1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Центр тяжести пластины лежит налинии Ci С2, так как эта линия является осью симметрии. Проводим координатные оси. Д ля нахождениякоординаты хс дополняем площадь пластины до полного круга (часть 1), а затем вычитаем из полученнойплощади площадь вырезанного круга (часть 2). Приэтом площадь ч4сти2, как вычитаемая, должна братьсясо знаком минус. Тогда st = n R 3, s3= —я гг, % = 0 , ха91Подставляя найденные значения в формулы (61), получаем:*1*1 + •***»SR —гУс = 0.Найденный центр тяжести С, как видим, лежит левее точки Of.4.И н т е г р и р о в а н и е . Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положения центров тяжести которыхизвестны, то тело разбивают сначала на произвольные малые объемыAvh, для которых формулы (60) принимают вид(63)где x h, у к, zh — координаты некоторой точки, лежащей внутри объема A tv Затем в равенствах (63) переходят к пределу, устремляявсе At»k к нулю, т.
е. стягивая эти объемы в точки. Тогда стоящие вравенствах суммы обращаются в интегралы, распространенные навесь объем тела, и формулы (63) дают в пределе:*c = i r f * d y ,'/c = 7 : f */ du, zc = p - J z dv.(V)(64){V) ^IV)Аналогично дгщ координат центров тяжести площадей й линийполучаем в пределе из формул (61) и (62):*с = 5- J * ds- ^ c = 5 - J(S)(65)(S)*C = J- J xdl, yc = j - § y<M> 2c = t : jj 2 d/.(66)Пример применения этих формул к определению координатцентра тяжести рассмотрен в следующем параграфе.5.
Э к с п е р и м е н т а л ь н ы й с п о с о б . Центры тяжестинеоднородных тел сложной конфигурации (самолет, паровоз и т. п.)можно определять экспериментально.Один из возможных экспериментальных методов (метод подвешивания)состоит в том, что тело подвешиваютна нити или тросе за различные еготочки. Направление нити, на которойподвешено тело, будет каждый раздавать направление силы тяжести.Точка пересечения этих направленийопределяет центр тяжести тела.Д ругим возможным способом экспериментального определенияцентра тяж ести является метод взвешивания. Идея этого методаясна из рассмотренного ниже примера.Пример. Покажем, как можно экспериментально определить одну из координат центра тяжести самолета (расстояние а), если расстояние А В = 1 (рис.
108)92известно. Поставив колесо В на платформу весов, найдем взвешиванием силу давления колеса на платформу; тем самым будет найдена численно равная этой силереакцияТочно так же взвешиванием находим реакцию Ыг. Приравнивая затем нулю сумму моментов всех сил относительно центра тяжести С самолета, получаем JVja—Af, (/—a ) = 0 , откуда находим a = W 1/(/V1+ iV ,).Очевидно, N t + N ^ P , где Р — вес самолета. Если значение величины Рнаперед известно, то для определения а можно обойтись только однократным взвешиванием.§ 33.
ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ НЕКОТОРЫХ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ1.Центр тяжестидугиокружности.Рассмотрим дугу А В радиуса R с центральным углом АОВ =2а. В силусимметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ох (рис. 109).Найдем координату х с по формулам (66). Д ля этого выделим на дугеАВ элемент М М ' длиной d l = R d f , положение которого определяется углом ф. Координата х элемента М М ' будет x —R соз ф.
Подставляя эти значения х и d/ в первую из формул (66) и имея в виду,что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:ВI Г*хс = -j- \ х d/ =а/?* (*/?*i cos ф d 9 = 2 -£- sin a ,-j-где L — длина дуги АВ, равная R -2а. Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, разномx c —(R sin a )/a ,(67)где угол а измеряется в радианах.2.Центр тяжести площади треугольника.Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 110) прямыми, параллельными стороне AD, на п узких полосок; центры тяжести этихполосок будут лежать на медиане BE треугольника. Следовательно,и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане.
Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. При этом, как известно,СЕ—ВЕ/3.(68)3.Центр т яж ести площади кру го во го сект о р а . Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом 2 а (рис.
111). Разобьем мысленно площадь сектора ОАВрадиусами, проведенными из центра О, на п секторов. В пределе,5при неограниченном увеличении числа п, эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которыхлежат на дуге D E радиуса 2RI3. Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ совпадает с центром тяжести дуги DE, положение которого найдется по формуле (67).
Окончательно получим, что центртяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметриина расстоянии от центра О, равном(6 9 )Приведем без доказательств еще два результата.4. Ц е н т ртяжестиобъемапирамиды(илик о н у с а ) . Этот центр С лежит на прямой С^Е (рис. 112), где £ —вершина, а Сг — центр тяжести площади основания пирамиды; приэтомCCx—ECjA.(70)Результат справедлив для любой многоугольной пирамиды и дляконуса.5. Ц е н т р т я ж е с т иобъема полушара.Этотцентр С лежит на оси Ох (оси симметрии, рис.
113), а его координатаx c =OC=3R/8,(71)где R — радиус полушара.Формулы, определяющие координаты центров тяжести другиходнородных тел, можно найти в различных технических справочниках.Раздел второйКИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛАГлава IXКИНЕМАТИКА ТОЧКИ§36. ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУКинематикой называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение вдинамику, так как установление основных кинематических понятийи зависимостей необходимо для изучения движения тел с учетомдействия сил.
С другой стороны, методы кинематики имеют и самостоятельное практическое значение, например, при изучении передач движения в механизмах.Под движением мы понимаем в механике изменение с течениемвремени положения данного тела в пространстве по отношению кдругим телам.Д ля определения положения движущегося тела (или точки) вразные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат,образующую вместе с этим телом систему отсчета.
В дальнейшембудем говорить о движении тела (или точки) по отношению к даннойсистеме отсчета, подразумевая под этим движение по отношению ктому телу, с которым эта система отсчета связана. Изображ ать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показываятело, с которым они связаны). Выбор системы отсчета в кинематикепроизволен (определяется целью исследования), и в отличие от динамики (см. § 74) все кинематические зависимости, полученные приизучении движения в какой-нибудь одной системе отсчета, будутсправедливы и в любой другой системе отсчета.Движение тел совершается в пространстве с течением времени.Пространство в механике мы рассматриваем как трехмерное евклидово пространство.
Все измерения в нем производятся на основанииметодов евклидовой геометрии. З а единицу длины при измерениирасстояний принимается 1 м. Время в механике считается универсальным, т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых95системах отсчета. За единицу времени принимается 1 с. Размерностьдлины обозначается символом L, а времени — символом Т. 'Евклидово пространство и универсальное время отражают реальные свойства пространства и времени лишь приближенно.
Однако,как показывает опыт, для движений, которые изучаются в механике(движения со скоростями, далекими от скорости света), это приближение дает вполне достаточную для практики точность.Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния,скорости и т.
д ;) рассматриваются как изменяющиеся стечением времени, т. е. как функции времени t. Отсчет времени ведется от некоторого начального момента ( / = 0), о выборе которого в каждомслучае условливаются. Всякий данный момент времени t определяется числом секунд, прошедших от начального момента до данного;разность между какими-нибудь двумя последовательными моментами времени называется промежутком времени.Почерпнутые из опыта и подтвержденные практикой основы,на которых строится кинематика, дают аксиомы геометрии. Никакихдополнительных законов или аксиом для кинематического изучениядвижения не требуется.Д л я решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движениебыло как-то задано (описано).Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) — значит задать полозхение этого тела (точки) относительноданной системы отсчетов любой момент времени.
Установление математических способов задания движения точек или тел являетсяодной из важных задач кинематики. Поэтому изучение движениялюбого объекта будем начинать с установления способов заданияэтого движения.Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит втом, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методыопределения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.Изучение кинематики начнем с изучения движения простейшегообъекта — точки (кинематика точки), а затем перейдем к изучениюкинематики твердого тела.Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки.Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая — криволинейным.§ 37.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИД л я задания движения точки можно применять один из следующих трех способов: 1 ) векторный, 2 ) координатный, 3) естественный.1.Векторныйспособ заданиядвиженият р ч к и. Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчет з Охуг. Положение этой точки в любой момент времени96можно определить', задав ее радиус-вектор г, проведенный из начала координат О в точку М (рис. 114).При движении точки М вектор { будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению.
Следовательно, г являетсяпеременным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t:F= 7( t).О)Равенство (1) и определяет закон движения точки в векторнойформе, так как оно позволяет в любой момент времени построитьсоответствующий вектор г и найти положение движущейся точки.Геометрическое место концов вектора г, т. е.
годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.Аналитически, как известно, вектор задается его проекциями накоординатные оси. В прямоугольных декартовых координатах длявектора г будет: гх—х, гу—у, гг= г (см. рис. 114), где х, у, г — декартовы координаты точки. Тогда, еслиzввести единичные векторы (орты) t, /, kкоординатных осей, получим для г выражение____r = xi + yj + zk.(2 )jfСледовательно, зависимость (1) г от tбудет известна, если будут заданы координаты х, у, z точки как функции време- 1Уни.
Такой способ задания движения точкиРис. 114(координатный) рассмотрим ниже. Вектор г может быть задан, как известно, и иными способами, напримерего модулем я углами с осями или проекциями на оси других системкоординат. Д ля получения общих формул, независящих оттого, какконкретно задан вектор г, будем исходить из векторного закона движения, представленного равенством ( 1 ).< 2. К о о р д и н а т н ы й с п о с о б з а д а н и я д в и ж е н и я т о ч к и . Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, г, которые при движенииточки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
