1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 19
Текст из файла (страница 19)
РАВНОВЕСИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ.СЛУЧАЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛНеобходимые и достаточные условия равновесия любой системысил выражаются равенствами R = 0, М 0 —0 (см. § 13). Но векторыR и М 0 равны нулю только тогда, когда R X= R V—R Z= 0 и М х== М у= М г= 0, т. е. когда действующие силы, согласно формулам(49) и (50), будут удовлетворять условиям:22^2 т * (^>)—о» 2 ' М /Г* ) = ° - 2 m* ( ^ ) = o . ;/civ1 1Таким образом, для равновесия произвольной пространственнойсистелш сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех79сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю *.Равенства (51) выражают одновременно условия равновесия твердого тела, находящегося под действием любой пространственнойсистемы сил.Если на тело кроме сил действует еще пара, заданная ее моментом т, то при этом вид первых трех из условий (51) не изменится(сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю), а последниетри условия примут вид:(Fk) + mu = Q, 2 m , (Fs) + m* = 0.2 > * (Л,) + т х = 0,(52)С л у ч а й п а р а л л е л ь н ы х с и л .
В случае, когда вседействующие на тело силы параллельны друг другу, можно выбратькоординатные оси так, что ось г будет параллельна силам (рис. 96).Тогда проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси г будут равны нулю и система (51)даст три условия равновесия:2 F*z “у0, 2 тх (Fk) = 0,2 тв (Fk) =0. (53)Остальные равенства обратятся приэтом в тождества вида 0 = 0 .Следовательно, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, исуммы их моментов относительно двух других координатных осей были равны нулю.Р е ш е н и е з а д а ч . Порядок решения задач здесь остаетсятем же, что и в случае плоской системы сил. Установив, равновесиекакого тела (объекта) рассматривается, надо изобразить все действующие на него внешние силы (и.
заданные, и реакции связей) и составить условия равновесия этих/сил. Из полученных уравнений иопределяются искомые величины.Д л я получения более простых систем уравнений рекомендуетсяоси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных силили были им перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно координатных осей.В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном Чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярнуюэтой оси.•При составлении условий (5!) можно, если это целесообразно, брать длявычисления проекций одну систему координатных осей, а дЛя вычисления моментов — другую.80В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разлож ить силу надве взаимно перпендикулярные составляющие (из которых однапараллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона (см.
задачу 36). Кроме того, можно вычислять моменты аналитически по формулам (47), как, например, взадаче 37.Задача 39. На прямоугольной плите со сторонами а и Ь леж ит груз. Центртяжести плиты вместе с грузом находится в точке D с координатами х р , у р(рис. 97). Один из рабочих удерживает плиту за угол А . В каких точках В и Едолжны поддерживать плиту двое других рабочих, чтобы силы, прикладываемыекаждым из удерживающих плиту, были одинаковы.Р е ш е н и е . Рассматриваем равновесие плиты, которая является свободнымтелом, находящимся в равновесии под действием четырех параллельных сил Q,,<?г.
<?,. Р , где Р — сила тяжести. Составляем для этих сил условия равновесия(53), считая плиту горизонтальной и проводя оси так, как показано на рис. 97.Получим:Qib-\-Q,y— P yD= 0 , — Qaa—Q ,* + P x 0 = О,Qi+Q,+Qa- P = 0 .По условиям задачи должно быть Qi = Q 2= Q 3= Q - Тогда из последнего уравнения P = 3Q .
Подставляя это значение Р в первые два уравнения, найдем окончательно * = 3 * 0 —а, у= 3У о~Ь Решение возможно, когда a l3 < x D< 1a/3, 6/3<</о<26/3. При хв = а / 3 , yD~ b /3получим х = у — 0, а при дгд=2а/3, у ^ —ЧЫЗ будет * = а, у — Ь. Когда точка D в центреплиты, х = а /2 , у —Ы2.Задача 40. Н а горизонтальный вал, лежащий в подшипниках А и В (рис. 98)насажены перпендикулярно оси вала шкив радиусом r t = 2 0 см и барабан радиусомг , = 15см.
Вал приводится во вращение ремнем, накинутым на шкив; при этом равномерно поднимается груз весом Р = 5 4 0 Н , привязанный к веревке, которая наматывается на барабан. Пренебрегая весом вала, барабана и ш кива, определитьреакции подшипников А и В и натяжение T j ведущей ветви ремня, если известно,что оно вдвое больше натяжения Г . ведомой ветви. Дано: а = 40 см, />=60 см,о = 3 0 °.Р е ш е н и е . В рассматриваемой задаче при равномерном вращении валадействующие на него силы удовлетворяют условиям равновесия (51) (это будетдоказано в § 136).
Проведем координатные оси (рис. 98) и изобразим действующиена вал силы: натяжение F веревки, по модулю равное Я, натяжения ремня 7’1,Y t и составляю щ иеТд, Т д , Y B ~ZB реакций подшипников.6-187081Д л я составления условий равновесия . (51) вычисляем предварительно я вносим в таблицу значения проекций всех сил на координатные оси и их моментовотносительно этих • осей *,Теперь составляем условия .равновесия-(51); так как F = P , получим:Р cos a .+ T l+ T i+ Y A+ Y B=V,—Р sin а + £ д + 2 д = 0 ,—г1Р + г1Г1-/-,Г ,= 0 ,ЬР sin а —(a+o)Ze = 0 ,ЬР cos a —aTi—aTt+ (а+6)Кд=0.(I)(И)(III)(IV)(V)Из уравнений (III) и (IV) находим сразу, учитывая, что 7’i = 2 7 ’1jГ ,= г ,Р //-,= 4 0 5 Н , ZB = {b Р sin а)/(а+ Ь)= 162 Н .Далее, из уравнения (V) получаем:Y B= {3 a T t— bP cos а )/(а + 6 )» 2 0 5 Н.Подставляя найденные значения в остальные уравнения,.найдем:У л = — Р cos а —З Г ,—У д » — 1890 Н , ZA= P sin a —ZB= 108 Н .И окончательноГ != 8 1 0 Н , К д » - 1 8 9 0 Н , Z a = 108 Н, Кя « 2 0 5 Н , ZB= 1 6 2 Н.Задача 41.
Прямоугольная крышка весом Р = 120 Н , образующая с вертикалью угол а = (Х г , закреплена на горизонтальной оси А В в точке В цилиндрическим подшипником, а в точке А — подшипником с упором (рис. 99). Крышка удерживается в равновесии веревкой D E и оттягивается перекинутой через блок Онитью с грузом весом Q = 200 Н на конце (линия КО параллельна АВ).
Дано:B D = B E , А К = а = 0 А м, A B — b = 1 м. Определить натяжение веревки DE иреакции подшипников А и В.• Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие крышки. Проведем координатные'оси,беря начало в точке В (при этом сила Т пересечет оси у и г, что упростит вид урав-*Предварительное составление таблиц при решении задач этого раздела особенно полезно. Таблица заполняется по столбцам, т.
е. сначала вычисляются всепроекции и моменты силы Т~, а затем силы Т г и т. д. Таким образом, сначала всевнимание сосредоточивается на первой силе, затем — на второй и т. д. Если жесразу составлять уравнения (51), то к рассмотрению каждой силы придется возвращаться шесть раз; при этом вероятнее появление ошибок, а особенно пропусков отдельных сил в том или ином уравнении.82веннй моментов). Затем изобразим все действующие на крышку заданные силыи реакции связей: силу тяжести Р , приложенную в центре тяжести С крышки,силу Q ', равную по модулю Q, реакцию Т веревки н реакции X A iY Ai l A и Y g , 2-вподшипников А и В (рис. 99; показанный пунктиром вектор М к данной задаче неотносится). Д ля составления условий равновесия введем угол р■ обозначим B D = B E = d .
Подсчет моментов некоторых силпояснен на вспомогательныхрис. 100 , а, б.На рис. 100, а показан видв проекции на плоскость Вуг сположительного конца оси х.Этот чертеж помогает вычислятьмоменты сил Р и Т относительно оси х. Из него видно, что проекции этих сил на плоскость уг(плоскость, перпендикулярнуюоси х) равны самим силам, аплечо силы Р относительно точки В равно BCt -sin a= (d/2) sina;плечо же силы Т относительновтой точки, равно B D -sin {$== d sin p.На рис. 100, б показан видв проекции на плоскость Вхг сположительного конца оси у.Этот чертеж (вместе с рис. 100, а)помогает вычислять моменты силР ” и 7?' относительно оси у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
