1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Возьмемв теле две произвольные точки А и В, положения которых в моментвремени t определяются радиусами-векторами гА и гв (рис. 132);проведем вектор^ А В, соединяющий эти точки. Тогдаг в — г А -\- АВ..(35)П ри этом длина А В постоянна, как расстояние между точкамитвердого тела, а направление А В остается неизменным,__так кактело движется поступательно.

Таким образом, вектор А В во всевремя движения тела остается постоянным (i4B =const). Вследствиеэтого, как видно из равенства (35) (и непосредственно из чертежа),траектория точки В получается из траектории точки А параллель­ным смещением всех ее точек на постоянный вектор АВ. Следова­тельно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми(при наложении совпадающими) кривыми.Д л я нахождения скоростей точек А я В продифференцируем обечасти равенства (35) по времени. ПолучимdrB/dt = drA/dt + d (AB)/dt.118Но производная от постоянного вектора А В равна нулю. Про­изводные ж е от векторов тА и гв по времени дают скорости точек4 и В. В результате находим, что»л = va,г. е. что скорости точек А и В тела в любой момент времени оди­наковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полу<енного равенства производные по времени, найдем:dvA/di — dvB/dtилИаА — аa:Следовательно, ускорения точек А и В тела в лю бой моментвремени тоже одинаковы по модулю и направлению.Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найден­ных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, атакже скорости и ускоре­ния в любой момент време­ни будут одинаковы.

Такимобразом, теорема доказана.Скорости и ускоренияточек движущегося телаобразуют векторные поля—ноле скоростей и полеускорений точек тела.Из доказанного следует, что поля скоростей и ускорений точектела, движущегося поступательно, будут однородными (рис. 133),но вообще не стационарными, т. е. изменяющимися во Времени (см.} 32).Из теоремы следует также, что поступательное движение тверкогр тела вполне определяется движением какой-нибудь одной еготочки. Следовательно, изучение поступательного движения тела:водится к задаче кинематики точки, нами уже рассмотренной.При поступательном движении общую для всех точек тела ско­рость v называют скоростью поступательного движения тела, аускорение а — ускорением поступательного движения тела. Векгоры v и а можно изображать приложенными к любой точке Тела.Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела имеют смыслполько при поступательном движении.

Во всех остальных случаяхгочки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями иускорениями, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» дляэтих движений теряют смысл.1 49. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ.УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕВращательным движением твердого тела вокруг неподвижной осиназывается такое его движение, при котором какие-нибудь две точки,принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во119все время двизкения неподвижными (рис.

134). Проходящая черезнеподвижные точки А и В прямая А В называется осью вращения.Так как расстояния между точками твердого тела .должны оста­ваться неизменными, то очевидно, чго при вращательном движениивсе точки, принадлежащие оси вращения,будут неподвижны, а все остальные точкитела будут описывать окружности; плоско­сти которых перпендикулярны оси враще­ния, а центры лежат на этой оси.Д ля определения положения вращаю­щегося тела проведем через ось вращения,вдоль которой направим ось Az, полуплос­кость I — неподвижную и полуплоскость./ / , врезанную в само тело и вращающую­ся вместе с ним (см. рис. 134). Тогда поло­жение тела в любой момент времени одно­значно определится взятым с соответствую­щим знаком углом <р между этими полуплоскостями, который назо­вем угло'м поворота тела. Будем считать угол ср положительным,если он отложен от неподвижной плоскости в направлении противхода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положитель­ного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.Измерять угол ф будем всегда в радианах.

Чтобы знать положениетела в любой момент времени, надо знать зависимость угла <р отвремени t, т. е.Ф = /(/).(36)Уравнение (36) выражает закон вращательного движения твер­дого тела вокруг неподвижной оси.Основными кинематическими характеристиками вращательногодвижения твердого тела являются его угловая скорость ш и углевоеускорение е*.Если за промежуток времени At=tx— t тело совершает поворотна угол Д<р=ф!—ф, то численно средней угловой скоростью тела заэтот промежуток времени будет ыср=Дф/А/. В пределе при Дi-*0найдем, что—Й-или(В= ф.(37)Таким образом, числовое значение угловой скорости тела вданный момент времени равно первой производной 6т угла поворотапо времени. Равенство (37) показывает также, что величина о равнаотношению элементарного угла поворота <1ф к соответствующемупромежутку времени At.

Зн ак со определяет направление вращения*Подобно тому, как в § 42 мы условились обозначать символом ti числовзначение скорости и одновременно ее модуль, здесь со и е будут обозначать число­вые (алгебраические) значения угловой скорости и углового ускорения и одно­временно их модули, когда-это не может Вызвать недоразумений.120ела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода1асовой стрелки, © >0, а когда по ходу часовой стрелки, то ю <0.Размерность угловой скорости \/Т (т. е.

1/время); в качествединицы измерения обычно применяют рад/с или, что то же, 1/с (с-1),ак как радиан — величина безразмер[ая.Угловую скорость тела можно изоб•азить в виде вектора со, модуль котороо равен |ш| и который направлен вдоль>си вращения тела в ту сторону, откуда|ращение видно происходящим против:ода часовой стрелки (рис. 135). Такойleicrop определяет сразу и модуль углоюй скорости, и ось вращения, и направгение вращения вокруг этой. оси.У г л о в о е у с к о р е н и е характеризует изменение с те­рнием времени угловой скорости тела. Если за промежуток врегени At —ti—t угловая скорость тела изменяется на величину Аш—=ю,—©, то числовое значение среднего углового ускорения телаа этот промежуток времени будет еср=Дш/Д/. В пределе при А/-+0шйдем, учтя одновременно равенство (37), чтоdcod*q>е = чг= жилие = ш = ф.(38)Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данныйюмент времени равно первой производной от угловой скорости илиторой производной от угла поворота тела по времени.Размерность углового ускорения 1/7** (1/время*); в качествединицы измерения обычно применяется рад/с* или, что то же, 1/с*с-).Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращениеела называется ускоренным, а если убывает,— замедленным.

Легко(идетъ, что вращение будет ускоренным, когда величины ш и в(меют одинаковые знаки, и замедленным,— когда разные.Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью)южно также изобразить в виде вектора е, направленного вдоль>сн вращения. При этоме = dco/d/.(38')Направление е совпадает с направлением со, когда тело вращаетсягскоренно (рис. 135, а), и противоположно ю при замедленном«ращении (рис. 135, б).$ 50.

РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩЕНИЯЕсли угловая скорость тела остается во все время движения потоянной (co=const), то вращение тела называется равномерным.Найдем закон равномерного вращения. Из формулы (37) имеемdtp= cod/. Отсюда, считая, что в начальный момент времени t = Оугол ф=<р*, и беря интегралы слева от ф. до <р, а справа от 0 до t,получим окончательноФ=<р«+«/.(39)Из равенства (39) следует, что при равномерном вращении, когдаФ«=0,<р=<о/ и <a=<p/t.(40)В технике скорость равномерного вращения часто оорелелшртчислом оборотов в минуту, обозначая эту величину через лоб/мнн*.Найдем зависимость между п об/мин и ш 1/с. При окном оборотетело повернется на угол 2л, а при п оборотах на.2ял; этот поворотделается за время t = 1 мин = 60 с.

Из равенства (40) следует тогда,что<|)=лл/30 « 0,1л.(41)Если угловое ускорение тела во все время движения остаетсяпостоянным ( е = const), то вращение называется равнопеременным.Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в -началь­ный момент времени / = 0 угол ф =ф ., а угловая скорость а>=о>«(о), — начальная угловая скорость).Из формулы (38) имеем dw =ed/. Интегрируя левую часть в пре­делах от (о0 до и, а правую — в пределах от 0 до /, найдем<о=(о#+ е /.(42)Представим выражение (42) в видеdф/d/=a>o+в/ или dф=<йod/+e/d/.Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вра­щенияф =ф о+© о*+^'/2.(43)Угловая скорость со этого вращения определяется формулой(42).

Если величины ш и е имеют одинаковые зн ак и ,. вращениебудет равноускоренным, а если разные — равнозамедленным.S 61. СКОРОСТИ и УСКОРЕНИЯ ТОЧЕКВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛАУстановив в предыдущих параграфах характеристики движениявсего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных еготочек.1.С к р р о с т и т о ч е к т е л а . Рассмотрим какую-нибуточку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вра­щения (см. рис. 134).

При вращении тела точка М будет описывать*Следует особо подчеркнуть, что л по размерности не угол, а углоскорость.122жружность радиуса ft, плоскость которой перпендикулярна осифащения, а центр С лежит на самой оси. Если за время d/.проис[одит элементарный поворот тела на угол d«p, то точка М при этом:овершает вдоль своей траектории элементарное перемещение d s==ftd<p. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отнопению ds к d/, т.

е.[ЛИ(44)v = hco.Скорость v в отличие от угловой скорости тела называют иногдаще линейной или окружной скоростью точки М.Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегосятвердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя\ие от этой точки до оси вращения.Направлена скорость по касательной к описываемой точкойжружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через осьращения и точку М .Так как для всех точек тела и имеет в данный момент временидно и то же значение, то из формулы (44) следует, что скоростиочек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от осиращения.

Поле скоростей точек вращающегося твердого тела имеет1ИД, показанный на рис. 136.Рис. 136Рис. 1372. У с к о р е н и я т о ч е к ' т е л а . Д ля нахождения ускореия точки М воспользуемся формулами ax= d v /d t, an= v t/p.В нашем случае р=Л. Подставляя значение v из равенства (44)выражения ат и а„, получим:ли окончательно:а т^=Лс,а я = Лю*.(45)Касательная составляющая ускорения а* направлена по касаельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальнаяоставляющая ал всегда направлена по радиусу М С к оси вращения!>ис. 137).—123Полное ускорение точки М. будет а = У а \ + а* илиа = Л V е* + ©*•(46)Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемойточкой окружности определяется углом |х, который вычисляется поформуле tgji = а х/ап [вторая из формул (22)]. Подставляя сюда зна­ченияи Оп из равенств (45), получаем(47)tg ц.=е/ш'.Так как со и е имеют в данный момент времени- для всех точектела одно и то же значение, то из формул (46) и (47) следует, чтоускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный моментвремени один и тот же угол ц с радиусами описываемых ими окруж­ностей.

Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеетвцд, показанный на рис. 138.Рис. 138Рис. 139Формулы (44) — (47) позволяют определить скорость и ускорениелюбой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояниеданной точки от оси вращения. По этим же формулам можно, знаядвижение одной точки тела, найти движение любой другой его точки,а также характеристики движения всего тела в целом.3. В е к т о р ы с к о р о с т и и у с к о р е н и я т о ч е кт е л а. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v иа, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор г точкиМ (рис. 139).

Характеристики

Список файлов книги