1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого моментавремени, т. е. знать зависимостиy=f*(f ). z = / , ( 0 .<3)Уравнения (3) представляют собой уравнения движения точкив прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закондвижения точки при координатном способе задания движения *.*Задать движение точки можно, пользуясь и другими системами координат,например полярными (см. § 47), сферическими и т. д.7 -1 8 7 097Есля движение точки происходит все время в одной и той жеплоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость Оху, получим вэтом случае два уравнения движения:* = Ы < ).’(4)Наконец, при прямолинейном движении точки, если вдоль еетраектории направить координатную ось Ох, движение будет опре­деляться одним уравнением (законом прямолинейного движенияточки)*= /(0.(5)Уравнения (3) и (4) представляют собой одновременно уравне­ния траектории точки в параметрической форме, где роль параметраиграет время t.

Исключив из уравнений движения время t, можнонайти уравнение траектории в обычной форме, т. е. в виде, дающемзависимость между координатами точки.Пример. Пусть движение точки в плоскости Оху дано уравнениями:x= 2 t, у = 121*,(а)где Xt у выражены в сантиметрах; t — в секундах.По этим уравнениям мбжио найти, что в момент времени / = 0 точка находитсяв положении Мв (0, 0), т. е.

в начале координат, в момент tx= 1с — в положенииMi (2,12) и т. д. Таким образом, уравнения (а) действительно определяют положе­ние точки в любой момент времени. Д авая t разные значения и изображая соот­ветствующие положения точки на рисунке, можем построить ее траекторию.Другим путем траекторию можно найти, исключу» t из уравнений (а).

Изпервого уравнения находим t —x!2 и, подставляя это значение t во второе уравне­ние, получаем у= 3хг. Следовательно, траекторией- точки является парабола свершиной в начале координат и осью, параллельной оси Оу. Другие примерыопределения траектории точки см. в §41.Естественныйспособ задания движет о ч к и .

Естественным (илй траекторным) способом заданиядвижения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точкиизвестна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движенииотносительно системы отсчета Охуг (рис.115). Выберем на этой траектории какуюнибудь неподвижную точку О', которуюпримем за начало отсчета, и установим натраектории положительное и отрицательРис. 115ное направления отсчета (как на координат­ной оси). Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М , измерейному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим зна­ком.

При движении точка М перемещается в положения М и М „ . . .,следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент вре­мени, надо знать зависимостьW W (6)Уравнение (6) и выражает закон движения точки М вдоль тра­ектории.Таким образам, чтобы задать движение точки естественным спо­собом, надо задать: i) траекторию точки; 2) начало отсчета на траек­тории с указанием положительного и отрицательного направленийотсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде s=f(t).Заметим, что величина s в уравнении (6) определяет положениедвижущейся точки, а не пройденный ею путь.

Например, если точ­ка, двигаясь из начала О', доходит до положения М , (рис. 115),а затем, перемещаясь в обратном направлении, приходит в положе­ние М, то в этот момент ее координата s = 0 ' M , а пройденный завремя движения путь будет равен 0'Л !1+Л 11Л1, т. е. не равен s.| 38. ВЕКТОР СКОРОСТИ ТОЧКИОдной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростьюточки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какойнибудь промежуток времени.

Пусть движущ аяся точка находитсяв момент времени t в положении М , определяемом радиусом-вектором г, а в момент tx приходит в положение М и определяемое векто­ром ?! (рис. 116). Тогда перемещение точки за промежуток времениЫ = и — t определяется вектором М М и который будем называтьвектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, еслиточка движется, криволинейно (рис.

116, а), и вдоль самой траек­тории АВ, когда движение является прямолинейным (рис. 116, б).Из треугольника ОММг видно, что г + М М 1= г 1; следовательно,М М 1 = г1— г — Дл.Отношение вектора перемещения точки к соответствующемупромежутку времени дает векторную величину, называемую сред­ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток вре­мени Дi:=7*(7)99Направлен вектор уср так же, как и вектор M M it т. е. при криво­линейном движении вдоль хорды М М и в сторону движения точки,а при прямолинейном движении — вдоль самой траектории (от де­ления на At направление вектора не изменяется).Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени At, длякоторого вычислена средняя скорость, тем величина vcv будет точ­нее характеризовать движение точки. Чтобы получить точнуюхарактеристику движения, вводят понятие о скорости тонкиеданный момент времени.Скоростью J04KH в-данный момент времени t называется вектор­ная величина v, к которой стремится средняя скорость vtt при стрем­лении промежутка времени At к нулю:й = lim (vcp) = limД|-*0.Л/-+0Предел отношения ArjAt при At -> 0 представляет собой первуюпроизводную от вектора г по аргументу t и обозначается, как и про­изводная от скалярной функции, символом d/Vdjf.

Окончательно по­лучаемJT -*( 8)Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равенпервой производной от радиуса-вектора точки по времени.Так как предельным направлением секущей М М г является ка­сательная, то вектор скорости точки в данный момент времени на­правлен по касательной к траектории точки в сторону движения.Формула (8) показывает также, что вектор скорости и равен от­ношению элементарного перемещения точки dr, направленного покасательной к траектории, к соответствующему промежутку вре­мени At.При прямолинейном движении вектор скорости v все время на­правлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изме­няться лишь численно; при криволинейном движении кроме чис­лового значения все время изменяется и направление вектора ско­рости точки.

Размерность скоростц LIT, т. е. длина/время; в ка­честве единиц измерения применяют обычно м/с или км/ч. Вопрособ определении модуля скорости будет рассмотрен в § 40 и 42.1 39. ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ ТОЧКИУскорением точки называется векторная величина, характери­зующая изменение с течением времени модуля и направления ско­рости точки.Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка нахо­дится в положении М и имеет скорость к, а в момент tx приходит в100положение М* и имеет скорость vt (рис. 117).

Тогда за промежутоквремени Л/ = /, — t скорость точки получает приращение Au=w 1— vlД ля построения вектора Av отложим от точки М вектор, равныйи построим параллелограмм, в котором диагональю будет vu аодной из сторон v. Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изобра­жать вектор Ау. Заметим, что векторДе/ всегда направлен в сторону вог­нутости траектории.Отношение приращения вектораскорости Av к соответствующему про­межутку времени А/ определяет век­тор среднего ускорения тонки за этотпромежуток времени:аср = Avl&t.(9)Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор Ау, т.

е. направлен в сторону вогнутости траектории.Ускорением точки в данный момент времени t называется век­торная величина а, к которой стремится среднее ускорение а с, пристремлении промежутка времени At к нулю:—Доdoа«= Нш -г7 = т гА/-О Л< Мили, с учетом равенства (8),а=dodVAt! d7*( 10)Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной от радиуса-вектора точки по времени.Размерность ускорения LIT *, т.

е. длина/(время)*; в качествеединицы измерения применяется обычно м/с1.Из формулы (10) следует также, что вектор ускорения точки аравен отношению элементарного приращения вектора скорости doк соответствующему промежутку времени d/.Найдем, как располагается вектор а по отношению к траекто­рии точки. При прямолинейном движении вектор а направлен вдольпрямой, по которой движется точка.

Есл^траекторией точки явля­ется плоская кривая, то вектор ускорения а, так же как и вектор а ср,лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости.Если траектория не является плоской кривой, то вектор дср на­правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­раллельную касательной в соседней точке(рис. 117).

В пределе,101когда точка Aft стремится к М , эта плоскость занимает положениетак называемой соприкасающейся плоскости, т. е. плоскости, в кото­рой происходит бесконечно малый поворот касательной к траекториипри элементарном перемещении движущейся точки *. Следователь­но, в общем случае вектор ускорения а лежит в соприкасающейсяплоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Вопрос обопределении модуля ускорения будет рассмотрен в § 40 и 43.| 40.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯНайдем, как вычисляются скорость и ускорение точки, если еедвижение задано уравнениями (3) или (4). Вопрос об определениитраектории в этом случае был уже рассмотрен в §37.Формулы (8) и .(10), определяющие значения Ъ и а, содержатпроизводные по времени от векторов г и V. В равенствах, содержа­щих производные от векторов,, переход к зависимостям между ихпроекциями осуществляется с помощью следующей теоремы: про­екция производной от вектора на ось, неподвижную в данной систе­ме отсчета, равна производной от проекции дифференцируемоговектора на ту оке ось, т.

е . .0.1)если1.О п р е д е л е н и е с к о р о с т и т о ч к и . Вектор ско­рости точки v=dr/dt. Отсюда на основании формул (11), учитывая,чтох, гу—у, гх= г, найдем:( 12)илиVx =X, Vw = y, Vt = 2,( 12')где точка над буквой есть символ дифференцирования по времени.Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равныпервым производным от соответствующих координат точки по вре­мени.З н а я проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т. е.углы а , 0, у.

которые вектор а образует с координатными осями) поформуламv ^ V v t + v l + vl;cos a = vK/v, cos ft = vy/v, cos у = vt /v.(13)*Д л я пространственной кривой (например, для винтовой линии) в каждойточке кривой будет своя соприкасающаяся плоскость. Д л я плоской кривой со­прикасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей2.О п р е д е л е н и е у с к о р е н и я т о ч к и . Вектор ус­корения точки fl=dy/d/.

Отсюда на основании формул (11) получаем:do.d*x4ргd*ya * = _d 7 = d 7 i ' а у = Ч Г = W 'dh* ==~<it= &Is/ 1 д\()илиax = vx = x, au = vv = y, ax = ti, = 5,(14')т. e. проекции ускорения точки на координатные оси равны первымпроизводным от проекций скорости или вторым производным отсоответствующих координат точки по времени. Модуль и направле­ние ускорения найдутся из формулa = » V e ; + a* + a*;]cos a , = ая/а, cos р» =* < y a , cos v, «= a j a , )1 *где a t, p „ Yi — углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.И так, если движение точки задано в декартовых прямоугольныхкоординатах уравнениями (3) или (4), то скорость точки определя­ется по формулам (12) и (13), а ускорение — по формулам (14) и(15).

При этом в случае движения, происходящего в ’одной плоско­сти, во всех формулах должна быть отброшена проекция на ось г.В случае же прямолинейного движения, которое задается однимуравнением * = /( /) , будет-d xv* = 3 7 ’dvxй *хa* = -3 ? --d ? •/1С.( 16)Равенства (16) и определяют значения скорости и ускоренияточки в этом случае.f 41.

Характеристики

Список файлов книги