1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ ТОЧКИЗадачи, решаемые методами кинематики точки, могут состоять вопределении траектории, скорости или ускорения точки, в отыска­нии времени, в течение которого точка проходит тот или иной путь,или пути, проходимого за тот или иной промежуток времени, и т. п.Прежде чем решать любую из такого рода задач, надо устано­вить, по какому закону движется точка. Этот закон может быть не­посредственно задан в условиях задачи (задачи 47, 48) или же изусловий задачи определен (задачи 49, 50).Задача 47. Движение точхи задано уравнениями (х, у — в метрах, t — » се­кундах):x = 8 t—4fi, у=6<—З ЛОпределить траекторию, скорость и ускорение точки.Р е ш е н и е . Для определения траектории исключаем из уравнений дви­жения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второ­го — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: Зх—4 у = 0или у —3x14.103Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под уг­лом в , где t g a — *lt (рис.

118).Определяем скорость точки. По формулам (12) и (13) получаем:р < = х = 8 (1 — Q, i> „ = :y = 6 (l — 0 ;v = V v l + v l = l O \ 1 — /|.Теперь находим ускорение точки. Формулы (14) и (15) дают:ах — х = —8, ау = у = —6, а = 10м/с*.Направлены векторы v и а вдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекцииускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускоре­ние имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0 < < < 1 по­ложительны, следовательно, в течение этого промежутка времени скорость трчкинаправлена от О к Л. При этом в момент времени t= 0 v = 10 м/с; в момент t= 1 с V—0.В последующие моменты времени (<>1 с) обе проекции скорости отрицательны и,следовательно, скорость направлена от В к А , т.

е. так же, как и ускорение.Заметим, наконец, что при < = 0 * = 0 и у= 0; при / = 1с х = 4 , у= 3 (точка В);при <=2с * = 0 , у = 0; при /> 2 с значения х н у растут по модулю, оставаясь отри­цательными.И так, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают намвсю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной ско­ростью в ,= 10 м/с и происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углома , для которого tg а = * /4. На участке ОВ точка движется замедленно (модуль еескорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где ско­рость ее обращается в нуль.

Отсюда начинается ускоренное движение в обратнуюсторону. В момент /= 2 с точка вновь оказывается в начале координат -и дальшепродолжает свое движение вдоль ОА . Ускорение точки все время равно 10 м/с*.Задача 48. Движение точки задано уравнениями:x —R sin оit, y = R cosorf, г= tit,где R , ш н и — постоянные величины.

Определить траекторию, скорость и уско­рение точки.Р е ш е н и е . Возводя первые два уравнения почленно в квадрат и складывая,получаем***+!/*=**.Следовательно, траектория лежит на круглом цилиндре радиус# R , ось ко­торого направлена вдоль оси Ог (рис. 119). Определяя из последнего уравнения tи подставляя в первое, находимx = R sin (юг/и),104Таким образом, траекторией точки будет линия пересечения синусоидальнойповерхности, образующие которой параллельны оси Оу (синусоидальный гофр)с цилиндрической поверхностью радиуса R .

Эта кривая называется винтовойлинией. Из уравнений движения видно, что один виток винтовой линии точка про­ходит за время tlt определяемое из равенства2л. При этом вдоль оси г точ­ка за это время перемещается на величину h = u t1=2nul<o, называемую шагомвинтовой линии.Найдем скорость и ускорение точки. Дифференцируя уравнения движения'повремени, получаем:vx = x = Rto cos cof, vy = y = — Ra> sin co/,vt — z = u,откудаd = Y R * & (cos* ait -(-sin* at) + u J = Y #*to*+ « * .Стоящие под знаком радикала величины постоянны.

Следовательно, движениепроисходит с постоянной по модулю скоростью, направленной по касательнойк траектории. Теперь по формулам (14) вычисляем проекции ускорения:ах == — Ru>* sin со/,an ~ vv ~ —со» cat,ax = vx = О,откудаa = V fli-f aj = /?a>*.Итак, движение происходит с постоянным по модулю ускорением. Д л я опре­деления направления ускорения имеем формулы::cos осг= а х/а = —sin—x/R ,cos P i= a y/ a = —cos—y/R , cos l = a , / a —0.7Но, ояевидно,x /R = c o so , y/R = cos P,где a и P — углы, образуемые с осями Ох и Оу радиусом R , проведенным от осицилиндра к движущейся точце. Так как косинусы углов а , и Р, отличаются от ко­синусов а и р только знаками, то отсюда заключаем, что ускорение точки все вре­мя направлено по радиусу цилиндра к его осн..Заметим, что хотя в данном случае движение и происходит со скоростью, по­стоянной по модуЛю, ускорение точки не равно нулю, .так как направление ско­рости изменяется.Задача 49.

Человек ростом h удаляется от ф онаря, висящего на высоте Я ,д в и га т ь прямолинейно со скоростью и. С какой скоростью движется конец теничеловек^?Р е ш е н и е . Для решения задачи найдем сначала закон, по которому дви­жется-конец тени. Выбираем начало отсчета в точке О, находящейся на одной вер­тикали с фонарем, и направляем вдоль прямой, по которой движется конец тени,координатную ось Ох (рис. 120).

Изображаем человека в произвольном положениина расстоянии хг от точки О. Тогда конец его тени будет находиться от начала Она расстоянии xt .Из подобия треугольников ОАМ и DAB находим:Н* * - H — h XiЭто уравнение выражает закон движения конца тени М , если закон движениячеловека, т, е, xt = / ( 0 . известен.105Взяв производную по времени от обеих частей равенства и замечая, что поформуле (16) * != « ,« = « , xt —vx = v, где v — искомая скорость, получимИVz‘ l ? - ¥ “•Если человек движется с постоянной скоростью (u“ const), то скорость концатени М будет тоже постоянна, но в Ш(Н —А) раз больше, чем скорость человека.Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надоизображать движущееся тело или механизм (см.

задачу 50) в произвольном положении. Только тогда мы получим уравнения, определяющие положение движу*щейся точки (или тела) в любой момент времени.Задача 50. Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шату­на кривошнпно-ползунного механизма (рис. 121). если О А ^А В = 2Ь, а угол фпри вращении кривошипа растет пропорционально времени: <р= со/.Р е ш е н и е . Начинаем с определения уравнений движения точки М. Про­водя оси н обозначая координаты точки М в произвольном положении через х а уиаходнмх = 2 b cos q>-f-6 cos <р, у= Ь sin ф.Заменяя ф его значением, получаем уравнения движения точки М:х = 3 Ь cos «о/, у = Ь sin at.Д ля определения траектории точки М представим уравнения движения в виде^■ВСОЗШ/,60о=Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получимX* , У * .,96* ' 6 *Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3* и Ь.Теперь по формулам ()2) и (13) находим скорость точки Af:vx =zx = —3t<osin и /, vu = y=tbtoco»a>t;t>=6o)Vr 9 sin* a>< + cos* to/.Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времена впределах от vm\a=b<a до vmix= 3ba.Далее по формулам (14) определяем проекции ускорения точки Лкax.— — 3bu? cos ш*=—(iA c, ау= - —106sin ш /= —ш2!/;отсюда„ а = V ш4 (хг + у-) = (dV,где г — длина радиуса-вектора, проведенного из центра О до точки М .

Следо­вательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстояниюот центра эллипса.Для определения направления а имеем по формулам (15):cos a l —ax/a = —xtr, cos $l = a y/a = — y!r.Отсюда, так же как и в задаче 48, находим, что ускорение точки М все времянаправлено вдоль МО к центру эллипса.$ 4 2 . ОСИ ЕСТЕСТВЕННОГО ТРЕХГРАННИКА.ЧИСЛОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ СКОРОСТИРассмотрим, как вычисляются скорость и ускорение точки приестественном способе задания движения (см. § 37), т. е.

когда заданытраектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории ввиде s=f(t).В этьм случае значения векторов у и а определяют по их проек­циям не на оси системы отсчета Охуг (как в § 40), а на подвижныеоси МхпЬ, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею(рис. 122). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника(или скоростными осями), направлены следующим образом: осьМх — по касательной к траектории в сторону положительногоотсчета расстояния s; ось М п — по нормали к траектории, лежащейв соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутоститраектории; ось Mb — перпендикулярно кпервым двум так, чтобы она образовала сними правую систему осей.

Нормаль Мп, ле­жащая в соприкасающейся плоскости (вплоскости самой кривой, если криваяплоская), называется главной нормалью, аперпендикулярная ей нормаль Mb — би­нормалью.Скорость точки, направленная по каса­тельной к траектории (рис. 122), определяет­ся в осях МхпЬ только одной проекцией и*на.ось Мх. При этом их= у-и ли vx—— v. Следовательно, vx или сов­падает с модулем скорости v, или отличается от v только знаком.Условимся поэтому в дальнейшем обозначать vT тоже символом v,опуская индекс т, и называть t> числовым (или алгебраическим) зна­чением скорости. Модуль скорости во всех случаях, когда это неможет вызвать недоразумений, будем тоже обозначать символом v,а когда надо подчеркнуть, что речь идет о модуле скорости,— при­менять символ |о|.Найдем значение v.

Если за промежуток времени At точкасовершит вдоль дуги траектории перемещение M M ^ A s (см.рис. 115), где одновременно A s — приращение координаты s, точисленно средней скоростью точки за этот промежуток времени107будет vC9—As/At и в пределе найдем, что( 17)Таким образом, числовое значение скорости точки в данный мо­мент времени равно первой производной от расстояния (криволиней­ной координаты) s этой точки по времени.Значение v можно также находить как отношение элементарногоперемещения ds точки к соответствующему промежутку времени At.Т ак как всегда d /> 0 , то знак v совпадает со знаком ds.

Характеристики

Список файлов книги