорция©1/w4= - 4 jz1/z1z* дает(©I—Шд)/(Шд—ш д)=—Отсюда, переходя к оборотам в минуту, находим" B = ^ + ( z 1zJ/z 2z4) (яд—л , ) = 2 2 2 0 об/мин.Если шестерня 1 вращается в противоположном направлении, то в полученномрезультате надо изменить знак при лх.§ 71.
СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ1. С л о ж е н и е у г л о в ы х с к о р о с т е й . Пусть относительное движение тела представляет собой вращение с угловойскоростью eoj вокруг оси аха, укрепленной на кривошипе 2(рис. 205, а), а_переносным является вращение кривошипа с угловой скоростью со, вокруг оси Ьф, которая с осью аха пересекается вточке О. Схематически такой случай сложения вращений вокругпересекающихся осей показан на рис. 205, б.Очевидно, что в этом случае скорость точки О, как лежащейодновременно на обеих осях, будет равна нулю и результирующеедвижение тела является движением вокруг неподвижной точки О.Тогда тело имеет в данный момент времени угловую скорость ш,направленную по мгновенной оси вращения, проходящей черезточку О (см. § 60).174Чтобы определить значение со, найдем скорость какой-нибудьточки М тела, радиус-вектор которой г —ОМ.
В относительномдвижении (вращение вокруг оси Оа) точка М , согласно формуле(76), получит скорость t»0T= © iX r; в переносном же движении(вращение вокруг оси ОЬ)точка получит скорость а)■6) с \ипер= й),Х г. Тогда абсолют- сная скорость точки М^аб —^от ~t~^пер 5=5в=(а^ + а>,)хг.Но так как результирующее движение тела является мгновенным вращением с некоторой угловойскоростью ш, то должнобытьРис. 205= to х г.Поскольку точка М — любая точка тела, полученные равенствадолжны выполняться при любом г, что возможно лишь тогда, когда(0 = 0)1+ (Oj.(103)Следовательно, при сложении вращений вокруг двух осей,пересекающихся в точке О, результирующее движение тела будетмгновенным вращением вокруг оси Ос, проходящей через точку О,и угловая скорость этого вращения будет равна геометрическойсумме относительной и переносной угловых скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
