1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Для линейки AD эллипсографа (рис. 151)-направления скоростейточек А и В известны. Восставляя к ним перпендикуляры, найдем мгновенныйцентр скоростей Я линейки (эллипсограф можно представить себе в виде листа фа133неры JI, прикрепленного шарнирно к ползунам А н В, а линейку A D — нарисо­ванной на этом листер точка Р , принадлежащая листу, имеет скорость ир = 0 ).Зная Р , из пропорции va I P A = vr IPB получим v A= v B(PA/PB)=VBtg4>,т. е. тот же результат, что и в задаче 60. Д ля точки М аналогично найдем, чтоvM ~ vb (PMIPB).

Длину Р М можно вычислить, зная А В , A M и угол <р. Направ­ление вектора vM показано на чертеже (ojhJ_PM).Д ля угловой скорости линейки по формулам (57) или (58) находимУдI Vg—Vt I“ = p j - или м = — АВ£ ' '•Легко проверить, что обе формулы дают один и тот же результат.Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенногоцентра скоростей.а)Если плоскопараллельное движение осуществляется путемкачения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого .неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис. 152), имеет в данный моментвремени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю(иР=0), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей.Примером служит качение колеса по рельсу.б) Если скорости точек А и В плоской фигуры_ параллельныдруг другу, причем линия АВ не перпендикулярна vA (рис.

153, а),то мгновенный центр скоростей Лежит в бесконечности и скоростивсех точек параллельны vA. При этом из теоремы о проекцияхскоростей следует, что wAcosa= uBcosP, т. е. vB= v A\ аналогичныйрезультат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный моментвремени равны друг другу и по модулю, я по направлению, т. е.фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей(такое состояние движения тела назьГвают еще мгновенно поступа­тельным). Угловая скорость со тела в этот момент времени, каквидно из формулы (58), равна пулю.в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельныДруг другу и при этом линия А В перпендикулярна vA, то мгновен­ный центр скоростей Р определяется построением, показаннымна рис.

153, б. Справедливость построений следует из пропорции(56). В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения цент134pa P надо кроме направлений знать еще н модули скоростей иАп vB.г)Если известны вектор скорости vB какой-нибудь точки Вфигуры и ее угловая скорость со, то положение мгновенного центраскоростей Р , лежащего на перпендикуляре к vB (см.

рис. 150), можнонайти из равенства (57), которое дает S P = v B/<a.М г н о в е н н ы й ц е н т р в р а щ е н и я и ц е н т р о и д ы . Выше былопоказано, что скорости точек плоской фигуры распределены в каждый моментвремени так, как если бы движение этой фигуры представляло собой вращениевокруг центра Р. По этой причине точку неподвижной плоскости, совпадающую смгновенным центром скоростей, которую мы такж е будем обозначать буквой Р.называет мгновенным центром вращения, а ось Рг, перпендикулярную сечению Sтела (см. рис. 141) и проходящую через точку Р , — мгновенной осью вращениятела, совершающего плоскопараллельное движение.

От неподвижной оси (илицентра) вращения мгновенная ось (или центр) отличаются тем, что они все времяменяют свое положение. В § 52 было установлено, что плоскопараллельное дви­жение можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вме­сте с каким-то фиксированным полюсом и вращательного движения вокруг этогополюса. Полученный результат позволяет дать другую геометрическую картинуплоского движения, а именно: плоскопараллельное движение слагается из сериипоследовательных элементарных Поворотов вокруг непрерывно линяющих свое по­ложение мгновенных осей (или центров) вращения.Например, качение колеса, изображенного ниже на рис. 156, можно пред­ставить себе или как совокупность поступательного движения вместе с полюсом Си вращения вокруг этого полюса, или же как серию элементарных поворотов вок­руг непрерывно изменяющей свое положениеточки касания Р обода с рельсом.При движении плоской фигуры мгно­венный центр Р непрерывно изменяет своеположение как на неподвижной плоскостиОху, так и на плоскости, связанной с дви-Рис.

154Рис. 155жущейся фигурой. Геометрическое место мгновенных центров вращения, т. е.положений точки Р на неподвижной плоскости, называют неподвижной центроидой, а геометрическое место мгновенных центров скоростей, т. е. положений точкиР в плоскости, связанной с фигурой и движущейся вместе с ней,— подвижнойцентроидой (рис. 154). В данный момент времени обе центроиды касаются другдруга в точке Р, являющейся для этого момента мгновенным центром вращения(или скоростей); пересекаться центроиды не могут, так как тогда в данный моментвремени существовало бы больше одного мгновенного центра, что невозможно.В следующий момент времени будут соприкасаться точки Р \ подвижной и Ргнеподвижной центроид, и эта точка будет для следующего момента мгновеннымцентром вращения и т. д.

Отсюда, поскольку положение мгновенного центра' Ризменяется непрерывно и в каждый данный момент времени Ор=0, можно заклю­чить, что при плоскопараллельном движении происходит качение без скольженияподвижной центроиды по неподвижной. Наоборот, если материально осуществитьобе центроиды, то геометрическую картину плоского движения твердого тела мож­но получить, скрепив тело с подвшкиой центроидой я кате эту центроиду безскольжения по неподвижной.135Легко видеть, что для колеса, изображенного на рис. 156, ось Ох являетсянеподвижной цеитроидой, а окружность PEDK — подвижной.

Качением безскольжения подвижной центроиды по неподвижной и осуществляется движениеколеса.Пример. Для линейки АВ эллипсографа (рис. 155) мгновенный центр враще­ния находится в точке Р (см. рис. 151). Так как расстояние РО=АВ—1 в любоймомент времени, то геометрическим местом точек Р в плоскости Оху, т. е. непод­вижной центроидой, будет окружность радиуса I с центром в О. Но одновременно,если линейку А В представить нарисованной на листе фанеры Л, то расстояниеРС=1/2 центра Р от точки С линейки будет тоже все время постоянным. Следова­тельно, геометрическим местом точек Р на листе фанеры Л , т.

е. подвижной цен­троидой, будет окружность радиуса 112 с центром в точке С. При движении эллип­сографа окружность 2 катится без скольжения по окружности 1 н точка их ка­сания в каждый момент времени будет мгновенным центром вращения. Наоборот,если окружности / и 2 осуществить материально (в виде шестерен) и катить однупо другой (неподвижной) без скольжения, то при этом диаметр А В окружности 2воспроизведет движение линейки эллипсографа.§ 57. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧДля определения искомых кинематических характеристик (угло­вой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль инаправление скорости какой-нибудь одной точки и направлениескорости другой точки сечения этого тела (кроме случаев а) и в),рассмотренных в конце § 56). С определения этих характеристик поданным задачи и следует начинать решение.Механизм, движение которого исследуется, надо изображать начертеже в том положении, для которого требуется определить'соот­ветствующие характеристики.

При расчете следует помнить, чтопонятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данноготвердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждоенепоступательно движущееся тело имеет в данный момент временисвой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.Задача 61. Определить скорость точки М обода катящегося колеса (см.задачу 59) с помощью мгновенного центра скоростей.УОРис.

156Рис. 157Р е ш е н и е . Точка касания колеса Р (рис. 156) является мгновенным цен­тром скоростей, посколькуСледовательно, « л -\_РМ. Так как прямой уголPMD опирается на диаметр, то направление вектора скоростилюбой точки136обода проходит через точку D. Составляя пропорцию vj^/PM—vc/PC и замечая,что ЯС =Л, a P M = 2R cos а , находим v m = 2 v c c o s а.Чем точка М дальше от Р, тем ее скорость больше; наибольшую скоростьVtf=2vc имеет верхний конец D вертикального диаметра. Угловая скорость колесасогласно формуле (57) имеет значениеa —vc/PC=vc !RАналогичная картина ряспределения скоростей имеет место при каченииколеса или шестерни по любой цилиндрической поверхности (см.

рис. 152).Задача 62. Определить скорость центра С подвижного блока радиуса г и егоугловую скорость ш (рис. 157), если груз А поднимается со скоростью vA, а груз Вопускается со скоростью vg. Нить при. своем движении по подвижному блоку непроскальзывает, а ее ветви вертикальны.Р е ш е н и е . Так как нить по подвижному блоку не проскальзывает, тоскорости точек а и Ь блока равны по модулю скоростям грузов, т. е.

va= v A иV(,—Vg. Зная скорости точек а и Ь и полагая для определенности, что и д > ил,находим положение мгновенного центра скоростей Р подвижного блока таким жеприемом, как и в случае, показанном на рис. 153, б. Скорость центра С блока изо­бражается вектором vq- Для определения модуля vc и угловой скорости (о под­вижного блока составляем, пользуясь формулой (58), равенства:и - 1'"» + (—[~а)1 | цI t’ft—Мob'ЬСОтсюда» так как ab—2rt bC=rf находим:to = (vB + vA)/2r, vc = (va — vA)/2.При ug>Vj| центр С блока поднимается; если vg< vA, он будет опускаться.

Характеристики

Список файлов книги