1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 37
Текст из файла (страница 37)
перпендикулярно апер. Следовательно,0*6 = ^ Опер + Окор = ШУ to*.** -f- 4и*.Задача 79. Эксцентрик, представляющий собой круглый диск радиуса R ,вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси О, проходящей черезкрай диска (рис. 195). По ободу диска с постоянной относительной скоростью искользит штифт М , начиная свое движение из точки А. Определить абсолютноеускорение штифта в произвольный момент времени t. Направления движений показаны нгг чертеже.Р е ш е н и е .
В момент времени t штифт находится от точки А на расстоянииs= A M = u t. Следовательно, в этот момент времени Z A 0 M = a , гдеa= s!(2R) = (u/2R)t,(а)так как угол о равен половине центрального угла ACM.Считаем движение штифта М по ободу диска относительным движением.Оно происходит по окружности радиуса R. Так как w0T= u = co n st, тоа1т= й —0, <&= «*/#•(б)Направлен вектор ~а„т= аЗг по радиусу МС.Движение диска будет для штифта М переносным движением.
Следовательно,переносное ускорение впер штифта равно ускорению той точки диска, с которойв данный момент совпадает штифт. Эта точка диска движется по окружности радиуса 0 M = 2 R cos а . Так как для диска ш = const, то е = 0 иОпер = ОМ •е = 0, аЦер = ОМ •со*г= 2R<o* cos а.(в)Направлен вектор апер= а 2 т вдоль линии МО.Поскольку движение происходит в одной плоскости, и в данном случае_якор = 2ши.(г)Направление акор получаем, повернув вектор uOT= i7 вокруг точки М на 90ав сторону переносного движения (т. е.
против хода часовой стрелки).Абсолютное ускорение штифта М определяется равенствома л6 = а п + а пер + а к»р*tee(Д)Для определения модуля’а.в проведем оси М ху (см. рис. 195) и спроектируемобе части равенства (д) на эти оси. Получим:ваб * = = Я<>тЧ- а пер^О К О р*Я*бу=0 n e p Sln GC.ТогдаOt(, = V (аот + OneР cos а —акop)1+ а£ер sin* а ,где значения а , аот, а пер, акор определены равенствами (а), (б)* (в), (г).Задача 80.
Тело движется в северном полушарии вдоль меридиана с северана юг поступательно (рис. 196) со скоростью иот= ц . Найти модуль и направлениекорнолисова ускорения тела, когда оно находится на широте X.Р е ш е н и е . Пренебрегая размерами тела,рассматриваем его как точку. Относительнаяскорость и тела рбразует с земной осью угол Я,Следовательно, <jk0p = 2<a к sin X,где ш — угловая скорость Земли.Таким образом, наибольшее кориолисовоускорение тело имеет на полюсе при л=90°. Помере приближения к экватору значение акор убывает и на экваторе при Х =0 обращается в нуль(на экваторе вектор v0T= u параллелен оси вращения Земли).Направление акор находим как направлениевекторного произведения.
Так как акор=2шХи»получаем, что вектор акор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и, о), т. е. перпендикулярно плоскости меридионального сечения, на восток,откуда кратчайшее совмещение вектора ю с вектором и видно против хода часовойстрелки.Вопрос о том, как изменяется движение тел по земной поверхности вследствиеналичия кориолисова ускорения, рассматривается в динамике. Однако из получен-;ной формулы видно, что величина акор обычно мала, так как мала угловая скорость Земли.Задача 81. Прямоугольный треугольник ABC, гипотенуза которого А В == 2 6 = 2 0 см, a Z C B A = a= 60°, вращается вокруг оси Сгх (рис.
197) по закону<р= Ш —2Р. Вдоль гипотенузы А В около ее середины О колеблется точка М позакону 5 = 6 cos (я//3) (ось 0£ направлена вдоль ОА), Найти абсолютное ускорение точки М в момент времени < ,= 2 с.Р е ш е н и е . 1. Считая движение точки М вдоль гипотенузы А В относительным, определяем положение этой точки на гипотенузе в момент времени t Изуравнения движения находим£х= 6 cos (2я/3)= —6/2.Следовательно, точка М находится в момент времени Ц на середине отрезкаОВ. Изображаем это положение на чертеже.2. О п р е д е л е н и е иот. Так как относительное движение является прямолинейным, тоti0T = I = — (яб/3) sin (я</3).В момент времени / j = 2 cv0r i — — лЬ V 3/6, I vozi | = 5я У 3/3 см/с.Знак минус указывает, что вектор иот направлен в момент времени ti от Мк точке В.3, О п р е д е л е н и е ши е . Беря производные, находим:ш = ф = 10 — 4/, (01 = 2 0 “ ®,167где <»!— значение ш в момент времени /t = 2с;Е=(0 =—4 с- ’.Знаки указывают, что с моментавращение направлено против хода часовой стрелки (если смотреть с конца оси Сгх) и является замедленным.4.О п р е д е л е н и е аот.
Так как относительное движение является прямолинейным, то°от = tf0T= — (л*/9) Ь соз (л//3).В момент времени /х= 2 са 0 т 1 = я**/18 = 5я*/9 см/с*.5. О п р е д е л е н и е опер. Движение треугольника будет для точки Мпереносным движением. Следовательно, переносное ускорение апер точки М равно ускорению той точки треугольника, t которой в данный момент времени совпадает точка М.
Эта тонка треугольника движется по окружности радиуса M D = h,причем в момент времени /х= 2 сЛ = (6 / 2) s in a = 5 У 3/2 см.Таким образом, в этот момент временивпер = ел = — 10 V" 3 см/с1, Опер = ш*Л = 10 У 3 см/с*.Вектор aJiep направлен перпендикулярно плоскости ABC в сторону, противоположную направлению вращения треугольника. Вектор аЦер направлен вдольлинии MD к оси вращения Сгх.6 .
О п р е д е л е н и е акор. По модулю в момент времени /х= 2 с°кор = 2 1 со | • I с’от | sin а = 10я см/с*,так как угол между v0T и осью Сгх равен в данном случае а .Проектируя вектор v0T на плоскость, перпендикулярную оси Сг1 (проекциянаправлена вдоль линии MD), и повернув эту проекцию на 90° в сторону переносного вращения, т. е.
против хода часовой стрелки, найдем направление акор (онов данном случае совпадает с направлением "ajep)7. О п р е д е л е н и е а„g. Абсолютное ускорение точки М в момент временив данном случае будета а6 ~ a o ^ -f- ОперОпер -f- О* op-Для нахождения модуля a,g проводим оси Мхуг (рис. 197) и вычисляем проекции всех векторов на эти оси.
Получаем:Оаб jc = ОкорЧ- I д пер | — Юя -f- 10 У 3 « 48,7 см/с*,вшбу = а0Ts l n a —Опер = 5л* У 3/18— 10 У 3 я — 12,6 см/с*,а»6 * = — а от cos a = —5я*/18 « 2,7 см/с*.168После этого находимаВектора(5=| ^ Даб х Ч" а аб у " Ь а аб z W 5 0 ,4 СМ/С*.можно построить по его составляющим вдоль осей Охуг,Глава XI V*СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА$ 68 . СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙЕсли тело движется относительно подвижных осей Охуг (см.рис.
182), а эти оси совершают одновременно переносное движениепо отношению к неподвижным осям OiJC^Zi, то результирующее(абсолютное) движение тела называют сложным (см. §64).Задачей кинематики в этом случае является нахождение зависимостей между характеристиками относительного, переносного иабсолютного движений. Основными кинематическими характеристиками движения тела, как мы знаем, являются его поступательные иугловые скорости и ускорения. Мы ограничимся в дальнейшем определением зависимостей только между поступательными и угловымискоростями тела (кроме одного случая, рассмотренного в §71).Рассмотрим сначала случай, когда относительное движение телаявляется поступательным со скоростью v u а переносное движение —тоже поступательное со скоростью v t .
Тогда все точки тела в относительном движении будут иметь скорость vt , а в переносном —скорость vt . Следовательно, по теореме сложения скоростей всеточки тела в абсолютном движении имеют одну и ту же скоростьu=u1+ t'j, т. е. абсолютное движение тела будет .тоже поступательным.Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростями Vi и у, результирующее движение тела также будет поступательным со скоростью.
v = v 1+ v t .Задача сложения скоростей в этом случае сводится к задачекинематики точки (см. § 65).$ 69. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ДВУХПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙРассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью a>i вокруг оси аа', укрепленнойна кривошипе Ьа (рис. 198, а), а переносное — вращением кривошипа Ьа вокруг оси bb', параллельной аа', с угловой скоростьюо ,. Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношениюк плоскости, перпендикулярной осям. Здесь возможны три частныхслучая.1691.В р а щ е н и я на пр а вл е ны в одну сторону.Изобразим сечение 5 тела -плоскостью, перпендикулярной осям(рис.
198, б). Следы осей в сечении S обозначим буквами Л и В.Легко видеть, что точка А , как лежащая на оси Аа', получает скорость только от вращения вокруг оси ВЬ', следовательно, t»A= co , -АВ.Точно так же vB—v)x-AB. При этом векторы vA и vB параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разныестороны. Тогда точка С (см.‘ § 56, рис. 153, б) является мгновеннымцентром скоростей (vc = 0 ) , а следовательно, ось Сс', параллельнаяосям Аа' и ВЬ', является мгновенной осью вращения тела.Д ля определения угловой скорости со абсолютного вращениятела вокруг оси Сс' и положения самой оси, т.
е. точки С, воспользуемся равенством [см. § 56, формула (57)]<i>=vBIB C=vAlАС, откуда <о= (va + vb)IAB.Последний результат получается из свойств пропорции.Подставляя в эти равенства vA—a t 'AB, Vb —щ -АВ, найдем окончательно:©==а)1+оа„(97)4>ilBC=<atIAC=®IAB.(98)Итак, если тело участвует одновременно в двух направленныхв одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютнойугловой скоростью (o=(o1+coa вокруг мгновенной оси, параллельной данным; положение этой оси определяется пропорциями (98).С течением времени мгновенная ось вращения Сс' меняет своеположение, описывая цилиндрическую поверхность.2.В р а щ е н и я н а п р а в л е н ы в разные стороны.Изобразим опять сечение S тела (рис.
199) и допустим для определенности, что ©!>(!),. Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, найдем, что скорости точек А к В будут численно равны: оА=»=со,ч4В , хув = ( их-АВ\ при этом vA и vB параллельны друг другу инаправлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения про170ходит через точку С (рис. 199), причемa = v B/ B C = v A/ AC и to = ( vb— va)/AB.Последний результат тоже получается из свойств пропорции.Подставляя в эти равенства значения vA и vB, найдем окончательно:ti)=coj—£оа,(99)о)1/В С = ш | /ЛС=соМ 5.(100)Итак, в этом случае результатирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью со=е=а>1—(о, вокруг оси Сс', положение которой определяется пропорциями (100).3.П а р , а в р а щ е н и й . Рассмотрим частной случай, когдавращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны.Рис.
199Рис. 200(рис. 200), но по модулюТакая совокупность вращенийназывается парой вращений, а векторы ш, и ш , образуют пару угловыхскоростей. В этом случае получаем, чтоиА=й)а •А В и vB=t »i ‘АВ,т. е. vA—vB. Тогда (см. § 56, рис. 153, а)г—мгновенный центр скоростей находится вj\ чбесконечности и все точки тела в данный'' ' ''момент времени имеют одинаковые скоростиt>=coi •А В .Следовательно, результатирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью,численно равной со,-АВ и направленнойРис. 201перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы (Of и со,; направление вектора vопределяется так же, как в статике определялось направление момента т пары сил (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
