1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

с § 56). Пусть vA и направление vB известны.Проведем тогда через точку А плоскость /, перпендикулярнуювектору vA (рис. 177). Как показано выше (см. рис. 176), мгновенноось ОР должна лежать в этой плоскости. Но одновременно осьРРис. 176Рис. 177ОР должна лежать и в плоскости 2, проведенной через точку Вперпендикулярно вектору v„. Следовательно, прямая, по которойпересекутся эти плоскости, и будет мгновенной осью вращения ОР.Теперь, определив расстояние 1г точки А от оси ОР, по формуле(76') найдем угловую скорость w тела в данный момент времени:(о=уЛ/А. После этого значение скорости vM любой точки М теланаходится по формуле (76'), а вектор vM будет направлен перпенди­кулярно плоскости ОМР.В частном случае, когда известно, что скорость какой-то точкитела равна в данный момент времени нулю, прямая, проходящаячерез эту точку и неподвижную точку О тела, будет мгновеннойосью вращения и расчет существенно упростится (см.

задачу 72).А н а л и т и ч е с к и скорость и определяют по ее проекциям на какие-ни­будь координатные оси. Найдем проекции вектора v на оси Охуг, жестко связанныес телом и движущиеся с ним (см. рис. 176); эти оси имеют то преимущество, чтов них координаты х, у, г точки М будут величинами постоянными. Так как гк—х,Гу—У I /•,=*, то по известной формуле векторной алгебры• I кv = ш Х г=х у гОтсюда, разлагая определитель по элементам первой строки и учитывая, чтоv=v^i-\-vyj+V;k и что, следовательно, коэффициенты при i, j, к в этом разложениидолжны равняться ил , vy , иг соответственно, получим(ГТ)151Эти формулы, как и формулу (76), называют формулами Эйлера. Каждуюиз них можно тоже получить из предыдущей круговой перестановкой букв х, у, г(см.

формулы (47) н рис. 90, б В § 28).В частном случае формулы (77), конечно, справедливы и при вра­щении тела вокруг неподвижной оси г. Так как при этом ш*=<оу= 0и о>г—(о, то для такого случаяi v „ = ( o x , vt = 0 .(77')Определим теперь ускорение точки М. Из равенства (76), диф­ференцируя его по времени, найдема = и = (шхГ) + (шх7).Т ак как ш =е, a r —v, то окончательноа = (ё х г) + (<охй).(78)Ускорение at = e X r называют еще вращательным, а ускорениеа ,= ш Х и — осестремительным ускорением точки М.

Вектор а1Направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку Ми вектор е (рис. 178), а по модулю al =ersln$=ehu где ht — расстоя­ние от точки М_ до вектора е. Вектор же а ,, перпендикулярный одно­временно v и т, будет направлен вдоль МС (см. рис. 176), причем помодулю a 1=<Bwsin900=<o,A, так как v=a>h.Заметим, что в отличие от результатов, полученных в § 51, здесьO i = e X r не будет вообще вектором касательного ускорения точки М(по_касательной направлен вектор v = a x F , а направление векторае х г будет вообще другим); следовательйо, и вектор ш хо не будетвектором нормального ускорения точки М.Задача 72.

Найти скорости точек В и С конического катка (бегуна), если ско­рость Vi центра А катка, движущегося по окружности радиуса ОА, известна(рис. 179). Каток при движении катятся без скольжения по неподвижной кониче­ской поверхности К.Р е ш е н и е . Каток движется вокруг неподвижной точки О. Так как егокрчение по поверхности К происходит без скольжения, то скорости точек катка,лежащие в данный момент времени на линии 0В, равны нулю и, следовательно,ОВ является мгновенной осью вращения. Тогда(oAlt где ш — угловая ско152рость катка при его повороте вокруг оси ОВ, а /4 — расстояние точки А от этойоси. Отсюда ш= v A/hvСкорость vc точки С будет равна аЛа, где А.— расстояние точки С от оси ОВ.Так как в данном случае ht = 2hlt то vc = 2vA.

Для точки В, лежащей на мгновен­ной оси вращения, vg = О§ 63. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГОТВЕРДОГО ТЕЛАРассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела,когда оно является свободным и может перемещаться как угодно поотношению к системе отсчета О х (рис. 180). Установим видуравнений, определяющих закон рассматриваемого движения.Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведемчерез нее оси Ax'^yfo, которые при движении тела будут переме­щаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела всистеме отсчетабудет известно, если будем знать положениеполюса А , т.

е. его координаты х1А у 1Л, г ^ , и положение тела поотношению к осям А х^у^, определяемое, как и в случае, рассмот­ренном в§ 60, углами Эйлера ф, г|>, 0 (см. рис. 172; на рис. 180 углыЭйлера не показаны,чтобы не затемнять чертеж). Следовательно,уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найтиего положение по отношению к системе отсчета Ох^у^ в любой мо­мент времени, имеют вид* « л -Ы 0 .ф = /« ( 0 .yiA = f*V).* = /.( 0 .2lA = ft (t)\ )в = / .( / ) •J;Установим теперь геометрическую картину рассматриваемогодвижения. Нетрудно видеть, что первые три из уравнений (79) опре­деляют то движение, которое тело совершало бы при постоянныхуглах ф, if, 0, т.

е. при поступательном движении тела вместе сполюсом А. Последние же три уравнения определяют движение,которое происходило бы при постоянных -значениях координат*ia. У\а , а . т. е. когда точка А неподвижна. Но движение телавокруг неподвижной точки, как установлено в § 60, слагается изэлементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения. Ог153сюда заключаем, что в общем случае движение свободного твердоготела можно рассматривать как слагающееся из поступательногодвижения, при котором все точки тела движутся как произвольновыбранный полюс А со скоростью vA, и из серии элементарных пово­ротов с угловой скоростью со вокруг мгновенных осей вращения,проходящих через полюс А (рис. 181). Такой будет, например, кар­тина движения любого непоступательного перемещающегося в воз­духе тела: брошенного камня, самолета, проделывающего фигурывысшего пилотажа, артиллерийского снаряда и т.

д. Наконец, анало­гичной может быть картина движения и несвободного твердого телапри наличии соответствующих связей (см., например, в § 72 рис .207;в том же параграфе показано, как можно еще иначе представитьгеометрическую картину движения свободного твердого тела).Основными кинематическими характеристиками движения яв­ляются скорость vA и ускорение аА полюса, определяющие скоростьн ускорение поступательной части движения, а также угловаяскорость ш и угловое ускорение е вращения вокруг полюса. Зна­чения этих величин в любой момент времени можно найти по ура­внениям (79).

Заметим, что если за полюс принять другую точкутела, например точку В (см. рис. 180), то значения vB и ав окажутсяотличными т vA и аА (предполагается, что тело движется не посту­пательно). Но если связанные с телом оси, проведенные из точки В(на рис. 180 не показаны), направить так же, как и в точке А , чтоможно сделать, то значения углов <р, гр, 0, а следовательно, ипоследние из уравнений (79) не изменятся. Поэтому и здесь, как и вслучае плоского движения, вращательная часть движения тела, вчастности значения со и ¥, от выбора полюса не зависят.Движение свободного твердого тела может быть в частном случаеплоскопараллельным; при этом векторы со и е будут все времяперпендикулярны плоскости, параллельно которой движется тело._ С к о р о с т и и у с к о р е н и я т о ч е к т е л а . СкоростьvM любой точки М тела в рассматриваемом движении слагается,как и в случае плоскопараллельного движения (см.

§ 54 и рис. 147),из скорости vA полюса А и скорости vMA, которую точка М получаетпри движении вместе с телом вокруг полюса А . При этом, так какдвижение тела вокруг полюса А происходит как движение вокругнеподвижной точки, то значение vMA определяется формулой (76),___где г —A M , т. е.vMa — а х A M.(80)Таким образом,+илиvM^ v A+ ( a x l M ) .(81)Справедливость этого результата доказывается так же, как в § 54.Аналогично для ускорения любой точки М тела найдем (см.§58)а м ~ а А + °МА>154(82)где величина амл, т. е.

ускорение, которое точка М получает придвижении вместе с телом вокруг полюса А, определяется равенством (78), в котором только надо считать r —A M, a v = vma —(o XAMГлава XII IСЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ9 64. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ, ПЕРЕНОСНОЕИ АБСОЛЮТНОЕ ДВИЖЕНИЯДо сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению кодной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при реше­нии задач механики оказывается целесообразным (а иногда и не­обходимым) рассматривать движе­ние точки (или тела) одновременнопо отношению к двум системам от­счета, из которых одна считаетсяосновной или условно неподвиж­ной, а другая определенным образомдвижется по отношению к первой.Движение, совершаемое при этомточкой (или телом), называют со­ставным или сложным.

Например,шар, катящийся по палубе движу­щегося парохода, можно считатьсовершающим по отношению к бе­Рис. 182регу сложное движение, состоящееиз качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета),и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (не­подвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шараразлагается на два более простых и более легко исследуемых.Возможность разложить путем введения дополнительной (подвиж­ной) системы отсчета более сложное движение точки или тела наболее простые широко используется при кинематических расчетахи определяет практическую ценность теории сложного движения,рассматриваемой в этой и следующей главах.

Кроме того, результа­ты этой теории используются в динамике для изучения относитель­ного равновесия и относительного движения тел под действием сил.Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижнойсистеме отсчета Охуг, которая в свою очередь как-то движется отно­сительно другой системы отсчета Оххху хг ь которую называем основ­ной или условно неподвижной (рис. 182). Каждая из этих системотсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не по­казанным.

Введем следующие определения.1.Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж­ной системе отсчета (к осям Охуг), называется относительнымдвиясением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный155с этими осями и перемещающийся вместе с ними).

Траектория АВ,описываемая точкой в относительном движении, называется относи­тельной траекторией. Скорость точки М по отношению к осямОхуг называется относительной скоростью (обозначается v01), аускорение — относительным ускорением (обозначается аот). Изопределения следует, что при вычислении иот и аот можно движениеосей Охуг во внимание не принимать (рассматривать их как непод­вижные).2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охуг (ивсеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отно­шению к неподвижной системе Оххху хгх, является для точки М пере­носным движением.Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охугточки т, с которой в данный мвмент времени совпадает движущаясяточка М , называется переносной скоростью точки М в этот момент(обозначается ипер), а ускорение этой точки т — переносным уско­рением точки М (обозначается апер).

Характеристики

Список файлов книги