1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Разложим теперь силу F понаправлениям А В и Е В на силыQ и Р, а силу F' — по направлениl / . fям В А и AD на силы Q' и Р ' . Оче- д»"/оf'видно при этом, что Р ' = —Р, аQ ' = —Q. Силы Q и Q', как уравновешенные, можно_отбрисить. В рерис ^зультате пара сил F, F' будет заме•нена парой Р, Р' с другим плечоми другими силами, которые можно, очевидно, приложить в точкахD, Е на их линиях действия.
При этом в силу произвольности ввыборе точек D, Е и направлений прямых AD и B E пара Р, Р' можетоказаться расположенной в плоскости ее действия где угодно(в положение, при котором силы Р и Р' параллельны F, пару можнопривести, проделав указанное преобразование дважды).Покажем в заключение, что пары F, F* и Р, Р' имеют одинаковыемоменты. Обозначим эти моменты соответственно через mi и .т» , гдесогласно формуле (15') i T h = A B x F , а т г= А В X Р. .Так как F =?=P+Q, то A B x F = A B x P + A B x Q , но A S x Q = 0 (см. подстрочное примечание на с. 32) и, следовательно, mi —т гз*Из доказанного вытекают следующие свойства пары сил:1) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия,можно переносить куда угодно в плоскости действия пары;2) у данной пары, не изменяя оказываемого ею на твердое телодействия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча,сохраняя неизменным ее момент.Можно доказать, что пара сил обладает еще одним достаточноочевидным свойством (доказательство опускаем):3) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия,молено перенести из данной плоскости в любую другую плоскость,параллельную данной.Отсюда следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты,эквивалентны друг другу (теорема об эквивалентности пар).
Эго следует из того, что указанными операциями, т. е. путем измененияплеча и перемещенияпары в плоскости действия или переноса впараллельнуюплоскость, пары с одинаковыми. моментами могутбыть преобразованы одна в другую.Теперь докажем теорему о сложении пар:Рис. 35система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.Рассмотрим сначала две пары с моментами тi и m s, лежащие вплоскостях / и I I (рис.
35). Возьмем на линии пересечения плоскостей отрезок A B = d и изобразим пару с моментом т г силамиF 1 , F'u а пару с моментом т 2— силами F t , F't , (при этом, конечно,F1d = m i , F 2d —m t).Сложив силы,приложенные в точках А и В, убеждаемся, чтопары F u F[ и F^ F't действительно эквивалентны одной паре R, /?';найдем момент М этой пары. Так как / ? = / rx + F l , то A B X R = A B Xx F i + A B x F t или согласно формуле (15') М = т х-\-тг.Д ля двух пар теорема доказана; при этом очевидно, что доказательство сохранится и в случае, когда плоскости I к I I сливаются(слагаемые пары лежат в одной плоскости).Если на тело действует система п пар с моментами mj, т г, .
. .. . . , т п, то последовательно применяя результат, полученный длядвух пар, найдем, что данная система пар будет действительноэквивалентна одной паре с моментомAf = m1+ mJ + . . . + m n = 2 ^ ( 16)Из полученного результата легко найти условие равновесиясистемы пар, действующих на твердое тело: при равновесии должно36быть М = 0 или2т*=0.(17)Задача 11.
Н етвердое тело действуют две пары, сил Fl t ~F[ и F t ,лежащие во взаимно перпендикулярныхплоскостях (рис. 36).Модуль момента каждой из пар равен 30 Н -м .Найти результирующую пару.Р е ш е н и е . Изобразим векторы% и m t моментов слагаемых пар,приложив их в некоторой точке А;тогда момент результирующей парыизобразится вектором т . Следовательно, результирующ ая пара расположена в плоскости ABC D , перпендихулярной вектору т , а модуль ее момента равен 3 0 ) / 2 Н -м .АРис. 36Глава IVПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЦЕНТРУ .УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ$ 11.
ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ С И Л ЫРавнодействующая системы сходящихся сил непосредственнонаходится с помощью закона параллелограмма сил. Очевидно, чтоаналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силыв одну точку. Такой метод дает следующая теорема: силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемогоею действия, переноситьиз данной точки в любую4. другую точку тела, приF бавляя при этом пару смоментом, равным момент у переносимой силы относительно точки, кудаРис.
37сила переносится.Пусть на твердое тело действует сила F, приложенная в точке А(рис. 37, а). Действие этой силы не изменяется, если в любой точкеВ тела приложить две уравновешенные силы F ' и F", такие, чтоF ' =F1_F"=— F. Полученная система трех сил и представляет собойсилу F', равную F, но приложенную в точке В, и пару F, F"с моментомтш*тв (F).(18)37Последнее равенство следует из формулы (15')- Таким образом,теорема доказана. Результат, даваемый теоремой, можно еще изобразить так, как это показано на рис.
37, б (силу F на этом рисункенадо считать отброшенной). Рассмотрим примеры, иллюстрирующиетеорему.Пример 1. Чтобы удерж ать в равновесии однородный брус А В длиной 2а ивесом Р , надо прилож ить в его середине С направленную вверх силу Q, по модулюравную Р (рис. 38, а). Согласно доказанной теореме силу Q можно заменить силойQ приложенной к концу А бруса, и парой с моментом, модуль которого m — Qa,Если плечо этой пары уменьшить до величины h (рис. 38, б), то образующие еесилы F, F ', надо увеличить так, чтобы было F h= Q a.
Следовательно, чтобы удерж ать брус за его конец А , надо кроме силы Q' приложить еще пару F, F '. Этотрезультат, вытекающий из доказанной теоремы, непосредственно «ощущает»р у ка человека, удерж иваю щ ая брус за его середину (рис. 38, о) или за конец(рис. 38, б).Пример 2. Н а барабан / радиуса г намотаны в противоположных направлениях две нити, к концам которых прикладывают силы F и F ' = — F (рис. 39);на барабан_2 того ж е радиуса намотана одна нить, к которой прикладывают силу,равную 2F. Рассмотрим, чем будут отличаться действия этих сил.Н а барабан / действует только пара сил F , F' с моментом, численно равным2F r, вращ ающая барабан. Силу, действующую на барабан 2, можно заменитьсилой 2 F '— 2F, прилож енной к оси барабана, и парой 2F, 2F".
В результате находим, что на этот барабан действуют: 1) пара с численно таким же, как и в первом случае, моментом 2F r, вращ ающая барабан, и 2) сила 2F ', оказывающая давление на ось барабана.И так, оба барабана будут вращ аться одинаково. Н о при этом ось второго барабана испытывает давление, равное 2F, а ось первого барабана никакого давления не испытывает..$ 12. П РИ ВЕД ЕН И Е СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОМУ ЦЕНТРУРешим теперь задачу о приведении произвольной системы сил кданному центру, т. е. о замене данной системы сил другой, ей эквивалентной, но значительно более простой, а именно состоящей, какмы увидим, только из одной силы и пары._ Пусть_на твердое тело действует произвольная система сил FitFt, . .Fn (рис. 40, а).
Выберем какую-нибудь точку О за центр38приведения и, пользуясь теоремой, доказанной в § 11, перенесемвсе силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары(см. рис. 37, б). Тогда на тело будет действовать система сил=К=........... Ъ = К(19)приложенных в центре О, и система пар, моменты которых согласноформуле (18) равны:л?! = Ш о ^ ) , mt = m 0 (Ft)..........m„ = m0 (Fn).(20)Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются однойсилой R , приложенной в точке О. При этом У? = 2 / * или, согласноравенствам (19),Я = 2?*-(21)Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторымоментов этих пар.
В результате система пар заменится одной парой, момент которой iM0 = 2 m h или, согласно равенствам (20),М 0 = Ъ т 0 {Тк).(22)Как известно, величина R , равная геометрической сумме всехсил, называется главным вектором системы сил\ величина М 0 ,равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы сил относительноэтого центра.Таким образом, мы доказали следующую т е о р е м у о п р и в е д е н и и с и с т е м ы с и л : любая система сил, действующихна абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой R , равной главному векторусистемы сил иприложенной в центре приведения О, и одной паройс моментом М 0 , равным главному моменту системы сил относительно центра О (рис.
40, б).Заметим, что сила R не является здесь равнодействующей данной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместес парой.И з доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеющиеодинаковые главные векторы и главные моменты относительно одногои того оке центра, эквивалентны (условия эквивалентности системсил)._Отметим еще, что значение R от выбора центра О, очевидно, независит. Значение же М 0 при изменении положения центра О можетв общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил.
Поэтому всегда необходимо указывать, относительно какого центра определяется главный момент.. Рассмотрим в заключение два частных случая: 1) если для данной системы сил /? = 0 , а М 0Ф 0, то она приводится к одной паре силс моментом М 0 . В этом случае значение М 0 не зависит от выборацентра О, так как иначе получилось бы, что одна и та же система силзаменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, чтоневозможно; 2) если для данной системы сил /?=£0, а М о = 0 , то^энаприводится к одной силе, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
