1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 33
Текст из файла (страница 33)
При этом, как следует из (66 ),aM/MQ = aA/AQ = . . . = У e * - f a \(67)т. е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений. Картина распределения ускорений (т. е. поле ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени) показана на рис, 169.! 0 1870146Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгновенного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают.
Например,если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис. 170), причем скорость егоцентра С постоянна (t'c=const), то мгновенный центр скоростей находится в точке Р (vP= 0), но при этом, как было показано в задаче 67, арф0\ следовательно,,точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений. Мгновенныйцентр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она движется равномерно и прямолинейно и ас —0. Центры скоростей и ускорений совпадают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси.Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решениинекоторых задач.Задача 70. Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость vcегб центра С постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса (рис.
170).Р е ш е н и е . Так как по условиям задачи t>c=const, то о с = 0 и точка Сявляется мгновенным центром ускорений. Мгновенный центр скоростей находитсяв точке Р. Следовательно, для колесаa = t’clP C = vc lR = const, e=dw /d<= 0 , tg ц=е/ш 8= 0 , ц = 0 ,В результате по формуле (66 ) находимвЛ = MC-(o* = vc/R.Таким образом, ускорение любой точки М обода (в том числе и точки Р) равно v£ /R и направлено к центру С колеса, так как угол ц = 0 . Заметим, что это ускорение для точки М не будет нормальным ускорением. В самом деле, схоростьточки М направлена перпендикулярно РМ(см.
задачу 61). Следовательно, касательная Мт к траектории точки М направлена вдоль линии MD, а главная нормальМ п — вдоль МР. Поэтому а м = ам со* а ,sin а.Задача 71. Кривошип ОА вращается С ПОСТОЯННОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ й>ОА(рйс. 171). Найти ускорение ползуна В и угловое ускорение шатуна АВ в тот мо*мент времени, когда Z ВОА=9СР, если ОА=г, АВ=1.Р е ш е н и е . В рассматриваемый момент времени скорости всех точек шатуна А В равны »д (см. задачу 63, рис.
159, б). мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и ш дд= 0. Тогда tg ц = ед в/ш д в= оо ц=90° (ед а#0,так как в противном случае по формулам (60) и (59) а д д = 0 и а д = в д , что невозможно, поскольку эти два вектора взаимно перпендикулярны).Ускорение точки А ад = а д = /ч о о д и направлено вдоль Л О. Ускорение точки В,так как она движется прямолинейно, направлено вдоль ОВ, Из рис, 169 видно,146что ускорение любой точки М тела направлено под углом ц к линии MQ. В данномслучае ц=90°; следовательно, линии /1Q и BQ должны быть перпендикулярныаЛ и аВ- Восставляя эти перпендикуляры, [находим, положение точки Q.
Составляя теперь пропорцию (67) ад/В ф = ад/AQ, где B Q =r, AQ = У 1 г — гъ, получаемУскорение ам любой другой точки М шатуна А В будет перпендикулярноMQ (ц = 90°); модуль аЛ1 находится из пропорции (67).Угловое ускорениешатуна найдем из равенства ag^=BQ-eAg, которое'дает формула (66) при шдд=0. Следовательно, ,(in = ай ==___ Т . ■(|Л *.АвBQy iC Z T *Глава XI I *ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГНЕПОДВИЖНОЙ т о ч к иИ ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛАf 60. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУНЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУРассмотрим движение по отношению к системе отсчета Ox^yxZiтвердого тела, закрепленного так, что одна его точка О остается вовсе время движения неподвижной.
Такое движение совершает,например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о плоскость, -или любое другое тело, закрепленное в точке О шаровымшарниром.1.У р а в н е н и я д в и ж е н и я . Найдем, какими параметрами определяется положение тела, имеющего неподвижную, точку.Для этого свяжем жестко с телом трехгранник Охуг, по положениюкоторого можно судить о положении тела (рис. 172). Линия ОК,вдоль которой пересекаются плоскости Оху и Ох,у х, называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям О-и^г, трехгранника Охуг, а с ним и самого тела можно определить углами:(p—Z-KOx, ^ —Z-XiOK, В = / г & г .Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятыеиз небесной механики наименования: <р — угол собственного вращения, ^ — угол прецессии, 0 — угол нутации. Положительныенаправления отсчета углов показаны на рис. 172 стрелками.Чтобы знать движение тела, надо знать его положение по отношению к осям OxitjiZy в любой момент времени, т.
е. знать зависимости:Ф = Л (0, $ = / . ( 0 , е = М 0 .(68)ю*147Уравнения (68), определяющие закон происходящего движения,называются уравнениями движения твердого т ем вокруг неподвижной точки.2.У г л о в а я с к о р о с т ь т е л а . При изменении углатело совершает вращение вокруг, оси Ог (собственное вращение) сугловой скоростью со!=ф, при изменении угла ^ — вращение вокруг оси Oil (прецессия) с угловой скоростью a>,=i|> и при измененииугла 0 — вращение вокруг линии узлов ОК (нутация) с угловойскоростью со»= 6 .
Векторы со,, со,, со8 этих угловых скоростей направлены соответственно по осям Ог, 0 гх и ОК (рис. 173). Посколькупри движении тела изменяются вообще все три угла, движениетела представляет собой вращение с угловой скоростью <■>, равнойгеометрической сумме названных угловых скоростей (справедливость этого вывода будет подтверждена в § 71). Таким образом,© = © !+ <ot-f со*._ Поскольку значения соь со,, со» со временем изменяются, векторо будет при движении тела тоже изменяться и численно, и по направлению.
По этой причине со называют еще мгновенной угловойскоростью тела.3.Г е о м е т р и ч е с к а я к а р т и н а д в и ж е н и я тел а. Если тело имеет в данный момент времени угловую скоростьсо, то его элементарное перемещение за промежуток времени i tпредставляет собой элементарный поворот на угол d6=cod/ вокругоси ОР, вдоль которой направлен вектор со (см.
рис. 173). Эта осьОР называется мгнЬвенной осью вращения. Иначе, мгновенная осьвращения — это ось, элементарным поворотом вокруг которой телоперемещается из данного положения в положение бесконечно близкое к данному.- Ог неподвижной оси мгновенная ось вращенияотличается тем, что ее направления и в пространстве, и в самом теленепрерывно меняются.Переместившись элементарным поворотом вокруг оси ОР в соседнее положение, тело из этого положения'в последующее перемещается поворотом вокруг новой мгновенной оси вращения 0 Р Хи т. д.Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвижной точки148слагается из серии последовательных элементарных поворотоввокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту неподвижную точку (рис.
174).4. У г л о в о е у с к о р е н и е т е л а . Векторная величинаe = dco/d<,(69)характеризующая изменение с течением времени угловой скорости ипо модулю, и по направлению, называется угловым ускорением телав данный момент времени или мгновенным угловым ускорением.При изменении вектора и его конец А будет описывать в пространстве некоторую кривую AD, являющуюся годографом вектора© (см. рис. 174). Тогда, сравнивая_выражение (69) с равенством v= dr /dt ,приходим ц выводу, что угловое ускорение е можно вычислять как скорость,с которой конец вектора о перемещается вдоль кривой AD. В частности, направление е совпадает с направлениемкасательной к кривой AD в соответствующей точке.
Следовательно, в данномслучае, в отличие от случая вращениявокруг неподвижной оси, направлениевектора е не совпадает с направлениемРис. 174вектора со.Векторы со и е являются основными кинематическими характеристиками движения тела, имеющего неподвижную точку. Ихможно определить аналитически, зная уравнения движения (68),как это показано в § 61. Значение со можно найти и геометрически(см. § 62).{ 61. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРАДля определения вектора ш найдем его проекции на подвижные оси Охуг(рис. 175). Как было отмечено в §60, этот вектор можно представить в видем =йн-й» + ю«,(70)где численноа>1 = ф , со, = Vjj, <0j = 0.Проектируя обе части равенстпа (70) на оси х, у, г, получим:шх = ш1* + ш«х + шзх.=а>г = Ши-}-С|)л+С0| , .(71)(72)Проекции векторов % и ш3 находим сразу [см.
рис. 175 и обозначения (71)]:wx* = w1„=p 0 , <о„ = ф; <в»* = 0 со»ф, ш3|/= — § s ln $ , coj, = 0 .Для определения проекций вектора ш2 проведем через оси О*! и Ог плоскость*которая пересечется с плоскостью Оху вдоль линии OL. Так как линия ОК перпендикулярна плоскости zOzlt то она перпендикулярна и линии OL (Z.KOL=9&>,а £ L 0 y = ф).
Тогда, проектируя вектор ш, на линию OL, а эту проекцию в свою149очередь на оси Ох и Оу, получим;ш.* = ф sin 9 sin ф, ь>2у = ij>sin 9 cos ф, wlz = tji cos 9.Подставляя все вычисленные проекции в правые части равенств (72), найдемокончательноЧ)х = sin 0 sin ф -f- 0 cos ф,toу = if Sin 0 cos ф — 0 sin ф,С73)Ш, = Ф + фсо 5 0.Уравнения (73) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они определяют проекции вектора угловой скорости тела со на подвижные оси Охуг черезуглы Эйлера; тем самым определяется и век*тор со.Аналогично можно найти проекции вектора со на неподвижные оси O x y y t f Соответствующие формулы имеют видшХ1 = ф sin 0 sin ip + 9 cos ф,Шу, = — ф sin 0 cos i|3 + 0 sin if,■(74)ю*, = Ф соз.0+ф.Рис.
175Используя равенства (74), можно определить проекции-на неподвижные оси Ох^у^хвектора е. Так как значение в дается форму*лой(69),то*= Ci)* , еу1=<ву1« вг^=шг^.(75)Эти проекции и определяют вектор Г. Таким образом, зная уравнения движения (68 ), можно, по полученным формулам найти ш и е.§62.
СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛАТак как тело, движущееся вокруг неподвижной точки, имеет вкаждый момент времени мгновенную ось вращения ОР, вокруг которой происходит элементарный поворот с угловой скоростью ы(рис. 176), то вектор скорости какой-нибудь точки М тела будетопределяться в этот момент равенством (48) из § 51, т. е.v= axr,(76)где г — радиус-вектор, проведенный в точку М из неподвижнойточки О. Направлен вектор v перпендикулярно плоскости МОР,проходящей через точку М и ось ОР, в сторону поворота тела.Численно жеv= ioh ,(76')где h = M C — расстояние точки М от мгновенной оси.Г е о м е т р и ч е с к и скорость любой точки М тела в данный момент времени можно найти, зная в этот момент скорость vA_ * Заметны, что, дифференцируя равенства (73), нельзя найти проекции вектора 8 на оси х, у, г, так как соотношения (11) из § 40 справедливы только для проекций на неподвижные оси.150какой-нибудь точки А тела и направление скорости v s_другой точки В этого тела (сравн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
