1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 21
Текст из файла (страница 21)
д. Доведя этот процесс последовательного сложения сил до конца, убедимся, что равнодействующая R всех сил действительно проходит всегда через одну и ту жеточку С, положение которой по отношению к точкам A lt А ,, . . А п,т. е. к телу, будет неизменным.Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил околоих точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот жеугол, называется центром параллельных сил.Найдем координаты центра параллельных сил. Положение точкиС по отношению к телу является неизменным и от выбора системыкоординат зависеть не будет. Возьмем поэтому произвольные координатные оси Охуг и обозначим в этих осях координаты точек: ^4! (jCi,Уи Zi), A t (xt, У>, г,)..........
С(хс, Ус, *с)- Пользуясь тем, что от направления сил положение точки С не зависит, повернем сначала87силы около их точек приложения так, чтобы они стали параллель*ны оси Ог, и применим к повернутым силам F[, F't, . . ., F'n теоремуВариньона. Так как /?' является равнодействующей этих сил, то поформуле (46), беря моменты относительно оси Оу, найдем, что(56)my (R ') = ^ n y{F'k).Но из чертежа [или из равенств (47)] видно, что my (R')=Rx c ,так как /? '= /? ; аналогично m y(F'1)= F 1x1, так как F^—Fi, и т. д.Подставляя все эти величины в равенство (56), получимRxc = FlXl + / > , + .
. . + Fnx n == 2 РкЧОтсюда определим х с .Д ля координаты у с аналогичную формулу найдем, беря моментыотносительно оси Ох. Чтобы определить гс, повернем опять все силы,сделав их параллельными оси Оу, и применим к этим силам (изображенным пунктиром с точками) теорему Вариньона, беря моментыотносительно оси Ох. Эго даст.'— Rzc = — F&i + (— Ftzt) +F ez„),откуда определим zc.Окончательно получим следующие формулы для координат центра параллельных сил:xc = w 'E * F*xi‘' Ус = т ? '£ р кУ1»=(57)где R определяется равенством (55).Заметим, что формулы (55) и (57) будут справедливы и для параллельных сил, направленных э разные стороны, если считать Fhвеличинами алгебраическими (для одного направления со знакомплюс, а для другого — минус) и если при этом R ^ O .| 32.
СИЛОВОЕ ПОЛЕ.ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛАОбласть, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует сила, зависящая от положения (координат)этой точки, называется силовым полем *. Примером силового поляявляется поле тяготения (поле сил притяжения к Земле иликлю боту другому небесному телу).Н а каждую частицу тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила, которуюназы ваю т силой тяжести (вопрос о том, что собой представляет сила*Такое силовое поле взвывают, стационарным. Если же значения сил могутеще изменяться с течением времени, поле называется нестационарным.
Понятиео поле может быть введено и для других векторов, которые такое векторное полеобразуют, например для скоростей или ускорений точек тела (см. § 48, 51).88тяжести, будет рассмотрен в§ 92). Эти силы образуют поле сил тяж ести.Д ля тел, размеры которых очень малы по сравнению с земным радиусом, силы тяжести, действующие на частицы тела, можно считать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой частицы постоянное значение при любых поворотах тела.
Поле т я жести, в котором выполняются эти дваусловия, называют однородным, полем тяжести._ Равнодействующую сил тяжести риР*. • • •, Рп, действующих на частицы данного тела, обозначим Р (рис. 105). Модульэтой силы называется весом тела и определяется равенствомР = 2 р к.(58)При любом повороте тела силы р к остаются приложенными в одних и тех ж е точкахтела и параллельными друг другу, изменяется только их направление по отношению к телу. Следовательно, подоказанному в § 31, равнодействующая Р сил рк будет при любыхположениях тела проходить через одну и ту же неизменно связанную с телом точку С, являющуюся центром параллельных сил тяжести ph. Эта точка и называется центром тяжести тела.
Такимобразом, центром тяжести твердого тела называется неизменносвязанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве. Что такаяточка существует, следует из доказанного в §31.Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами (57); следовательно,*с = тг£/>***.
Ус = у ^Р к У н < zc = j r Y * Рк2к'(59)где x h, y h, zh — координаты точек приложения сил тяжести р к,действующих на частицы тела.Отметим в заключение, что согласно определению центр тяжести — это точка геометрическая; она может лежать и вне пределовданного тела (например, для кольца).§ 33. КООРДИНАТЫ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИОДНОРОДНЫХ ТЕЛД ля однородного тела вес рк любой его части пропорционаленобъему vh этой части: pk=yvk, а вес Р всего тела пропорционаленобъему V этого тела, т. е. P = y V , где у — вес единицы объема.Подставив эти значения Р и р к в формулы (59), заметим, что вовсех суммах у как общий множитель выносится за скобки и сокращается с у в знаменателе. В результате из формул (59) получим)=гс = у ^ vkzk.=(60)Как видно, положение центра тяжести однородного тела зависиттолько от его геометрической формы, а от величины у не зависит.По этой причине точку С, координаты которой определяются формулами (60), называют центром тяжести объема V.Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее==(61)где 5 — площадь всей пластины; sh — площади ее частей.Точку, координаты которой определяются формулами (61), называют центром тяжести площади S.Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии:* с =27 ^1кхк' Ус = т 1 <zc =^^*г*«(62)где L — длина всей линии;— длины ее частей.По формулам (62) Можно находить центры тяжести изделий изтонкой проволоки постоянного сечения.Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется,как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.§ 34.
СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ ТЕЛИсходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.1 . С и м м е т р и я . Если однородное тело имеет плоскость, осьили центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственноили в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центресимметрии.Допустим, например, что однородное тело имеет плоскость симметрии. Тогда этой плоскостью оно разбивается на две такие части,веса которых pt и р , равны друг другу, а центры тяжести находятся на одинаковых расстояниях от плоскости симметрии. Следовательно, центр тяжести тела как точка, через которую проходитравнодействующая двух равных и параллельных сил pi и р 2, будетдействительно лежать в плоскости симметрии.
Аналогичный результат получается и в случаях, когда тело имеет ось или центрсимметрии.И з свойств симметрии следует, что центр тяжести, однородногокруглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, прямоугольного параллелепипеда, шара и других однородных тел, имею90щих центр симметрии, лежит в геометрическом центре (центре симметрии) этих тел.2.Р а з б и е н и е .
Если тело можно разбить на конечное числотаких частей, для каждой из которых положение центра тяжестиизвестно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам (59) — (62). При этом число слагаемых в каждой из сумм будет .равно числу частей, на которыеразбито тело.Задача 46. Определить координаты центра тяжести однородной пластины,изображенной на рис. 106. Все размеры даны в сантиметрах.Р е ш е н и е .
Проводим оси х, у и разбиваем пластину на три прямоугольника (линии разреза показаны на рис. 106). Вычисляем координаты центров тяжестикаждого из прямоугольников и их площади (см. таблицу).№123—11415205912в**УкS*?!Рис. 106Площадь всей пластины S = s , + s , + s j = 3 6 см*.Подставлял вычисленные величины в формулы (61), получаем:*isi + *as« + xasa —4 -f- 20 -(- 60„ 1= ---------- S---------- --- -------- 36-------- = 2 9 см’УА+У**» + !/iss4+100+108с 8 ___Ус = -------- 5-------- = ------ 36------= 5-9-см.Найденное положение центра тяжести С показано на чертеже; точка С окаеалась вне пластины.3.Д о п о л н е н и е .
. Этот способ является частным случаемспособа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы,если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.Задача 46. Определить положение центра тяжестикруглой пластины радиуса R с вырезом радиуса г (рис.107). Расстояние С,С2= а .Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
