1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ускорение любой точки плоской фигурыв данный момент времени можно найти, если известны: 1) векторыскорости vA и ускорения аА какой-нибудь точки А этой фигуры вданный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фигуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры достаточно знать положение мгновенного центра скороетей.Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в томположении, для которого требуется определить ускорение соответствующей точки.
Расчет начинается с определения по данным задачискорости и ускорения точки, принимаемой за полюс. Дальнейшиеособенности расчета подробно рассматриваются в решенных нижезадачах. Там же даются необходимые дополнительные указания.141Задача 67.. Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 165),имеет в данный момент времени скорость v0 — 1 м/с и ускорение oq= 2 м/с*. Радйусколеса R = 0,2 м. Определить ускорение точки В — конца перпендикулярногоОР диаметра А В и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей.__Р е ш е н и е . 1) Так как v0 и оо известны, принимаем точку О за полюс.2) О п р е д е л е и и е <о.
Точка касания Р является, мгновенным центром скоростей; следовательно, угловая скорость колесаш= vqIPO= voIR.(а)Направление ш определяется направлением vq и показано на чертеже сплошной стрелкой.3) О п р е д е л е н и е е. Так кдк в равенстве (а) величина PO=R остаетсяпостоянной при любом положении колеса, то, дифференцируя это равенство повремени, получим(ко1 duoво1 Г = Т И Г или е= Х -(б)Знаки <о и е совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.Важно помнить, что величина е определяется равенством (б) только в том случае, когда расстояние РО в формуле (а) постоянно.П р и м е ч а н и я : а) не следует думать, что если по условиям задачи«0 = 1 м/с, то t»o= const.
Значение «о в задаче указано для данного момента времени', с течением же времени vo изменяется, так как аоФО;б) в данном случае dvoldt= a0 , так как движение точки О является прямолинейным. В общем случае d:'o/d/=aJ,.4) О п р е д е л е н и е а%о и аво- Так как за полюс взята точка О, то поформуле (61)ав = а0 + а во+ аво-(в)Используя равенства (а) и (б) и учитывая, что в нашем случае B 0 = R , находим:а % о -В О -в = ао = 2м/са, ав о = ВО-ш%= v b /R = 5 м/с*.(г)Показав на чертеже точку В отдельно, изображаем (без соблюдения масштаба)векторы, из которых слагается ускорение ав , а именно; вектор Но (переносим източки О), вектор a io (в сторону вращения, так как оно ускоренное) и вектор аЗо(всегда от В к полюсу О).5) В ы ч и с л е н и е «д. Проведя оси Вх и By, находим, чтоОвх — ° в о — ао = 3 м/с*, аВ]1 — аЪо=2 м/с1,142откуда________ав = V a i x + а |у = У 13 = 3,6 м/с*.Аналогичным путем легко найти и ускорение точки Р:ар=а'}>о— 5 м/с* инаправлено вдоль РО.
Таким образом, ускорение точки Р, скорость которой бданный момент времени равна нулю, нулю не равно.Задача 08. По неподвижной шестерне 1 радиуса ^ = 0 ,3 м обкатывается шестерня 2 радиуса / 2= 0,2 м, насаженная на кривошип ОА (рис. 166, а). Кривошип,вращающийся вокруг оси О, имеет в данный момент времени угловую скорость<!)= 1 с -1 и угловое ускорение е = —4 с- *.
Определить в этот момент времени ускорение точки D, лежащей на ободе подвижной шестерни (радиус AD перпендикулярен кривошипу).Р е ш е н и е . 1) Для решения задачи надо рассмотреть движение шестерни 2.По данным задачи легко найти скорость ид и ускорение ад точки А этой шестерни,которую и выбираем за полюс.2) О п р е д е л е н и е ид и ад. Зная ш и е кривошипа, находим:1>д = ОЛ-со = 0,5 м/с; а * = О Л -е = —2м/с*;ад = СМ-со* = 0,5 м/с*.(а)Так как знаки у од и ад разные, то движение точки из данного положенияявляется замедленным. Векторы ад и ад имеют направления, показанные начертеже.3) О п р е д е л е н и е ш2.
Точка касания Р является мгновенным центромскоростей для шестерни 2\ следовательно, угловая скорость ш2 шестерни 2ш, = «д/у4Р = кд/г2; ш2 = 2,5 с - 1 .(б)Направление <i>2 (направление вращения шестерни) определяется направлением од и показано сплошной стрелкой.4) О п р е д е л е н и е е2. Как.и в предыдущей задаче, величина A P —rt вовсе время движения постоянна. Поэтомув>=- Ж = 7 7: е ,= ~ Юс_’-(в)Так как знаки <о2 и е2 разные, то вращение шестерни 2 является замедленным.5) О п р е д е л е н и е аЪл и °Ъа - Ускорение тдчки D найдем по формуле(63):aD= *ЯЛ +a !4 +a ^M +аDЛ•В нашем случае D A—r% иахВ л = О А -ел = — 2 м/с*; a£^ = D/4-co*= 1,25 м/с*.Изображаем на чертеже (рис. 166, б) векторы, и£ которых слагается ускорение aD, именно: а д , ад (переносим из точки А)\ ад д (против вращения, таккак оно замедленное); адд (от D к полюсу А).6 ) В ы ч и с л е н и е ад.
Проводя оси D x и Dy, находим, что*Dx = I ад | + адд = 3,25 м/с*;aD y = I “DA I — вд = 1,5 м/с*,откуда_________aD = Y a b t + aoi/ « 3,58 м/с*.Задача 69. К кривошипу ОА , равномерно вращающемуся вокруг оси Ос угловой скоростью шо/1= 4с - 1 (рис. 167), прикреплен шатун А В , соединенны!)с коромыслом ВС.
Даны размеры: 0 л = г = 0 ,5 м, А В = 2г, В С = г У 2. В положении, изображенном на чертеже, Z ОАВ—90°, а ^ А В С —АЪ0. Определить для этогоположения ускорение точки В шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение коромысла ВС и шатуна АВ.U3Р е ш е н и е . 1) Рассмотрим движение шатуна АВ\ выберем в качестве полюса точку А. Для нее, так как й>од=const:0 Л = го>см = 2 м/с; аА = <&= т о А = 8 м/с*.(а)Изображаем векторы v A и ад на чертеже.2)О п р е д е л е н и е о>дд.
Нам известна траектория точки В шатуна (окружность радиуса ВС). Зная поэтому направление t>д (ид I ВС), строим мгновенный центр скоростей Р шатуна АВ. Легко видеть, что А Р = А В = 2г. Тогда<*ab = va /AP или й>да = ш0 д /2 = 2 с " 1.(б)Направление поворота показано на чертеже.В этом случае расстояние АР при движении механизма не остается постоянным и для определения еда нельзя воспользоваться приемом, примененным вдвух предыдущих задачах. Рассмотримпоэтому другой метод решения.3)Анализвекторногоу р а в н е н и я (61).
Учитывая, что ад=»= а Ь + в в , представим уравнение (61) ввиде<ja+ ав = ал +авд+~Йд-(в)Изобразим все векторы на рис. 167 (ад иа£д направляем tax, как если бы соответствующие вращения были ускоренны*ми). Рассмотрим, какие из входящих вуравнение (в) величин известны численноили могут быть по данным задачи вычисленны. Мы знаем ускорение ад полюса А . Кроме того, зная <вдд, можно найти овд, а зная од, можно определить vg и вычислить а% — v%/BC.
Таким образом, в векторном уравнении (в) неизвестны только числовые значения двухподчеркнутых величин: аЪ и адд. Но в проекциях на оси равенство (в) дает дваскалярных уравнения, из которых эти неизвестные и определяются.Произведем предварительно подсчет адд и ад.4) О п р е д е л е н и е адд. Зная <0дд, по формуле (62) находимова =А В -(ода = 4 м/с*.(г)5) О п р е д е л е н и е ад. Зная траекторию точки В, можно определитьнормальное ускорение а% этой точки. Для этого найдем сначала по теореме проекций (или с помощью мгновенного центра Р) скорость vg. Получим од cos 45°=ид<откуда va = vAy 2.
Тогдаа% = 1'Ь/ВС*=ъ!‘л / г У '2 = 8 У~2 м/с*.(д)6 ) О п р е д е л е н и е ав и ад. Для определения ад спроектируем обе части равенства (в) на ось В А , перпендикулярную другому неизвестному векторувЬд. Получимав cos 45° + а д cos 45р = а д д .Подставляя сюда вычисленные значения ав и адА, найдемаЪ = авл V 2 — ав — —4 У 2 м/с*.(е)Знак минус показывает, что вектор ад имеет направление, противоположное ~ид(вращение коромысла СВ из данного положения замедленное).Теперь определяем ад:ав =144V (ав)а +(ав)а = 4 / 1 6 = 1 2 , 6 5 м/с*.7) О п р е д е л е н и еа>вс и ев с • Зная v b = v a V 2 и ав, находимозвс — vBjBC ~ 4 с " 1, &вс ~ ^Ь/ВС = — 8 С-*.8) О п р е д е л е н и ееАд.
Чтобы найти гдд, надо вычислить а вА- Дляэтого спроектируем обе части равенства (в) на ось ВР, перпендикулярную а%.Получимав — — соэ 45° — а в л cos 4 5 °+ <&а cos 45е.Отсюдаова = — ав У 2 — а А + а в А = — 20 м/с*в по первой из формул (62)8^ в = ° в л М б = — 20 с-*.Знак минус в обоих случаях указывает, что вращение шатуна А В из рассматриваемого положения является замедленным.§59*. МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР УСКОРЕНИЙПри непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый моментвремени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю.
Эта точка называетсямгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известныускорение аА какой-нибудь точки А фигуры и величины ю и е, следующим путем:1) находим значение угла ц из формулы tg ц=е/о*;2) от точки А под углом р к вектору а а проводим прямую А Е (рис. 168);яри этом прямая АЕ должна быть отклонена от« сторону вращения фигуры, есливращение является ускоренным, и против вращения, еслионо является замедленным, т. е.
в сторону направленияуглового ускорения е;3) откладываем вдоль линии А Е отрезок AQ,равныйA Q = a A/ V e«+<oV(64)Построенная таким путем точка Q и будет мгновенным центром ускорений. В самом деле, по формулам (59) и (60)_OQ = aA + aQA,Рис. 168где численно aQA= A Q Y еа+ ш 4. Подставляя сюда значение Л<2 из равенства(64), находим, что а р ^ = в д . Кроме того, вектор oqa должен образовывать с линией i4Q угол р, следовательно, вектор oqa параллелен а а , но направлен в противоположную сторону. Поэтому oqa —— оа и Oq = 0.Если точку Q выбрать за полюс, то так как а ^ = 0 , ускорение любой точки Мтела, согласно формуле (59) будетaM= aQ-b^MQ —°MQ-(6б)При этом из равенств (60) следует, что численноo m ==MQ У е* + о)«.(66 )Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенногоцентра ускорений Q.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
