1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

рис. 55), представляют одной при­ложенной в центре сечения силой с двумя наперед неизвестнымисоставляющими X , У и парой с наперед неизвестным моментом т.Пример расчета дан в задаче 26.Задача 26. Считая длину балки А В равной 1 м (задача 24, рис. 63), найтиусилия в поперечном сечении балки, отстоящем от конца А на расстоянии А Е == 0 , 6 м (точка £ левее опоры С на рис.

63).Р е ш е н и е . Внешними связям и дл я балки являю тся опора С и шарниры Аи В . Реакции этих связей найдены в ходе решения задачи 24. Рассечем балку се­чением аЬ и рассмотрим равновесие ее левой части (рис. 68). Действие отброшеннойчасти, согласно сказанном у выше, заменяем двумя силами ЗГв, Y приложеннымив центре Е сечения, и парой с моментом m g. Со­ставляя дл я действующих на рассматриваемуючасть балки сил Х д , У д , Q, Х Е, Y E и пары с мо­ментом т Е условия равновесия (32), получим:XFk x * * X A + X E = 0 ,2 F k y * * Y A + Y E- Q = О,2 m д (F * )s s m £ + О.бХя— 0,5Q = 0 .П о данным задачи 24 Q = 2 0 0 Н , Х д = 150 Н ,Y А= — 75 Н .

П ользуясь этими значениями, най­дем из составленных уравнений:Х £ = — 150 Н , У£ = 2 7 5 Н , т £ = — 6 5 Н -м .Таким образом, на левую часть балки в сечении аЬ действуют: 1) продольная х и лаХ е , вызывающ ая в данном случае сж атие балки; 2) поперечная сила Y F, стремя­щ аяся сдвинуть примыкающ ую к сечению часть балки вдоль линии ab\ 3) парас моментом т Е, называемым изгибающим моментом, которая в данном случае выаывает растяж ение верхних волокон балки и сжатие нижних.§ 2 1 * . РА С П РЕ Д Е Л Е Н Н Ы Е СИЛ ЫВ инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагруаками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или ино­му закону.

Рассмотрим некоторые простейшие примеры распреде­ленных сил, лежащих в одной плоскости.Плоская система распределенных сил характеризуется ее ин­тенсивностью q, т. е. значением силы, приходящейся на единицудлины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньюто­нах, деленных на метры (Н/м).0)6)1а- Н * ..н */,/1в)агтТ1а7'S5Рис.

691)Силы,равномернораспределенныев д о л ь о т р е з к а п.р я м о й (рис. 69, а). Д ля такой системысил интенсивность q имеет постоянное значение. При статическихрасчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей Q.53По модулю,0.=Щ-(35)Приложена сила Q в середине отрезка А В .2) С и л ы ,распределенныевдольотрезкап р я м о й п о л и н е й н о м у з а к о н у (рис. 69, б). Приме­ром такой нагрузки могут служить силы давления воды на плоти­ну, имеющие наибольшее значение у дна и падающие до нуля у по­верхности воды.

Д ля этих сил интенсивность q является величинойпеременной, растущей от нуля до максимального значения qm.Равнодействующая Q таких сил определяется аналогично равно­действующей сил тяжести, действующих на однородную треуголь­ную пластину ABC. Так как вес однородной пластины пропорциона­лен ее площади, то, по модулю,Q=0,5aqm.(36)Приложена сила Q на расстоянии а/3 от стороны ВС треугольникаA BC (см. § 35, п.

2).'3) С и л ы ,распределенныевдольотрезкап р я м о й п о п р о и з в о л ь н о м у з а к о н у (рис. &9, в).Равнодействующая Q таких сил, по аналогии с силой тяжести, помодулю равна площади фигуры A B Q E , измеренной в соответствую­щем масштабе, и проходит через центр тяжести этой площади (во­прос об определении центров тяжести площадей будет рассмотренв § 33).4) С и л ы , р а в н о м е р н о р а с п р е ­д е л е н н ы е по д у г е о к р у ж н о с т и(рис. 70).

Примером таких сил могут служитьсилы гидростатического давления на боковыестенки цилиндрического сосуда.Пусть радиус дуги равен R, a Z.BOD == / L A O D —a, где O D— ось симметрии, вдолькоторой направим ось Ох. Действующая надугу система сходящихся сил имеет равнодей­ствующую Q, направленную в силу симметриивдоль оси Ох; при этом численно Q = Q XДля определения величины Q выделим надуге элемент, положение которого определяет­ся углом ф, а длина ds=/?dcp.

Действующаяна этот элемент сила численно равна d Q ==(/ds=^/?d<p, а проекция этой силы на ось Ох будет d Q * ^= dQ -cos ф —qR cos q> -dtp. ТогдаaQx =a^ dQx = qR J cos<p-d<p = 2<7/?sina.- a-aНо из рис. 70 видно, что R sin a —AB/ 2. Следовательно, так какQx=Q, тоQ=qh,(37)59где h —А В — длина хорды, стяги­вающей дугу Х В \ д — интенсив­ность.Задача 27.

Н а консольную балку А В ,размеры которой указаны на чертеже(рис. 71), действует равномерно распреде­ленная н агрузк а интенсивностью qt Н/м.Пренебрегая весом балки и считая, чтосилы давления на заделанный конец ра­спределены по линейному закойу, опреде­лить значения наибольших интенсивно­стей qm и q'm этих сил, если Ь— па.Р е ш е н и е . Заменяем распределенныесилы их равнодействующими ~§, R п R ’,где согласно формулам (35) и (36)Q = qeb, R = Q,5qma, R '= 0 ,6 q ^ a ,я составляем условия равновесия (33) для действующих на балку параллельныхсил:™ <} + RR ’ = 0, 2 т с (F„) — Д а /3 — Q (6/2 + а/3) = 0.П одставляя сюда вместо Q, R и R ' их значения и реш ая полученные уравнения,найдем окончательноЯя = ( З л * + 2п) qt , q'm = (3я * - f 4л) Я,.Н апример, при п = 2 получим q M— 16 <70, q ’m = 2 0 q t , а при я = 4 qm= 5 6 q t , а9 т — 64 90З адача 28.

Цилиндрический баллон, высота которого равна Я , а внутреннийдиаметр d , наполнен газом под давлением p H /м*. Толщ ина цилиндрических сте­н ок баллона а. Определить испытываемые этими стенками растягивающие напря­ж ени я в направлениях: 1) продоль­ном и 2) поперечном (напряж ение , |^ | я<Qравн о отношению растягиваю щ ейсилы к площади поперечного сече­н и я), считая a/d малым.Р е ш е н и е .

1) Рассечем ци­линдр плоскостью, перпендикуляр­ной его оси, на две части и рассмот?им равновесие одной из них (рис.2, а). Н а нее в направлении осицилиндра действуют: сила давленияна дно F = (псР/4) р и распределен­ные по площади сечения силы (дей­ствие отброшенной половины), р ав ­Рис.нодействующую которых обозначимП ри равновесии Q = F = w P p l4 .Считая приближ енно площ адь поперечного сечения равной n da, получим дл я рас­тягиваю щ его н апряж ен ия 0 ! значениеCTj= Q !nda= (d/4a)p.2) Рассечем теперь цилиндрическую- поверхность плоскостью, проходящейчерез ось цилиндра, на две другие половины и рассмотрим равновесие одной изни х, считая, что все силы приложены к ней в плоскости среднего сечения(рис.

72, <5). Н а эту половину цилиндра действуют: а) равномерно распределенные€0по дуге полуокружности силы давления с интенсивностью q = p H \ согласно форму­ле (37) равнодействующая этих сил R = q d = p H d \ б) распределенные по сечениямцилиндра силы (действие отброшенной половины), равнодействующие которыхобозначим S i и S ,, причем ввиду симметрии S , = 5 2= S .Из условий равновесия S t -{-S2= R , откуда S = p H d l2. Так как площадь сече­ния, по которому распределена сила S , равна аН (площадью сечения дна цилинд­ра пренебрегаем), то отсюда для растягивающего напряжения а а находимot = S la H = (d /2 a ) р.Как видим, растягивающее напряжение в поперечном направлении вдвое больше,чем в продольном.$ 22*.

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМПример решения задач на равновесие системы тел (см. § 18) даетрасчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямо­линейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если всестержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской.Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешниенагрузки к ферме прикладываются только в узлах. П ри расчетефермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешниминагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по уз­лам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать двесилы, приложенные к его концам, которые при равновесии могутбыть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можносчитать, что стержни фермы работают только на растяжение илина сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских фермбез лишних стержней, образованных из треугольников.

В такихфермах число стержней k и число узлов п связаны соотношениемk= 2 n —3.(38)В самом деле, в жестком треугольнике, образованном из трех стерж­ней, будет три узла (см., например, ниже на рис. 74 треугольникABD, образованный стержнями 1, 2, 3). Присоединение каждогоследующего узла требует два стержня (например, на рис. 74 узелС присоединен стержнями 4, 5, узел Е — стержнями 6, 7, и т. д.);следовательно, для всех остальных (п —3) узлов потребуется 2 (п —3)стержней. В результате число стержней в ферме k = 3 + 2 (n —3) == 2 п —3.

При меньшем числе стержней ферма не будет жесткой, апри большем числе она будет статически неопределимой.Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и уси­лий в ее стержнях.Опорные реакции можно найти обычными методами статики(см. § 17), рассматривая ферму в целом к ак твердое тело. П ерей­дем к определению усилий в стержнях.М е т о д в ы р е з а н и я у з л о в . Этим методом удобно поль­зоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Онсводится к последовательному рассмотрению условий равновесия61сил, сходящихся в каждом из узлов.

Ход расчетов поясним на ков*кретном примере.Рассмотрим изображенную на рис. 73, а ферму, образованную нз одинаковыхравнобедренных прямоугольных треугольников; действующие на ферму силы пагенно равны:В этой ферме число узлов п = 6 ,а число стержней к— 9. Следователь­но, соотношение (38) выполняется иферма является жесткой без лиш­них стержней.Составляя уравнения равнове­сия (29) для фермы в целом, най­дем, что реакции опор направлены,как показано на рисунке, и числен*но равны:Хл = З Р = 6 0 к Н ,Y A = iN = 3F /2= 30 кН.Переходим к определению усилийв стержнях. Пронумеруем узлы фер­мы римскими цифрами, а стержни—арабскими. Искомые усилия обоз­начим S i (в стержне I), S 2 (в стерж­Рис.

Характеристики

Список файлов книги