1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Обычное уравнение траектории получим,исключив из системы (51) время t.Если рассматривается движение звена какого-нибудь механизма,то для определения траектории любой точки этого звена достаточновыразить ее координаты через какой-нибудь параметр, определяющий положение механизма, а затем исключить этот параметр.Уравнения движения (50) при этом знать не обязательно.Задача 58. Ползуны А и В, к которым прикрепляется линейка эллипсографа,перемещаются по взаимно перпендикулярным направляющим (рис. 145). Расстояние АВ=1. Определить траекторию точки М линейки.Р е ш е н и е . Взяв за полюс точку А , будем определять положение точки Мна линейке отрезком АМ =Ь. Положение самой линейки задается углом <р.
Тогдадля координат х и у точки М получим: х=(Ь—0 cos ф, y —b sin ф. Исключая параметр ф, находим, что траекторией точки (независимо от закона движения линейки)будет эллипс*»/(&—/)4-yW = lс полуосями а = ] 6—/| и б и с центром в точке О.Меняя с помощью соответствующих винтов расстояния tu b , можно вычертитькарандашом М эллипс с любыми заданными полуосями, не превосходящими размеров линейки.
Отсюда и название механизма — эллипсограф.g 1870129f 54. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫВ § 52 было отмечено, что движение плоской фигуры можнорассматривать как слагающееся из поступательного движения, прикотором все точки фигуры движутся со скоростью vA полюса А, и извращательного движения вокруг этого полюса.
Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически изскоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.В самом деле, положение любой точки М фигуры определяетсяпо отношению к осям Оху радиусом-вектором г = г А+ г ' (рис. 146),где гА — радиус-вектор полюса А , г’= А М — вектор, определяющий положение точки М относительно осей А х'у', перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг лолюса А).Тогда—dгdrA , dr'dtVm~ Wr-g r-В полученном равенстве величина 6rAl i t —vA есть скоростьполюса А; величина же dr'/dt равна скорости vMA, которую точка Мполучает при rA=const, т. е.
относительно осей Ах'у', или, иначеговоря, при вращении-фигуры вокруг полюса А . Таким образом, изпредыдущего равенства действительно следует, чтоVM- VA + VMA-(5 2 )При этом скорость vMA, которую точка М получает при вращениифигуры вокруг йолюса А , будет (см. §51):умл = а -М А(vma _L Ш ) ,(53)где © — угловая скорость фигуры.Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А,принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает привращении^ фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направлениескорости vM находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.
147).130Задача 59. Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 148), если скорость центра С колесаравна vc, а угол D K M = a.Р е ш е н и е . Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем,что й ^ = й с + й л ю где О мсА^М и по модулю vAic= a-M C = a)R (R — радиус колеса). Значение угловой, скорости ш найдем из условия того, что точка К колёсане скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени »*•= О.
С другой стороны, так же как и для точки М , v^ = vc -\-vk c , где ид-с = ш - /(С = ш Я . Таккак для точки К скорости v k c и v q направлены вдоль одной прямой, то при 1 ^ = 0*>kc = vc >откуда ® = сс 'Л. В результате находим, что vjtfc= < nR = vc .Параллелограмм, построенный на векторах v/^c и 1'с< будет при этом ромбом.Угол между 1>с н~ймс равен р, так как стороны, образующие этот угол и угол р,взаимно перепендикулярны. В свою очередь угол р = 2 а , как центральный угол,опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол а . Тогда по свойствам ромбауглы между vc и ид| и между vm c и vm тоже равны а .
Окончательно, так какдиагонали ромба взаимно перепендикулярны, получим»Л1 = 21'c cos а и v^i J_ К М .Расчет, как видим, оказывается достаточно громоздким. В дальнейшем мыпознакомимся с методами, позволяющими решать аналогичные задачи гораздопроще (см. задачу 61 в § 57).{ 55. ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙДВУХ ТОЧЕК ТЕЛАОпределение скоростей точек плоской фигуры (или тела, движущегося плоскопараллельно) с помощью формулы (52) связанообычно с довольно сложными расчетами (см. задачу 59).
Однакоисходя из этого основного результата,можно получить ряд других, практически более удобных и простых методов определения скоростей точек фигуры (или тела).Один из таких методов дает теорема: проекции скоростей двух точектвердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (илитела). Принимая точку А за полюс (рис. 149), получаем по формуле(52), что vB= v A+ v SA. Отсюда, проектируя обе части равенства наось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор vBA перпендикулярен АВ', находимuBcos Р = yAcos а ,(54)и теорема доказана.
Заметим, что этот результат ясен и из чистофизических соображений: если равенство (54) не будет выполняться,то при движении расстояние между точками А и В должно измениться, что невозможно, так как тело считается абсолютно твердым.Поэтому равенство (54) выполняется не только при плоскопараллельном, но и при любом движении твердого тела.9*131Доказанная теорема позволяет легко находить скорость даннойточки тела, если известны направление скорости этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела.Задача 60.
Найти зависимость между скоростями точек Л и в линейки эллипсографа (см. рис. 145) при данном угле <р.Р е ш е н и е . Направления скоростей точек А и В известны. Тогда, проектируя векторы 5^1 и vb на ось, направленную по А В , получим согласно доказаннойтеореме11л cos <р—ид cos (90°—ф),откуда vA— vBtg ф.$ 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫС ПОМОЩЬЮ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ.ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРОИДАХДругой простой и наглядный метод определения скоростей точекплоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, тотакая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная.
Пусть в момент времени t точки Аи В плоской фигуры имеют скорости vA иv B, не параллельные друг другу (рис. 150)Тогда точка Р , лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору vA и ВЬ к вектору vB, и_будет мгновенным центром скоростейтак как vp = 0 * . В самом деле, если допустить.Рис. 150что урФ 0, то jto теореме о проекциях скоростей вектор_ vp должен быть одновременноперпендикулярен и А Р , (так как vA± А Р ) и ВР (так как vB LBP),что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равнуюнулю (например, для точки.а проекция vB на линию Ва не равнанулю и, следовательно, va=£0 и т. д.).Если теперь в момент времени t взять точку Р за полюс, то поформуле (52) скорость точки А будетvA =~vP + vPA ^ v PA,так как vp = 0 . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры.
Следовательно, скорости точек плоской фигурыопределяются в данный момент времени так, как если бы движениефигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При*Размеры фигуры всегда можно представить себе такими, что точка Р будетпринадлежать этой фигуре (см. ниже пример и рис. 151).132этом согласно соотношениям (53):= со • РА^ (va 1_PA)\Vg — Ы’РВ (ив J _РВ) и т. д.(55)Из равенств (55) следует еще, чтоУАРА(56)' РВ 'т. е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.Полученные результаты приводят к следующим выводам.1. Д ля определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей уА и vB каких-нибудь двух точек А к Вплоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центрскоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек Л и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям).2.
Для определения скорости любой точки плоской фигуры надознать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точкиА фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, восставив из точек Л и В перпендикуляры к иА_и vB, построим мгновенный центр скоростей р и по направлению иА определим направление поворота фигуры.
После этого, зная vA, найдем по формуле(56) скорость vM любой точки М плоской фигуры. Направлен вектор vM перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.3. Угловая скорость © плоской фигуры равна в каждый данныймомент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры кее расстоянию от мгновенного центра ско^росшей Р:у, w(57)^что видно из формул (55).Найдем еще другое выражение для со.Из равенств (52) и (53) следует, что«ва=1«в—wA| и иВА=<о-ЛВ, откудаю= l a z f f i = IАВtjriM ) I.АВ(58)Когда 1>А= 0(точка А — мгновенныйцентр скоростей), формула (58) переходит в (57).Равенства (57) и (58) определяют одну и ту же величину, так какпо доказанному (см. § 52) поворот плоской фигуры вокруг точки Аили точки Р происходит с одной и той же угловой скоростью (О.Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
