1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Например, нарис. 13 показано, как сила R разлагается по направлениям А В иAD на силыи F t— составляющие силы R (сила R и прямые А В ,AD лежат, конечно, в одной плоскости);б) р а з л о ж е н и е с и л ы п о т р е м з а д а н н ы м н а п р а в л е н и я м . Если заданные направления не лежат в однойплоскости, то задача является определенной и сводится к построению такого параллелепипеда, у которого диагональ изображает2*19заданную силу R , а ребра параллельны заданным направлениям(см. рис. 14).Способом разложения можно в простейших случаях пользоваться для определения сил давления на связи.
Д ля этого действующуюна тело (конструкцию) заданную’силу надо разложить по направлениям реакции связей, так как согласно закону о действии и противодействии сила давления на связь и реакция связи направлены вдольодной и той же прямой.З адача 1. Кронштейн состоит из стержней А С и ВС, соединенных со стенойи друг с другом ш арнирам и, причем Z B A C = 9 0 <>, Z A B C = a (рис. 16). В точке Сподвешен груз весом Р Определить усилия в стерж нях, пренебрегая их весом.Р е ш е н и е . Под усилиями в стерж н ях понимают значения сил, растягивающ их или сжимающих эти стержни..
Т ак как стержни считаются невесомыми,то их реакции (они действуют на ш арнир С) направлены вдоль стержней. Тогдпд л я . определения искомых усилий прилож им силу Т? в точке С и разлож им еепо направлениям А С и СВ. Составляющ ие S j и S t и будут искомыми силами. Изтреугольника CDE находим:S j= P/cos a , S2= P tg а .Т аким образом , стержень В С сжимается силой S j, а стержень А С растягивается силой S 2. С увеличением угла а уси л и я в стерж нях растут и при а , близкомк 90°, могут достигать очень больших размеров.Задача 2.
Ф онарь весом Р = 200 Н (рис. 17) подвешен на двух тросах А С иВ С , образую щ их с горизонтальной прям ой одинаковые углы а = 5 ° . Определить,с какой силой натянуты тросы.Р е ш е н и е . П рилож им силу Я в точке С и разложим ее по направлениямтросов. П араллелограм м сил в данном случае будет ромбом; диагонали его взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам.
И з треугольникааСЬ находим, что / >/ 2 = T 1 s i n a . Т огдаТ х= Г 2= P /2 sin а ъ U 50 Н.И з полученной формулы видно, что с уменьшением угла а натяж ение тросовзначительно увеличивается (наприм ер, при а — I.4 Т = 5 7 3 0 Н). Н атян уть трос тпк,чтобы он стал горизонтальны м, практически н ельзя, так ках при а-*-0 Т-*-оо,f 5. П Р О Е К Ц И Я СИЛ Ы НА ОСЬ И Н А ПЛОСКОСТЬ.А Н А Л И Т И Ч Е С К И Й СПОСОБ ЗА Д А Н И ЯИ С Л О Ж Е Н И Я СИЛАналитический метод решения задач статики основывается напонятии о проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого другого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произвелодению модуля силы на косинус угла между силой и положительнымнаправлением оси. Если этот угол острый,— проекция положительна, если тупой,— отрицательна, а .если сила перпендикулярна оси,—ее проекция на ось равна нулю.
Так, для сил, изображенных на рис.F X= F cos a =ab, Qx= Q cos а х= — Q cos <p=—de, Z5*—0.(4)Проекцией силы T на плоскость Оху называется вектор F * „ =заключенный между проекциями начала и конца силы F наату плоскость (рис. 19). Таким образом, в отличие от проекции силына ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, таккак она характеризуется не только своими числовыми значениями,но и направлением вплоскости Оху. По модулю F xu—F i o s 6, где0 — угол между направлением силы F и ее проекции ¥ ху.а гг ьй Я, «pzВ некоторых случаяхдлянахожденияРис‘ 18проекции силы на осьудобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой этаось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось.
Например, в случае, изображенном на рис. 19,найдем таким способом, чтоF X= F XV cos <p=F cos 0 cos <p, F V= F XV sin <p=F cos 0 sin <p. (5)А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б з а д а н и я сил.Д ляаналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Охуг, по отношению к которой будет определяться наXРис. 19Рис. 20правление силы в пространстве.
В механике мы будем пользоватьсяправой системой координат, т. е. такой системой, в которой кратчайшее совмещение оси Ох с осью Оу происходит, если смотреть сположительного конца оси Ог, против хода часовой стрелки (рис. 20).21Вектор, изображающий силу F, можно построить, если известны модуль F этой силы и углы а , р, у, которые сила образует с координатными осями. Таким образом, величины F, я , р, у и задаютсилу F.
Точка А приложения силы должна быть задана отдельноее координатами х, у, г.Д ля решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями F x, F tt, F z на координатные оси. Зная эти проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатнымиосями, по формулам:F = V P x+ F l + F lcos a = Fx/F, cos p = Fy/F, cos y = F j F .Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости,то каждую из сил можно задать ее проекциями на две оси Ох и Оу.Тогда формулы, определяющие силу по ее проекциям, примут вид:F = V H + Fy'y cos а = Fx/F, cos р = Fg/F.(7)А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б с л о ж е н и я с и л .
Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между ихпроекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на т у же ось. Согласноэтой теореме, если R есть сумма сил Fu F t , . . ., Fn, т. е.
R = 2 F h, тоR x = 2 F kx, R v = 'S,Fkv, R z = ^ F kl.(8)Зная R x, R v и Rz, по формулам (6) находим:R -V R i+ R f+ R l= R x/ R , co sp = R y/ R , c o s y — R z/R.co s aФормулы (8), (9) и позволяют решить задачу о сложении силаналитически.Д ля сил, расположенных в одной плоскости, соответствующиеформулы принимают вид:=R y ~^F)iy>\R » V R\ +cos а - R J R , cos p = R y/R. )Если силы заданы их модулями и углами-с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.Задач* 3.
Н айти сумму трех леж ащ их в одной плоскости сил (рис. 21, а),есл и дано:Р = 17,32 Н , Г = 1 0 Н , Р = 2 4 Н , <р=30°,- * = 6 0 ° .Р е ш е н и е . Вычисляем проекции заданны х сил на координатные оси]FX~ F cos <р=15 Н , Т х — — Т cos *)>=— 5 Н , Р * = 0;F f = — F sin8 ,6 6 Н , Т в = Т sin iJj= 8,66 Н , Р , = - Р = —24 Н .22Тогда по формулам (10)R x = 1 5 - 5 = 10 Н ,R y= - 8 ,6 6 + 8 ,6 6 - 2 4 = - 2 4 Н.Следовательно,R = V 1 0 » + ( - 2 4 ) » = 26 Н ; cos а = 5/13, cos fl = — 12/13.Окончательно R = 2 6 Н , а = 6 7 ° 2 0 \ Р = 1 5 7 °2 0 '.Д л я решения той ж е задачи геометрическим методом надо, вы брав соответствующий масштаб (например, в 1 см — 10 Н ), построить и з сил Р , F и Т силовой многоугольник (рис: 21, б). Е го зам ы каю щ ая ad и определяет в данном масштабе модуль н направление R . Е сли, наприм ер, при измерении получим е й »« 2 , 5 см, то, следовательно, /? ~ 2 5 -Н с ошибкой по отношению к точному решениюоколо 4% .§ в.
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛД ля равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, аследовательно, и главный вектор этих сил (см. § 4) были равны нулю.Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или в аналитической форме.1.
Г е о м е т р и ч е с к о еусловиеравновесия.Т^к как главный вектор R системы сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил(см. рис. 15), тоТ? может обратиться в нуль только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первойсилы, т. е. когда многоугольник замкнется.Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный извтих сил, был замкнутым.2. А н а л и т и ч е с к и е у с л о в и я р а в н о в е с и я .
Аналитически модуль главного вектора системы сил определяется формулойR = V R l + RI + R IТак как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то Rобратится в нуль только тогда, когда одновременно R x —0, /?„= (),R z—0, т. е., как это следует из формул (8), когда действующие натело силы будут удовлетворять равенствам:2 / ^ = 0,= 0, 2 ^ = 0.(11)23Равенства (11) выражают условия равновесия в аналитическойформе: для равновесия пространственной системы сходящихся силнеобходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в однойплоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил.
В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только дваусловия равновесия:2F*X= 0, 2 / ^ = 0.(12)3.Т е о р е м а о т р е х с и л а х . При решении задач статикииногда удобно пользоваться следующей теоремой: если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил,лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.Д ля доказательства теоремы рассмотрим сначала какие-нибудьдве из действующих на тело сил, напримери F t .
Так как по условиям теоремы эти силы лежат в одной плоскости и не параллельны,то их линии действия пересекаются в некоторой точке А (рис. 22).Приложим силы F! и F* в этой точке и заменим их равнодействующейR . Тогда на тело будут действовать две силы: сила R и сила F,,приложенная в какой-то точке В тела. Если тело при этом находится в равновесии, то силы R и F , должны быть направлены по однойпрямой, т. е. вдоль А В . Следовательно, линия действия силы Ftтоже проходит через точку А , что и требовалось доказать.Обратная теорема места не имеет, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
