1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Д ля равнопеременного движения (в изображенномна рис. 127, б случае — ускоренного) график движения изобра­жается ветвью параболы, график скорости — прямой, направлен­ной под углом к оси абсцисс, а график касательного ускорения —прямой, параллельной оси абсциис (ах= const). Наконец, для гар­монических колебаний (рис. 127, в) соответствующие графики изоб­ражаются косинусоидами или синусоидами.Г рафик движения не следует смешивать с траекторией, котораяво всех рассмотренных случаях должна быть задана дополнительно.Графики нормального и полного ускорений на рис. 127 не пока­заны, так как ап и а кроме закона движения зависят еще от р, т.

е.от вида траектории, и при одном и том же законе s—f(t) будут дляразных траекторий разными.д -1 8 7 0113§46. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧК ак уже указывалось, для решения задач кинематики надо знатьзакон движения точки. Если движение задано естественным спосо­бом (дана траектория и закон движения вдоль траектории), то всехарактеристики движения (скорость, касательное, нормальное иполное ускорение) определяются по формулам, полученным в§ 42—44.

Этими формулами можно, конечно, пользоваться и когдадвижение задано другим способом.Покажем, как можно найти касательное и нормальное ускорения точки, когдадвижение задано координатным способом, например, уравнениями (4). Для этогопо формулам (12) — (15) находим н и а. Беря производную по времени от найден­ной скорости v, можно определить ax=dv!dt.

Но обычно это проще делать иначе.Возьмем равенство i>*=t>J+t>J и продифференцируем обе его части по t\ получим2 w = 2 v j.’x + 2 vyvy . Отсюда, учитывая равенства (14') и то, что v = a x, находимокончательнод 0> А + У ?)тр0)vТеперь, зная а и axi определяем ап из равенства а’= а ? + вЦ. Одновременно мож­но найти радиус кривизны траектории р из формулы а„=«^/р. Пример таких рас­четов дан в задаче 53.Задача 51.

При небольших углах отклонения груз маятника (рис. 128) дви­жется по окружности радиуса / по закону s = 4 sin kt (начало отсчета в точке О,Л и * — постоянные величины). Найти скорость,касательное и нормальное ускорения груза и теположения, в которых эти величины обращаютсяв нуль.Р е ш е н и е . Пользуясь соответствующимиформулами, находим:А ксо» М; ot = о.= —<4**slnW;а„ = v*/l = (А*к*/1) cos* kt.Из закона движения следует, что груз со­вершает вдоль траектории гармонические коле­бания с дуговой амплитудой А .

В крайних по­ложениях (в точках В, и В,) sin k t= ± 1, а сле­довательно, cos k t = 0. Поэтому в тбчках в , и Btскорость п нормальное ускорение обращаются в нуль; касательное же ускорениеимеет здесь наибольшее по модулю значение ат т м ’= /**1Когда груз приходит в начало отсчета О, то s = 0 и, следовательно, sin JW=0,a cos * / = 1. В этом положении ах— 0, a v и ап имеют максимальные значения:Pibi*=^A!, а„ m»*=, i4***//.Из данного примера видно, что при криволинейном неравномерном движениив отдельных точках траектории ат или а„ могут обращаться в нули. При этом вт= 0в тех точках, где do/dt^O , т.

е. там, например, где о имеет максимум или минимум,а а п= 0 в тех точках, где о = 0 (как в нашем случае) или где р = о о (точка перегибатраектории).Звдач» 52. П е р е х о д о т к о о р д и н а т н о г о с п о с о б а з а д а ­н и я д в и ж е н и я к е с т е с т в е н н о м у . Движение точки М задано в де­картовых координатах уравнениями:x =mR cos (е<*/2),y=*R sin (е/*/2),(а)где R я е — постоянные положительные величины, имеющие размерности: R —длины, « — углового ускорения (см, § 49),114Перейти к естественному способу задания движения, т.

е. определить тра­екторию и закон движения точки вдоль траекторйи в виде s = /( / ) . Найти такж ескорость и ускорение точки.Р е ш е н и е . Возведя каждое из уравнений (а) почленно в квадрат и затемсложив их, получимСледовательно, траекторией точки является ок­ружность радиуса R с центром в начале .координат. Из уравнений (а) видно,что при t= 0 x = R , у — О, т. е.

точка М находится на оси Ох. Примем это положениеА<0 за начало отсчета О' расстояния s; тогда при < = 0 s = 0 . Когда < >0 у начинаетвозрастать, а х — убывать, т. е. точка начинает двигаться по направлению к осиОу; примем это направление за положительное направление отсчета расстояния s.Для определения зависимости s = f( t) найдем выражение ds. Как известно,ds, =dx*-(-dy*, a d * = x ’d /, i y —ydt. Тогда ds — V х*-\-у* At,<=0 4=0,tа ■= ^и посколькупри______+ у* d/-(С)оИз уравнений (я) находим x — —R e t sin (е/*/2), у —R e t cosи х*+У*=^=P,eг/, .

Подставляя это выражение в равенство (б) и вынося постоянный множи­тель за знак интеграла, получимtt = Re J t dt или s = R e i t /2 .(в)оТаким образом, точка движется по окружности радиуса R по закону s= R el*/2.Скорость точкиo— s= R U(г)■ растет пропорционально времени. Далее находима х = » = /? е , ап = о*//? = /?е*Л00Так как e T= co n st и знаки v и а%совпадают (и > 0 и а%> 0), то движение точкиявляется равноускоренным (см.

§ 44, п. 4).Наконец, по формулам (22) находима = R t V 1+ е*/\ tg ц = 1/е Л(е)Как видим, при < = 0 а = а х= Re (а„= 0) и ц = л /2 . Затем со временем величина арастет, а угол р между вектором а и радиусом окружнЛти убывает, стремяськ нулю.Задача 53. Точка, получив направленную горизонтально скорость, движет­ся по закону, определяемому уравнениями:x = v j , y= gi*/2,где Vq и g г— некоторые постоянные.Найти траекторию, скорость и ускорение точки, а такж е ее касательное и нор­мальное ускорения и радиус кривизны траектории в любом положении, выразивих через скорость в этом положении.Р е ш е н и е . Определяя из первого уравнения t и подставляя вО второе,ПолучимТраектория точки — парабола (рис.

129).Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем)откудаox = i = t ’o, vu = y = g tt_______ffi)v = V v l+ i'P .<«)Таким образом, в начальный момент времени (/= 0 ) скорость точки о = с „ а затемс течением времени скорость непрерывно возрастает.Наедем ускорение точки. По соответствующим формулам имеемзах = х = 0,Следовательно, ускорение точкиау = У=8•a=g.О»)(г)В данном случае точка движется с постоянным по модулю я направлению ус*корением, параллельным ося Оу (это ускорение силы тяжести).

Обращаем внима­ние на то, что хотя здесь а = const, движение точки не является равнопеременным,так как условием равнопеременного движения является не a= co n st, a aT= co n st.В этом же движении, как мы сейчас увидим, ах не посто­янно.Д ля определения ат воспользуемся формулой (30). Под.ставляя в нее значения соответствующих величин из ра­венств (а) и (в), получимax= g 4 /v .Но из равенства (б) о*=«£+£*<* я , следовательно*<•=(!/*) Ко*—оJПодставляя это значение t, выразим ах через скорость яax= g V l —i&lvK(д)Отсюда следует, что в начальный момент времени, когда v = v t , et = 0. Затем,с увеличением v значение ах растет и при v-*-oo ax-*-g; следовательно, в пределевеличина касательного ускорения стремится к полному ускорению g.Д ля нахождения ап обратимся к зависимости a * = a j-|-Оп.

ОтсюдавИ> =в* — flj = g* — g* (1 — vS/o*) = g'•oj/o*fl„ = oeg/o.(«)Таким образом, в начальный момент времени (о = щ ) а „ = ^ , а затем с увеличе­нием v значение а„ убывает, стремясь в пределе к нулю.Д ля нахождения радиуса кривизны траектории воспользуемся формулойвв=в*/р, откудар —o*/an=t)*/o0g.В начальный момент времени радиус кривизны имеет наименьшее значение РпИп»= 0#lg, а затем с увеличением v радиус кривизны растет и, следовательно, кривизнатраектории уменьшается.

При р -ю о р-*-оо, а кривизна стремится к нулю,f 47*. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИВ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХКогда точка движется все время в одной и той же плоскости, ееположение можно определять полярными координатами г и ф(рис. 130). При движении точки эти координаты с течением времениизменяются. Следовательно, закон движения точки в полярныхкоординатах будет задаваться уравнениями:г= Ш .118Ф =Ш -(31)Скорость точки численно равна ds/d/, т.

е. отношению элемен­тарного перемещения ds к промежутку времени df. В данном случаеперемещение ds геометрически слагается из радиального перемеще­ния, численно равного dr, и поперечного перемещения, перпендику­лярного радиусу ОМ и численно равного „г *dtp. Следовательно, сама скорость v будетгеометрически слагаться из радиальноййкорости vr и поперечной скорости vv,численно равныхvr = T t ^ r ' Vi = r i $ - ==rv-<32)Так как vr и vv взаимно перпендикувярны, то по Модулюv==ж-+ г*<р*.0х(33)Формулы (32) и (33) определяют скорость точки в полярных ко­ординатах при плоском движении.Равенство (33) можно еще получить, выразив через т и <р декартовы координа­ты точки в виде (рис.

130):х — т cos ф, y = r sin ф.Тогда х = г сое q>— r<psin ф, y = r sin ф + л р cos ф и по формуле (13)0«=|/" Х* + у * = V Г*+Г*ф*.Таким же путем, вычислив х и у; можно по формуле (15) найти выражение дляускорения точки в полярных координатаха = V (г— гф*)* + (гф + 2г ф)*.(34)При этом величина, стоящая под знаком радикала в первых скобках, равна а „а во вторых скобках равна ОщГлава X.ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖ ЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛАf 48.

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕВ кинематике, как и в статике, будем рассматривать все твердыетела как абсолютно твердые. Задачи кинематики твердого тела рас­падаются на две части:1) задание движения и определение кинематических характе­ристик движения тела в целом; 2) определение кинематическиххарактеристик движения отдельных точек тела.Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.Поступательным называется такое движение твердого тела,117при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается,оставаясь параллельной своему начальному направлению.Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней­ным.

При поступательном движении тела траектории его точек мо­гут бьгть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дорогидвижется поступательно. Прй этом траектории его точек будут пря­мыми линиями.2. Спарник А В (рис. 131) при вращении кривошипов 0 ХА -и 0 , 5(0 ,Л = 0 ,А ) такж е движется поступательно (любая проведенная внем прямая остается параллельной ее начальному направлению).Точки спарника движутся при этом по окружностям.Свойства поступательного движения определяются следующейтеоремой: при поступательном двиясении все точки тела описываютодинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют вкаждый момент времени одинаковые по модулю и направлению ско­рости и ускорения.Д л я доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее по­ступательное движение относительно системы отсчета Охуг.

Характеристики

Список файлов книги