1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Следовательно, когда Ю>0, скорость направлена в сторону положительногоотсчета расстояния s, а когда v< 0, — в противоположную сторону.Таким образом, величина v одновременно определяет и модуль скорости, и сторону, куда она направлена.f 43. КАСАТЕЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИВ § 39 было установлено, что ускорение а точки лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости Мхп. Следовательно, проекция вектора а на бинормаль Mb равна нулю {аь—0).
Найдем проекции а на две другие оси. Проектируя^)бе части равенства (10) на осиМ х и М п и обозначая символами (dv)%и (dv)n проекции вектора dvна ати оси, получим:ax = (dv)x/dt, ап = (do)„/d/.(18)Вектор do представляет собой разность между скоростями в двухсоседних точках М и М ' (рис. 123, а), т. е. Av=v'— v. Отложимвекторы v = M A и v'==MB от общего начала (рис. 123, б); тогда dt>=*ммРис. 123*=АВ, а фигуру ACBD при бесконечно малом угле dq> можно рассматривать как прямоугольник.
Отсюда (dv)x—A C = D B —M B —— M A —v' — v=dv, где Av — элементарное приращение числовогозначения скорости. Далее, поскольку предел отношения дуги кхорде равен единице, можно AD рассматривать как элементарнуюдугу радиуса МА, размер которой определяется произведениемрадиуса на центральный угол. Тогда (Av)n—A D = M A *d<p=0d<p.П одставляя найденные значения (du)t и (di>)„ в равенства (18),получим:Ох = du/d/, a a~vd ff/ dt .(19)108Угол между касательными к кривой в двух ее точках называетсяуглом смежности-, тогда d<p — элементарный угол смежности.
Н апомним, что отношение dq> к ds = М М', определяет кривизнукривой в точке М, а кривизна k является величиной, обратнойрадиусу кривизны р в этой точке, т. е.d<p/ds=ft=l/p.(20)Введем эту величину во второе из равенств (19) и преобразуемего, учтя еще равенство (17), к видуdq> ds1V= —.:u -r--n= u ---ds atpPВ результате окончательно получим:dvd*sv*Л— 37 — d/ i ' а п — Т ' а ь — 0 *(21)Таким образом, мы доказали, что проекция ускорения точки накасательную равна первой производной от числового значения скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s по времени, а проекция ускорения на главную нормальравна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траекториив данной точке кривой', проекция ускорения на бинормаль равнанулю.
Это одна из важных теорем кинематики. Величины а* иап называют касательным и нормальным ускорениями точки.При движении точки М в одной плоскости касательная М х поворачиваетсявокруг бинормали Mb с угловой скоростью w=dq>/d/. Тогда второе из равенств(19) дает еще одну, часто используемую в инженерной практике формулу длявычисления ан:аа= wo.(21 ')Из нее следует, что нормальное ускорение равно произведению скорости точки наугловую скорость поворота касательной к траектории.Отложим вдоль касательной М х и главной нормали М п векторыа, и ап, т.
е. касательную и нормальную составляющие ускорения(рис. 124). При этом составляющая ап будет всегда направлена в. сторонувогнутости кривой, так каквсегда ап> 0, а составляющая а , может быть направлена или в положительном,или в отрицательном направлении оси Мх в зависимости от знака проекцииOf (см. рис.
124, а, б).Вектор ускорения точки а изображается диагональю параллелограмма построенного на составляющих ах и ап. Т ак как этисоставляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора а109и угол у его отклонения от нормали Мп определятся формулами}(22)где — л / 2 ^ ц ^ л / 2 ; при ц > 0 вектор а отклонен от нормали Мпв сторону оси Мт (рис. 124, а), а прив противоположнуюсторону (рис. 124, б).Таким образом, если движение точки задано естественным способом, то, зная траекторию (а следовательно, и ее радиус кривизныр в любой точке) и закон движения, т. е. зависимость s—f(t), можнопо формулам (17) и (21), (22) определить модуль и направлениевекторов скорости и ускорения точки в любой момент времени.S 44.
НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИП ользуясь полученными результатами, рассмотрим некоторыечастные случаи движения точки.1. П р я м о л и н е й н о е д в и ж е н и е . Если траекториейточки является прямая лнния, то р = о о . Тогда а„ = » * /р = 0 и всеускорение точки равно одному только касательному ускорению:a — ax = dv/dt.(23)Т ак как в данном случае скорость изменяется только численно,то отсюда заключаем, что касательное ускорение характеризуетизменение числового значения скорости.2.
Р а в н о м е р н о е к р и в о л и н е й н о е д в и ж е н и е .Равномерным называется такое криволинейное движение точки, вкотором числовое значение скорости все время остается постоянным: и = const. Тогда a T=dt»/cU=Q и все ускорение точки равноодному только нормальному ускорению:a = an—v4p.(24)Вектор ускорения а направлен при этом все время по нормали ктраектории точки.Т ак как в данном случае ускорение появляется только за счетизменения направления скорости, то отсюда заключаем, что нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.Найдем закон равномерного криволинейного движения.
Из формулы (17) имеем ds=yd/. Пусть в начальный момент времени (/= 0 )точка находится от начала отсчета на расстоянии So. Тогда, беря отлевой и правой частей равенства определенный интегралы в соответствующих пределах, получимS/5 d s = $ t > d / или s — se — vt,*.оПОтак как w=const. Окончательно находим закон равномерного криволинейного движения точки в видеs= st+ vt.(25)Если в равенстве (25) положить $>=0, то s даст путь, пройденныйточкой за время t. Следовательно,, при равномерном движениипуть, пройденный точкой, растет пропорционально времени,аскорости точки равна отношению пути ко времени:s=vt, v —sU.(25')3. Р а в н о м е р н о е п р я м о л и н е й н о е д в и ж е н и е .В этом случае ап—ах= 0, а значит, и а = 0 .
Заметим, что единственным движением, в котором ускорение точки все время равно нулю ,является равномерное прямолинейное движение.4. Р а в н о п е р е м е н н о екриволинейноедвиж е н и е . Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается всевремя постоянным: а т= const. Найдем закон этого движения, считая,что при t=Q s=s», a v= ve, где vt — начальная скорость точки.
Согласно первой из формул (21) dv=axdt. Т ак как a t = co n st, то, беряот обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующихпределах, получимv—vt + a xt.(26)Формулу (26) представим в видеds/dt—Vf+a^tили d s= i\,d /4 -a T/d/.Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точкиs = s e-fv 0/ + a x/*/2.(27)При этом скорость точки определяется формулой (26).Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает,—замедленным.
Так как изменение модуля скорости характеризуетсяа)ал6)/\L A TмРис. 125/vм"IIо„ I*■**м»—м0Т **■Рис. 126касательным ускорением, то движение будет ускоренным, если величины v и ах имеют одинаковые знаки (угол между векторами vи а острый, рис. 125, а), и замедленным, если разные (угол междуо и а тупой, рис. 125, б)В частности, при равноперемет ном движении, если в равенстве111(26) о и Of имеют одинаковые знаки, движение будет равноускоренным, а если разные знаки,— равнозамедленным.Формулы (25) — (27) определяют также законы равномерногоили равнопеременного прямолинейного движения точки, еслисчитать s= x. При этом в равенствах (26) и (27) а т= а , где а — числовое значение ускорения данной точки [см.
формулу (23)].5.Г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я . Рассмотрйм прямолинейное движение точки, при котором ее расстояние х от началакоординат О изменяется со временем по законух = А cos kt,(28)где А и k — постоянные величины.Точка М (рис. 126) совершает при этом движении колебаниямежду положениями Л1„ (+ /4 ) и М у (— А).
Колебания, происходящиепо закону (28), играют большую роль в технике. Они называютсяпростыми гармоническими колебаниями. Величина А, равная наибольшему отклонению точки от центра колебаний О, называетсяамплитудой колебаний.Легко видеть, что, начиная движение в момент t= 0 из положенияM t , точка вновь придет в это положение в момент времени tu длякоторого cos ktt= l , т.
е. k ti= 2л.Промежуток времени T = t l =2n/k, в течение которого точкасовершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.Веря производные от х по t, найдем значения скорости и ускорения точки:v= vx= — Aksinkt, а —ах= — Ak*coskt.(29)Следовательно, в этом движении и скорость, и ускорение точкиизменяются с течением времени по гармоническому закону. Познакам у и а легко проверить, что когда точка движется к центруколебаний, ее движение является ускоренным, а когда от центраколебаний,— замедленным.Аналогичные колебания происходят и при законе x=Asmkt,только движение в этом случае начинается из центра О.Гармонические колебания по закону s—Acoskt (или в= Л sinW)точка может совершать, двигаясь вдоль любой кривой (см., например, в § 46 задачу 51). Все сказанное о характере движения приэтом сохранится с той лишь разницей, что последняя из формул(29) будет определять касательное ускорение точки; кроме него точкабудет еще иметь нормальное ускорение an=v*/p,§ 45.
ГРАФИКИ ДВИЖ ЕНИЯ, СКОРОСТИИ УСКОРЕНИЯ т о ч к иЕсли в соответствующих масштабах откладывать вдоль оси абсцисс время t, а вдоль оси ординат — расстояние s, то построенная вэтих осях кривая s=f(f) будет изображать график расстояний,или график двиясения точки. По этому графику наглядно видно, какизменяется положение точки (ее координата s) с течением времени.112Аналогично, в соответствующих масштабах могут быть построены кривые, дающие зависимость v(t) — график скорости и ax (t),aH(t), a(t) — графики касательного, нормального и полного ускорений.На рис.
127, а, б, в сверху показаны графики движений, определяемых соответственно уравнениями (25), (27) и (28). Н иж е натех же рисунках изображены для этих движений графики скоростейи графики касательных ускорений.а)6)6)График равномерного движения изображается, как мы видим,прямой линией, направленной под углом к оси абсцисс, график скорости в этом случае — прямой, параллельной оси абсцисс (v= const),а график касательного ускорения — прямой, совпадающей с осьюабсцисс (ат= 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
