1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Д л я конструкции из п тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, полу53чится таким путем Зл уравнений, позволяющих найти 3п неизвестных (при других системах сил число уравнений соответственно изменится). Если для данной конструкции число всех реакций связей будет больше числа уравнений, в которые эти реакции входят,то конструкция будет статически неопределимой (см. § 19).Задача 23.
Кронштейн состоят из горизонтального бруса A D (рис. 62, а)весом P t = 150 Н , прикрепленного к стене шарниром, и подкоса СВ весом Р , == 120 Н , который с брусом A D и со стеной такж е соединен ш арнирами (все размеры показаны на чертеже). К концу Dбруса подвешен груз весом Q = 3 0 0 Н.Определить реакции ш арниров А и С, считая брус и подкос однородными.Решение.Рассмотрим сначаларавновесие всего кронштейна. Н а негодействуют следующие внешние силы: за данные силы Р ,, P t , Q и реакции связейХ д , У д, Хс, Ус- Кронштейн, освобожденный от внешних связей,, не образуетжесткой конструкции (брусья могут поворачиваться вокруг ш арнира В ), но попринципу отвердевания действующие нанего силы при равновесии должны удовлетворять условиям равновесия статики.Составляя эти условия, найдем:2 Г к х * ~ Х л + Х с = 0,IF^ ^ + Kc - P i - P , - Q = 0 ,2/Пд (F j) а Х р -4 а — У( f i — P i- 2 a — Р , а ——Q .
4 a = 0 .Полученные три уравнения содержат,каквидим, четыре неизвестных Х д ,УА> Х с , У с . Д л я реш ения задачи рассмотрим дополнительно равновесие брусаА р (рис. 62, б). Н а него действую т силы ~PU Q, реакции Х д , У д и реакции Х д ,У д , которы е д л я бруса A D (когда рассматривается его равновесие) будут силамивнешними. Недостающее четвертое уравнение составим, беря моменты действующ их на брус A D сил относительно центра В (тогда в уравнение не войдут новыенеизвестные Х д , У д):Х т д (?*) ш I— УА • З а + Р i a — Q а = 0.Р еш ая теперь систему четырех составленных уравнений (начиная с последнего),найдем:У д = ( Р х —Q ) /3 = —50 Н , y c = 2 P 1/ 3 + P ,+ 4 Q /3 = 6 2 0 Н ,Х с = 2 Р 1/ 3 + Р ^ 2 + 4 Q /3 = 5 6 0 Н , Х д = —Х с ~ —560 Н .И з полученных результатов видно, что силы Я д и У д имеют направления, противополож ны е показанны м на чертеж е. Реакции шарнира В , если их надо.определ и ть.
найдутся из уравнений проекций на оси х и у сил, действующих на брус A D ,и будут равны : Х а = — Х д , У д = Р ,+ < 2 - г У д = 5 0 0 Н.К а к видим, при решении задач статики не всегда надо составлять все условияравновесия д л я рассматриваемого тел а. Если в задаче не требуется определятьреакци и некоторы х связей , т о надо пытаться сразу составить такие уравнения,в которы е эти неизвестные реакции не будут входить.
Так мы и поступили в даннойзадаче при рассмотрении равновесия бруса A D , составляя только одно уравнениемоментов относительно центра В.'З а д ач а 24. Горизонтальная бал к а А В весом Q = 2 0 0 Н прикреплена к стенеш арниром Л а опирается и а опору С (рис. 63, а). К ее концу В ш арнирно прикреп54лен брус В К весом Я = 4 0 0 Н , опирающийся на выступ D . П ри этом С В = А В /3,D K — B K fo , угол а = 4 5 ° . Определить реакции опор, считая балку и брус однородными.Р е ш е н и е . Расчленяя систему на две части, рассматриваем равновесиебруса В К и балки А В в отдельности.
Н а брус В К (рис, 63, б) действуют сила Ри реакции связей N q , Х д ,а)У и.ВводяобозначениеуВ К — а и составляя для этихсил условия равновесия (29),йолучим:ХР/,я ш т Х а— N q sin а = О,_х cos а = О,I m g (F*) ■■ Л^д-2а/3—— Р (а/2) cos а = 0.Реш ая этидем:уравнения, найN d = (ЗЯ/4) cos o = 2 I2 Н,X e = ( 3 P / 8 ) s i n 2 a = 150Н ,Y B = P — (3P/4)cos*a = 250 Н.Н а балку А В , если ее рассматривать отдельно, действуют сила Q, реакции внешних связей 77?, Х л .и силы давления Х в и Т абруса В К , передаваемые через ш арнир В (рис. 63, в).
П ри этом по закону о действии и_противодействии силы Х в и У'в должны быть направлены противополож но Х д и Уд; по модулю ж е Х 'в = Х д , У д = У в .Вводя обозначение л В = Ь и составляя для сил, действующ их на б ал к у , условия равновесия (30), получим:X F kx — Х л - Х в = 0,Z m A (F* ) - - Y ' Bb - \- N c - 2 b / 3 - Q . Ь/2 = О,2 т с (?*) » - Y а •26/3 + Q .
6/6 - У в . 6/3 = 0.П олагая в этих уравнениях Х в = Х д и У в ~ У в и реш ая и х, найдем:X j = X f l = 150 Н , K/i = Q /4 — У д / 2 = —75 Н , N c = 3 Q /4 + 3 K B/ 2 = 525 Н.Из полученных результатов видно, что все реакции, кроме У а , имеют направления, показанные на рис. 63, реакция ж е У а фактически направлена вниз.При решении задач этим путем важ но иметь в виду, что если давление какою нибудь одного тела на другое изображено силой R или составляющими X и У , тон а основании закона о дейст виии противодействии давление второго тела на первоедолжно изображаться силой R ' , направленной противоположно JT (причем по м одулю R '= R ) или составляющими X ', У", направленными противоположно X и У(причем по модулю Х '— Х , У '— У ).Задача 25.
Н а трехш арнирную арку (рис. 64, в) действует горизонтальнаясила F . П оказать, что при определении реакций опор A r t В нельзя переносить точку приложения силы F вдоль ее линии действия в точку £ .Р е ш е н и е . Освобождая а р к у от внешних связей (опоры А и В ), мы полу*чаем изменяемую конструкцию, которую нельзя считать абсолютно твердым телом.Поэтому при определении реакций опор А и В переносить точку прилож ения силыF в точку £ , принадлежащ ую другой части конструкции, н ельзя.Убедимся в этом путем непосредственного решения задачи , пренебрегая весомарки. Рассмотрим сначала правую половину арки .
Н а нее действую т то л ь к о двесилы: реакции R g и R q ш арниров В к С (сила R c на чертеж е не показана). П ру55равновесии эти силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. по ливни ВС. Следовательно, реакция R r направлена вдоль ВС.Рассм атривая теперь равновесие всей арки в целом, найдем, что на нее действуют три силы: заданная сила F и реакции опор R g (направление которой мынашли) я R л - П о теореме отрех силах (§ 6) линии действия этих сил должны приравновесии пересекаться водной точке; отсюда находим направление реакцииR a - Модули реакций R A иR g можно определить из соответствующего силового треугольника.Если ж е прилож ить силу F в точке Е и, рассуждая аналогичным образом,проделать необходимые построения (рис: 64, б), то убедимся, что в этом случаереакции опор R a л R g окаж утся другими и по модулю, и по направлению.§ 19*. СТАТИЧЕСКИ О П РЕД ЕЛ И М Ы Е И СТАТИЧЕСКИН ЕО П РЕДЕЛИ М Ы Е СИСТЕМЫ Т ЕЛ (КОНСТРУКЦИИ)При решении задач статики реакции связей всегда являютсявеличинами заранее неизвестными; число их зависит от числа ивида наложенных связей.
Условия равновесия, в которые входятреакции связей и которые служат для их определения, называютобычно уравнениями равновесия. Чтобы соответствующая задачастатики была разрешимой, надо, очевидно, чтобы число уравненийравновесия равнялось числу неизвестных реакций, входящих в этиуравнения.Задачи, в которых число неизвестных реакций связей равночислу уравнений равновесия, содержащих эти реакции, н азы вай сястатически определенными, а системы тел (конструкции), для которых это имеет место — Статически определимыми.Задачи же, в которых число неизвестных реакций связей большечисла уравнений равновесия, содержащих эти реакции, называютсястатически неопределенными, а системы тел (конструкции) для которых это имеет место — статически неопределимыми.Н апример, подвеска, состоящая из с)двух тросов (рис. 65, а), будет статически определимой, так к ак здесь двенеизвестные реакции Г , и Г , войдут вдва уравнения равновесия ( 12) плоской системы сходящ ихся сил.
Подвеск а ж е, состоящ ая из трех леж ащ их водной плоскости тросов (рис. 65, б),будет статически неопределимой, такк а к в ней число неизвестных реакцийравн о трем ( T l t T t i T t ), а уравненийравновесия по-прежнему только два.А налогично, горизонтальная б ал к а, леж ащ ая на двух опорах (рис. 66, а),будет статически определимой, т ак к ак и здесь две неизвестные реакции Л \ и N ,входят в два уравн ен ия равновесия (33) плоской системы параллельных сил.
Т ак а я ж е бал к а н а трех опорах (рис. 66, б) будет статически неопределимой.56Рассмотрим еще а р к у , изображ енную на рис. 67, а, где связям и явл яю тся неподвижная ш арнирная опора в точке А и ш арнирная опора на к атк ах в точке В .Т ак ая арка будет статически определимой, поскольку здесь три неизвестные р еакции Л д , Y a , N g войдут в три уравнения равновесия (29) произвольной плоскойсистемы сил. Если ж е в точке В будет тож е неподвиж ная ш арнирная опора(рис. 67, б), то неизвестных реакций окаж ется четыре ( Х а , У а < Х д , Y g ) , ауравнений равновесия останется три и а р ка станет статически неопределимой.Однако трехш арнирная а р к а , изображ енная на рис.
61, будет статически определимой, так к ак , расчленив ее в ш арнире С на две части, мы введем ещё двереакции Х с . Y c ш арнира и неизвестных реакций станет ш есть, но и уравнений равновесия тоже шесть (по три дл я каж дой части). С аркой , изображ енной на рис. 67,6,б)Iяг""**ш%.9Ш.так поступить нельзя, поскольку разделив ее на две части, например, сечением,проведенным через точку С, мы получим в этом сечении систему распределенны хсил, которую можно привести к двум неизвестным силам Х с , Y c и паре с неизвестным моментом т с (см.
§ 20, задачу 26). С ледовательно, неизвестных реакций станет семь (Х а , Y a , Х в , Y g , Х с , Y c , т с ) и их из шести уравнений равновесияопределить нельзя.Статическая неопределимость объясн яется наложением лиш них связей . Н апример, для обеспечения равновесия бал ки , изображ енной на рис. 6 6 , достаточнодвух опор и третья опора не нуж на (балка считается абсолютно ж есткой и не прогибающейся).
Статически неопределимые конструкции мож но рассчиты вать, еслиучесть их деформации; это делается в курсе сопротивления м атериалов.§ 2 0 * . О П РЕ Д Е Л Е Н И Е В Н У Т Р Е Н Н И Х УСИ ЛИ ЙВнутренними усилиями в каком-нибудь сечении тела или конструкции (балки, арки и др.) называют силы, с которыми части тела,разделенные этим сечением, действуют друг на друга. Метод определения внутренних усилий аналогичен методу, применяемому приизучении равновесия систем тел.
Сначала рассматривают равновесиевсего тела (конструкции) в целом и определяют реакции внешнихсвязей. Затем сечением, в котором требуется найти внутренние усилия, разделяют тело на две части и рассматривают равновесие однойиз них. При этом, если система действующих на тело внешних силплоская, то действие отброшенной части заменится в общем случаеплоской системой распределенных по сечению сил; эти силы, каки в случае жесткой заделки (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
