1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда К—г sin а и по формуле (44)|i>| = |(o|ft = |© |r s i n aили|и | = |о> хг|Таким образом, модуль векторного произведения сох г равенмодулю скорости точки М . Направления' векторов ш Х г и v тожесовпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно,v = a>xr,124(48)г. е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этойточки. Формулу (48) называют формулой Эйлера.Беря от обеих частей равенства (48) производные по времени,получимилиe = (ex 7 ) + («>Xt5).(49)Формула (49) определяет вектор ускорения любой точки вращающегося тела.Вектор е Х г направлен,_ как и вектор соХг, т.
е. по касательнойк траектории точки М , а |еХ г \—гг sin a = e h . Вектор же a>Xi> направлен вдоль МС, т. е. по нормали к траектории точки М , а |<оХXt»|=o>t> sin 90°=coVi, так как v —mh. Учитывая все эти результаты,а также формулы (45), заключаем, что е Х г = а т и o> X v= an.Задача 54. Вал, делающий л= 9 0 об/мин, после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и останавливается через tt = 40 с. Определить,:колько оборотов сделал вал за это время.Р е ш е и н е. Так как вал вращается равнозамедленно, то для него, считаяЛ = 0 , будет<р=ш#/+е/*/2 , <о=й)0+ е / .(а)Начальной угловой скоростью при замедленном вращении является та, Koropую вал имел до, выключения двигателя.
Следовательно,ц ,= я л /3 0 .В момент остановки при < =/, угловая скорость вала <о1= 0 . Подставляя этааначения во второе из уравнения (а), получаем:0= nn/30+ et1 и e = —nnl30i1.Если обозначить число сделанных валом за время tt оборотов через N (неэ«ешквать с п; я — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет раки q>,=2nAf. Подставляя найденные значения е и qx в первое из уравнений (а),юлучим2яАг=(пл/30)<1-^-(ял/60)<1=(лл/60)/1,>ткудаN = n tj/120=30 об.Задача 88 .
Маховик радиусом У?= 0 ,6 м вращается равномерно, делая л=»=90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.Р е ш е н и е . Скорость точки обода o = R w , где угловая скорость ш должна5ыть выражена в радианах в секунду. Тогда <0=яп/30=3я и о = /? * З я « 5 ,7 м/с.Далее, так как <о= const, то е = 0 , и, следовательно,в = в я=7?ш, = /?* 9 я, «»53,3 м/с1.Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения.ЗадачЬ 56. Полагая, что при разгоне маховик вращается по закону<p=ee + C i/-fc » e -« ,(а)шределнть значения постоянных коэффициентов с0, ct , с, и Л из условий, что при'= 0 должно быть $ 0 = 0 и <t>o= 0 и что предельная угловая скорость, до которой№разгоняется маховик юпр= 5 0 с- 1 , а его угловое ускорение при разгоне не должнопревышать значения &,= 10 с-1 .
Найти также, какое ускорение будет при этом уточек обода маховика в момент времени <х= I с, если радиус маховика /7= 0,4 м.Р е ш е н и е . Из уравнения (а) видно, что при t—0 q>=0, если < y fc ,= 0 , т. е.с0= —с*.Далее из уравнения (а) находим, что a}=<f=c1—kctt~ * i. Следовательно, при( = 0 (о=0, если et—kct = 0, т. е. ct =ltct .При этих значениях cQ и сг уравнение (а) примет вид<р=с,(б)Отсюда находимсо = Ф = с,* (1 —е- **), e = c o = c ffe*e“ *<.(в)Первое из равенств (в) показывает, что ш со временем растет и при <-*■оостремится к предельному значению с,Л; следовательно, шпр= с 1А. Из второго жеравенства видно, что е со временем убывает, стремясь к нулю, а наибольшее значениеимеет при <= 0 ; следовательно,ea=cJi*.Но по условиям задачи ш„р=50 c_1*hе„= 10 с~*.
Тогда должно быть c jt= 50, аc j? = 10, откуда *= 0 ,2 и с,=250. При этихзначениях £ и с, равенство, (б) дает окончательно следующий закон вращения маховика:<р= 250 (0,2/ - 1-е-о.М — 1).(Г)Тогда, что видно и из равенств (в), будет *ел= 50(1 —е - 0'*'), е = 10е-«-*‘.(д)Для момента времени tt= 1 с, учитывая, что е“ #>*»0,82, получим ® i«9,0 с-1 ,е1» 8 ,2 с- *.
Следовательно, в этот момент времени ат= А е 1» 3 ;3 м/с1, ая=/?со, ж*»32,4 м/с* и а=ь|^о^+а^»!32,6 м/с*.Задача 57. Груз В (рис. 140) приводит во вращение вал радиусом г и сидящую !■' одной оси с валом шестерню 1 радиусом ^ . Движение груза начинаетсяиз состояния покоя и происходит с постоянным ускорением а. Определить, по какому закону будет при этом вращаться находящаяся в зацеплении с шестерней /шестерня 2 радиусом rt .Р е ш е н и е . Так как груз В начинает двигаться без начальной скорости,то его скорость в любой момент времени / равна at (ад=а/).
Эту скорость будутиметь и точки обода вала. Но, с другой стороны, скорости этих точек равныгде (Oj— общая для вала и шестерни / угловая скорость. Следовательно,щ г=а1, <ol =at/r.Теперь найдем сог. Так как скорость точки сцепления С должна быть однойи той же для обеих шестерен, то 1;(;= ш 1г1= ш 1г1, откуда0) , = (г, /гj) о»!= (г, а!г^г)1.Итак, угловая скорость шестерни 2 растет пропорционально времени.
Учитывая, что coJ=d<f),/d/, где ср, — угол поворота шестерни 2, получимйщ=.{гга!г^)Ш.Отсюда, беря от обеих частей интегралы и считая, что при / = 0 угол <р1= 0 (найдем окончательно закон равноускоренного вращения шестерни 2 в видеФ,=(г1а/2г>/-)Л*Значение ш может изменяться по закону (д), когда на маховик действуюпостоянный вращающий момент и момент сил сопротивления, пропорциональныйш (задача 150 в § 128).126Глава X!ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГОТЕЛА9 52.
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ(ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ).РАЗЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕПлоскопараллельным (или плоским) называется такое движениетвердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельнонекоторой фиксированной плоскости П (рис. 141). Плоское движениесовершают многие части механизмов и машин, например катящеесяколесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипноползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельногодвижения является вращательное движение твердого тела вокругнеподвижной оси.Рис. 141Рис. 142Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Оху, параллельной плоскости П (рис.
141). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой А Ш ', перпендикулярнойсечению 5 , т. е. плоскости П, движутся тождественно.Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этоготела или некоторая плоская фигура 5. Поэтому в дальнейшем вместоплоского движения тела будем рассматривать движение плоскойфигуры S в ее плоскости, т. е.
в плоскости Оху. При этом все результаты, которые будут получены в § 53—59 для точек плоскойфигуры, справедливы, конечно, и для точек сечения S твердого тела,движущегося плоскопараллельно.Положение фигуры 5 в плоскости Оху определяется положениемкакого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 142).В свою очередь положение отрезка А В можно определить, зная координаты хЛ, ул точки А и угол ф, который отрезок АВ образует сосью х. Точку А , выбранную для определения положения фигуры S,будем в дальнейшем называть полюсом.При движении фигуры величины хл , уА и <р будут изменяться.Чтобы знать закон движения, т.
е. положение фигуры в плоскости127Оху в любой момент времени, надо знать зависимости* a = / i ( 0 . У а Ч А * ) , ф =/»<*)•(50)Уравнения (50), определяющие закон происходящего движения,называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости.Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.Первые два из уравнений (50) определяют то движение, котороефигура совершала бы при ф = const; это, очевидно, будет поступательное движение, при,котором все точки фигуры движутся так же, как полюсА . Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы приХл —const и yA=const, т. е. когда полюсА неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А. Отсюда можнозаключить, что в общем случае движениеплоской фигуры в ее плоскости можетрассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при которомвсе точки фигуры движутся так же, какРис.
143полюс А , и из вращательного движениявокруг этого полюса *.Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются • скорость и ускорение поступательногодвижения, равные скорости и ускорению полюса (t»n0CT=uA,a„0CT== а л ), а также угловая скорость со и угловое ускорение е вращательного движения вокруг полюса. Значения этих характеристик влюбой момент времени t можно найти, воспользовавшись уравнениями (50).При изучении движения можно в качестве полюса выбирать любую точку фигуры. Рассмотрим, что получится, если вместо А выбрать в качестве полюса какую-нибудь другую точку С и определять положение фигуры отрезком CD,xобразующим с осью Ох уголф! (рис.
143). Характеристики поступательной части движения приэтом изменятся, так как в общем случае Vc=fcvA и а сф а А (иначе движение фигуры было бы поступательным). Характеристики жевращательной части движения, т. е. (о и е, остаются неизменными.В самом деле, проведя из С прямую CBit параллельную АВ, мывидим, что Ь любой момент времени угол <pi=<p—а , где a= const.Отсюда ф !=ф, ф!=ф или (о1=(о, е,= е.Следовательно, вращательная часть движения от выбора полюсане зависит.*Соответственно плоскопараллельное движение твердого тела- можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вместе с полюсом Аи вращательного вокруг оси, перпендикулярной плоскости П (см.
рис. 141) и проходящей через полюс А .128§53*. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫПерейдем теперь к изучению движения отдельных точек плоскойфигуры, т. е. к отысканию траекторий, скоростей и ускорений этихточек. Начнем с определения траекторий.Рассмотрим точку М плоской фигуры, положение которойопределяется расстоянием Ь = А М от полюса А и углом В А М —а(рис. 144). Если движение задано уравнениями (50), то координатыjc и у точки М в осях Оху будут:х = х А+Ьсо& (ф + а), у = у л + bsin (<р+а),(51)где хл , ул , ф — известные по уравнениям (50) функции времени t.Равенства (51), определяющие закон движения точки М в плоскости Оху, дают одновременно уравнение траектории этой точки впараметрическом виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
