1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Сила Q лежит в плоскости A B D , перпендикулярнойоси у и пересекающейся с нею в точке В. Следовательно, Qx z — Q- Опуская из точкиВ перпендикуляр на линию действия силы Q (см. вспомогательный чертеж справа), находим, что его длина h = a sin а , Окончательно, учитывая направление поворота! получаемт у (Q) = — Qa sin а .Наконец, для вычисления т г (Q) проектируем силу Q на плоскость ху и находим, что Qxy— Q cos а , а плечо этой проекции относительно точки О равно Ь.Поэтому с учетам знакат г (Q) = *Q cos а.ТеоремаВарйньона длямоментов силыо т н о с и т е л ь н о о с и .
Если обе части векторного равенства(24) из§ 13 спроектировать на какую-нибудь ось г, проходящую черезцентр 0 , то согласно формулам (44) получим(46)Следовательно, теорема Вариньона о моменте равнодействующейсправедлива и для моментов относительно любой оси. Теоремой особенно удобно пользоваться для нахождения моментов силы относительно координатных осей, разлагая силу на составляющие, параллельные осям или их пересекающие.Задача 36.
Найти моменты относительно осей х , у , г силы Q, приложенной■ плите в точке D (рис. 89),. если О А = а , О В=Ь и толщина плиты А; угол а задан.Р е ш е н и е . Разлагая силу Q на составляющие Q, и Q3, параллельные соответственно осям х и г, где по модулю Qi—Q cos a , Qt = Q sin а , и применяя теорему Вариньона, получим:тх (Q) = тх (Qi) + тх (<Г») = Q, Ь = Qb sin ос,т у (5) = т „ ( 0 ,) + т „ (Q J = Q1h — Qt a = Q (/tc o sa —a sin а),тг (Q) = т г (Qj) + т г (Qt) = Q1b = Qb cos а,так как mx {Ql)= 0 (Q,||Ox) и m * (Q j = 0 (Qil|Oz).Как видим, с помощью теоремы Вариньона моменты силы вычисляются довольно просто (с ее помощью легко найти моменты силы Q и в задаче 35).
Поэтомурекомендуется во всех подобных случаях пользоваться данной теоремой. При некотором навыке все подсчеты легко проделать, опуская промежуточные выкладки;например, сразу видно, что mx (Q )=(Q sin рс ) Ь и т. д.Аналитическиеформ у л ы д л я м о м е н т о в силы о т н о с и т е л ь н о к о о р д и н а т н ы х о с е й . Разложимсилу F, приложенную в точке А скоординатами х, у, г, на составляющие Fx, Fy, Ft , параллельныекоординатным осям (рис. 90, а).Тогда.по теореме.
Вариньонаtn x (F ) = т х (F х ) + т х (F ) + т х (F z).75Н о так как составляющая Т х параллельна оси х, а составляющие F ttи Fjjefl перпендикулярны, то с учетом знаков будет^ mx(Fx) = О,mx{Fy)——2Fv, m x(Fz) = y F t и в результате mx (F) = y F t— zFu.Аналогично находятся моменты относительно осей у к г. Окончательно получим:тх (F) = yFt — zFy,!)(47)mv (F) = zFx — xF2,тг (F) = xFv— yFx. ,Формулы (47) дают аналитические выражения для моментовсилы относительно координатных осей.
С их помощью моментыможно вычислять, зная проекции силы и координаты точкиее приложения. Заметим, чтокаж дая следующая формула вравенствах (47) получается из предыдущей так называемой круговой перестановки букв и индексов, т.
е. последовательной заменой х на у, у на z и г н а х (рис. 90, б).Отметим еще один результат: поскольку левые части равенств(47) являются одновременно проекциями вектора m0 (F) на координатные оси (где О — начало координат), то с помощью этих равенствможно найти модуль момента m0 (F) по формулеI т 0 (Г)| = Y [тх (F)]‘ + К , (F)]* + Кi F)]*•(48)Задача 37. Вычислить по аналитическим формулам моменты силы 7?, изображенной на рис. 89, относительно осей х , у , г и центра О.Р е ш е н и е .
Сила (^приложена в точке D с координатами x = a , y = b , z = —Л.Ее проекции на координатные оси:Qx = — Q c o so , Q„ = 0, Q , = Q sIn a.Подставляя эти значения в формулы (47), получим тот же результат, что и в задаче 36. Д ля |m 0 (Q)| по формуле (48) найдемI т 0 (Q) | = ЯУcos a — a sin a)*.Вычисление главного вектора и главногом о м е н т а с и с т е м ы с и л .
Согласно формулам (21) и (22),полученным в § 12, значения главного вектора R и главного моментаМ 0 системы сил определяются равенствами: R = E F k, M 0 = l m 0 (Fh).Покажем, как значения R и М 0 вычисляются аналитически,т. е. по их проекциям на координатные оси, что нам в дальнейшемпонадобится.76Выражения для R x, R„, R z уже известны (§ 5).
Проекции вектора М 0 на координатные оси будем обозначать М х, M VJ_ M Z. Потеореме о проекциях суммы векторов на ось Afx= 2 [m 0 (Fft)]* или,согласно равенству (44), M x= 2 m x (Fk). Аналогично находятся М ии М г._Окончательно для определения проекций главного вектора Rи главного момента М 0 получим формулы:(49)=Ry = 'ZFky^ R 1, = 2Fkt-, __M x = 2mx (Fk), M e = 2 mf (Fk), M t = lLmt (Fk).(50)В § 12 было отмечено, что две системы сил, у которых величины7? и М 0 совпадают, эквивалентны. Отсюда следует, что для задания(или определения) любой системы сил, действующих на твердое тело,достаточно задать (определить) ее главный вектор и главный моментотносительно некоторого центра, т. е.
шесть величин, входящих влевые части равенств (49) и (50) [в случае рассмотренной в § 15 плоской системы сил — три величины, входящие в равенства (27)1. Этимнередко пользуются на практике, например, при задании (определении) аэродинамических сил, действующих на самолет, ракету,автомобиль, или при определении внутренних усилий в частяхконструкции (см. задачу 26 в § 20).S 29*.
ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛК ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУКак показано в § 12, любая система сил приводится в общем случае к силе, равной главному вектору R и приложенной в произвольном центре О, и к паре с моментом, равным главному моменту М 0(см. рис. 40, б). Найдем, к какому простейшему виду может приводиться пространственная система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зависит от значений, которые у этой системы имеютвеличины R и М 0■__1. Если для данной системы сил R = 0, а М оф 0, то она приводится к паре сил, момент которой равен М 0 и может быть вычисленпо формулам (50).
В этом случае, как было показано в§ 12, значениеМо от выбора центра О не зависит.2. Если для данной системы сил R=£0, а М 0= 0, то она приводится к равнодействующей, равной R , линия действия которой проходит через центр О. Значение/? можно найти по формуламJ49).3. Если для данной системы сил R=£0, M 0¥ z0, но Al0 _lJ?, тоэта система также приводится к равнодействующей, равной R, ноне проходящей через центр О.__Действительно, при M 0± R пара, изображаемая вектором М 0,и сила R лежат в одной плоскости (рис. 91). Тогда, выбрав силы пары77R ' и R " равными по модулю R и располагая их так, как показанона рис. 91, получим, что силы R и R " взаимно уравновесятся, исистема заменится одной равнодействующей R ' = R , линия действиякоторой проходит через точку О' (см.
§ 15, п. 2, б). Расстояние 0 0 '(00'_!_/?) определяется при этом по формуле (28), где й = 0 0 '.Легко убедиться, что рассмотренный случай будет, в частности,всегда иметь место для любой системы параллельных сил или сил,лежащих в одной плоскости, если главный вектор этой системы РФО._ 4. Если для данной системы сил R=£Q, М 0фО и при этом векторМ 0 параллелен R (рис.
92, а), то это означает, что система сил приводится к совокупности силы R и пары Р, Р ',лежащей в плоскости, перпендикулярной силе(рис. 92, б). Такая совокупность силы и пары называется динамическим винтом, а прямая, вдоль которой направлен вектор R , осьювинта. Дальнейшее упрощение этой системысил невозможно. В самом деле, если за центрприведения принять любую другую точку С(рис. 92, a), t q вектор М 0 можно перенести вточку С как свободный, а при переносе силы R в точку С (см.
§ 11)добавится еще_одна пара с моментом M c = m c (R), перпендикулярным вектору R ^_а следовательно, и М 0. В итоге момент результирующей пары М с = М 0'¥М'с численно будет больше М 0\ таким образом, момент результирующей пары имеет в данном случае при приведении к центру О наименьшее значение. К одной силе (равнодействующей) или к одной паре данную систему сил привести нельзя.Если одну из сил пары, например Р', сложить с силой R, торассматриваемую систему сил можно еще заменить двумя скрещивающимися, т. е.
не лежащими в одной плоскости с и л а м и и Р(рис. 93). Так как полученная система сил эквивалентна динамическому винту, то она такж е не имеет равнодействующей.__5. Если для данной системы сил Р Ф 0, М 0фО и при этом векторыМ 0 и R не перпендикулярны друг другу и не параллельны, то та78кая система сил тоже приводится к динамическому винту, но осьвинта не будет проходить через центр О.Чтобы доказать это, разложим вектор М 0 на составляющие: M i, направленную вдоль R , и М 8, перпендикулярную R (рис._94). При этом M i= M o cos о , M t —= M q sin о , где а — угол между векторами М о и R .
П ару, изображаемую вектором A M A ijT ? ), и силу"# можно, как в случае, показанном на рис, 91, заменитьодной силой R \ приложенной в точке O ', Тогда данная система сил заменится силой ~R'=R и парой с моментом ~Щ, параллельным Я*, причем вектор Afj, как свободный, можно тоже приложить в точке О'. В результате действительно получитсядинамический винт, но с осью, проходящей через точку O ',Задача 38. Найти, к чему приводится система сил F i и F x, изображенных нарис.
6 (см. § 2 ), считая F ^ F ^ F , А В = 2 а .Р е ш е н и е . Приведем силы Ft и F а к центру О, лежащему на середине отрезка А В (рис. 95). Главный вектор системы R ~= F^+Ft и направлен по биссектрисе угла у 'О /; численно он равен R — F y 2. Главный момент системы М+ m 0 (F J. Вектор m o (fi) направлен вдоль оси у ', а вектор fflo (^ i)— вдоль оси i ;численно оба вектора равны Fa. Следовательно, по модулю M o = F a V 2, а направлен вектор М о тоже по биссектрисе угла у'О г'. Таким образом, система сил FuFt приводится к динамическому винту и, как было указано в § 2, равнодействующей не имеет.§30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
