1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 10
Текст из файла (страница 10)
к равнодействующей, равной R иприложенной в центре О.§ 13. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СИЛ.ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙПокажем, что для равновесия любой системы сил необходимо идостаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главныймомент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобывыполнялись условияЯ = 0, М о = 0,(23)где О — любой центр, так как в конце § 12 показано, что при R = Означение М 0 от выбора центра О не зависит*.Условия (23) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело силприводится или к равнодействующей (когда /? ^ 0 ) , или к паре сил(когда М 0Ф 0) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно условия (23) являются и достаточными, потому что приR — 0 система сил может приводиться только к паре с моментом М 0,а так как М о =0, то имеет место равновесие.П ользуясь полученным результатом, докажем следующую т е о ремуВариньона *о моменте равнодействующ е й: если данная система сил имеет равнодействующую, то моментравнодействующей относительно любого центра О равен суммемоментов сил системы относительно того оке центра.*П.
В ариньон (1654— 1722) — выдающийся французский ученый, математ и к и механик. И злож ил основы статики в книге «Проект новой механики» (1687).40Пусть система сил Flt F t .......... Fn приводится к равнодействующей R , линия действия которой проходит через некоторую точкуС (рис. 41). Приложим в этой точке силу R ' —— R . Тогда системасил Fu F t .......... Fn, R ' будет находитьсяв равновесии и для нее должно выполняться условие М 0 —0, т. е. согласно формуле (22) для данных сил (включая силуR') должно бьпъ 1>т0 (Fh) + m 0 (R ' ) = 0 .
Нотак как /?' = — R и обе силы направленывдоль одной и той Же прямой, то m 0 ( R ' ) ~= — m 0 (R).Подставляяэто значениеmo( R' ) в предыдущее равенство, найдемиз него, что_ __ _(24)т 0 (R) = 2 т 0 (F„).Тем самым теорема доказана. Ею часто бывает удобно пользоваться при вычислении моментов сил.Глава VПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ§ 14. А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е МОМЕНТЫ СИЛ Ы И ПАРЫПереходя к рассмотрению плоской системы сил (системы сил,как угодно расположенных в одной плоскости), начнем с введениянекоторых понятий.1.Алгебраический момент силы относит е л ь н о ц е н т р а .
Когда все силы системы лежат в одной плоскости, их моменты относительно любого центра О, находящегосяв той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т. е. направлены вдоль одной и той же прямой. Тогда, не прибегая к векторнойсимволике, можно направления этих моментов отличить одно отдругого знаком и рассматривать момент силы F относительно центраО как алгебраическую величину. Условимся для краткости такоймомент называть алгебраическим и обозначать символом m 0 (F).Алгебраический момент силы F относительно центра О равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ееплечо, т. е.*m 0 (F) — -±Fh.(25)При. этом в правой системе координат, принятой в механике,момент считается положительным, когда сила стремится повернуть*В подобных равенствах символ « ± » будет означать, что дан н ая величинаимеет и ли зн ак плюс, или зн ак минус.41гело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и отрицательным— когда по ходу часовой стрелки.
Так, для сил, изображенныхна рис. 42: m 0 (P)*=Phlt m 0 {Q)=— Qht.Заметим, что полученные выше формулы (22) и (24), содержащиесуммы моментов-векторов, сохранят свой вид и для алгебраическихмоментов, но суммы при этом будут не векторные, а алгебраические.Рис.
42П ример. Н айти моменты сил F и относительно точки А (рис. 43), если А В —а,A D = Ь и углы а , Р известны.Р е ш е н и е . Оцустив из точки А перпендикуляр на линию действия силыТ~, найдем плечо А = а sin а ; тогда с учетом знака m ^ (F )= F a sin о .Д л я силы. проще не находить плечо, а разложить Q* на с о став л яю щ и е'^ и5», д л я которых плечи будут соответственно равны А В = а и AD=b, а затем воспользоваться_формулой (24), т.
е. теоремой Вариньона. Тогда с учетом знаков:»«i4(5 j= /n ^ (Q i)-i-m > (5 j ) = — Q ie + Q ,* . Н о QX= Q cos p . Qa= Q sin p и окончательнот д (<2) = (? (b s l n P — a cos P).В ы раж ение в скобках и яв л яется плечом силы Q, что не сразу видно.Зам етим , что т д (? ) мож но тож е найти, разложив силу Т ~на составляющиеТ1 иТогда m jt(F )= m ji(F i) = { F sin а )о , так как т д ( / г, ) = 0 .2.Алгебраическиймоментпары.Посколькумомент пары сил равен моменту одной из ее сил относительно точкиприложения другой силы {формула (15')], то для пар, лежащих водной плоскости, момент пары можно тоже рассматривать как алгебраическую величину,называтьалгебраическим и условиться обозначать символом m (или М).
Приэтом алгебраический момент парыравен взятому с соответствующимзнаком произведению модуля однойиз сил пары на плечо пары:m=±Fd.(26)Правило знаков здесь такое же, как для момента силы. Так,для изображенной на рис. 44, а пары F, F' момент m i = F d lt а дляпары Р, Р ' момент т ш——P d t . Поскольку пара сил характеризуетсятолько ее моментом, то на рисунках пару изображают часто просто42дуговой стрелкой, показывающей направление поворота пары (какна рис. 44, б).Полученные выше формулы (16) и (17), содержащие суммы моментов-векторов, тоже сохранят вид для алгебраических моментов,цричем суммы будут алгебраическими.З адача 12.
Криволинейный ры чаг A B C D (рис. 45) находится в равновесияпод действием двух параллельны х сил Я и Я ', образующ их пару. О пределить силыдавления на опоры, если А В — а = 15 см, В С = Ь — 30 см, C D = c = 20 см, Р = Р '== 3 0 0 Н.Ри с. 46Рис. 45Р е ш е н и е . Заменим пару Я , Я ' эквивалентной ей парой Q, Q ', силы к о то рой направлены по направлениям реакций опор. П ри этом моменты пар долж ныбыть одинаковы, т.
t . P (c— a )= Q b .Следовательно, силы давленй я на опоры численно равныQ = Q ' = P ( c — a)/b = 30 Н■ направлены так , как показано на чертеже.Задача 13. Н а шестерню / радиусадействует пара сил с моментом т *(рис. 46, а). Определить момент т , пары , которую надо при лож ить к ш естерне 2радиуса г ,, чтобы сохранить равновесие.Р е ш е н и е . Рассмотрим сначала условия равновесия ш естерни / . Н а неедействует пара с моментом т х, которая может быть уравновеш ена тольк о действиемдругой пары, в данном случае пары (Jj, ~Rl . Здесь — перпенди кулярн ая радиусусоставляю щ ая силы давления на зу б со стороны ш естерни 2 , a R i — тож е перпендикулярная радиусу составляю щ ая реакции оси А (сила давлени я на зу би реакция оси А имеют еще составляю щ ие вдоль радиуса, которы е взаим но у р а в новешиваются и в условие равновесия не войдут).
П ри нтом , согласно условию равновесия (17),Qi/’i ) = 0 и Ql = m 1lr1.Теперь рассмотрим условия равновесия шестерни 2 (рис. 46, б). П о закон уравенства действия и противодействия на нее со стороны ш естерни / будет действовать сила 7?» = —Q1( которая с перпендикулярной ради усу составляю щ ейреакции оси В образует пару Qt , R t с моментом, равны м — Q ^ t- Эта пара идолж на уравновеситься прилож енной к шестерне 2 парой с моментом т , ; следовательно, по условию равновесия (17), т , + (—Qa/’1) = 0 .
О тсю да, т а к к а к Q ,= Q i,находим mt = m 1ri /r1.Естественно, что пары с моментами m j и т , не удовлетворяю т условию равн овесия (17), так как они прилож ены к разны м телам.П олученная в процессе реш ения задачи величина Qt (илиназы ваетсяокружным усилием, действующим на шестерню. К ак видим , ок руж ное усилиеравно моменту вращающей пары , деленному на радиус ш естерни: Q i = m l /^1=43§ 15. П РИ В Е Д Е Н И Е ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛК ПРОСТЕЙШ ЕМУ ВИДУРезультат, полученный в § 12, справедлив, конечно, и в частномслучае плоской системы сил.
Следовательно, плоская система силтоже приводится к силе, равной R и приложенной в произвольновыбранном центре О, и паре с моментом М 0 , но сила и пара лежатв данном случае в одной плоскости — в плоскости действия сил(рис. 47, а, где пара изображена дуговой стрелкой).
Значения главного вектора R и главного момента М 0 даются формулами (21) и(22); при этом вектор R можно определить или геометрически построением силового много£угольника (§ 4), или аналитически по формулам (10) из§ 5 . Таким образом, для плоской системы силM0^ m0 (Fk),(27)где все моменты в последнемРи с.
47равенстве алгебраические псумма тоже алгебраическая.Найдем, к какому простейшему виду может приводиться даннаяплоская система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зависит от значений R и М 0 1. Если для данной системы сил / ? = 0, а М о¥=0, то она приводится к одной паре с моментом М 0 . Как показано в конце § 12,значение М 0 в этом случае не зависит от выбора центра О.2. Если для данной системы сил R=£0, то она приводится к однойсиле, т. е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:а) R=£0, М о —0.
В этом случае система, что сразу видно, приводится jc равнодействующей R , проходящей через центр О;б) R~£0, МоФО. В э'гом случае пару с моментом М 0 можно изобразить двумя си л ам и /?' и R беря R ' = R , a R ”= — R (рис. 47, б).При этом, если d —OC•— плечо пары, то должно ЬытьR d = \ M 0 1.(28)Отбросив теперь силы R и R", как уравновешенные, найдем,что вся система сил заменяется равнодействующей R ' ==R, проходящей через точку С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
