1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Таким образом,v n t v ~ v m'а п ер ~а т'(® ^ )Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которымжестко связаны подвижные оси Охуг, то перенЬсной скоростью(или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость(или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадаетточка М.3.
Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижнойсистема отсчета Оххху хгх называется абсолютным или сложным.Траектория CD этого двйжения называется абсолютной траекторией, скорость’— абсолютной скоростью (обозначается иаб) и ускорение — абсолютным ускорением (обозначается а,в).В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным,- а скорость — относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет дляшара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой вданный момент времени касается шар, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегубудет его абсолютным движением, а скорость — абсолютной скоростью шара.Д л я решения соответствующих задач кинематики необходимоустановить зависимости между относительными, переносными иабсолютными скоростями и ускорениями точки, к чему мы и перейдем.f С5.
ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙРассмотрим сложное движение точки М. Пусть эта точка совершает за промежуток времени Дt=Ktx—t вдоль траектории АВ относительное перемещение, определяемое вектором ММ' (рис. 183, а).156Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями Охуг (нарисунке не показаны), перейдет за тот же промежуток времени вкакое-то новое положение Ai Bx. Одновременно та точка т кривойАВ, с которой в момент времени t совпадает точка М , совершит переносное перемещение т т 1= Ж т 1. В результате точка М придет вположение Afi и совершит за время Дt абсолютное перемещение М М Х.Из векторного треугольника M m tM x имеемМ М Х= M m t + тгМ г.Деля обе части этого равенства на At и переходя к пределу,получимlim ( M M j A l ) — lim ( M m j A t ) -f lim (m^MjAt).д/ -*• од/-> о-*■оНо, по определению,lim ( M M l/ A i ) = H t t,Д< ■* 0lim (M in jA ty = v„ep.At -*■ 0Что касается последнего слагаемого, то, так как при Atкривая AxBi стремится к совпадению с кривой АВ, в пределеОlim (m1M l/ A t ) = lim (M M ' / A t ) ~ v „ .A (-»0A t- *В результате находим,очтоvt f — v0T -|- ипср.(84)Направлены векторы vt6, оот, опер по касательным к соответствующим траекториям (рис.
183, б).Таким образом, мы доказали следующую теорему о сложениискоростей: при сложном двиясении абсолютная скорость точки равнагеометрической сумме относительной и переносной скоростей. Построенная на рис. 183, б фигура называется параллелограммом скоростей.157Если угол менаду векторами v0T и ипер равен а , то по модулюРаб =+ «пер + 2t)0Tynep cos а .(84')Рассмотрим примеры решения задач.Задача 73. Точка М движется вдоль прямой ОА со скоростью и (рис.
184),а сама прямая вращается в плоскости Охгуг вокруг ц ен тра О с.у гл о во й скоростью ш.Определить скорость точки М относительно осей Олод в зависимости от расстояния ОМ==-г.Р е ш е н и е . Рассмотрим движение точки М как сложное, состоящее изотносительного движения вдоль прямой ОА и движения вместе с этой прямой.Тогда скорость и, направленная вдоль ОА, будет относительной скоростью точки.Вращательное движение прямой ОА вокруг центра О является для точки М переносным движением, а скорость той хочки т прямой ОА, с которой в данный моментвремени совпадает точка М , будет ее переносной скоростью р„ер- Так как эта точка прямой движется по окружности радиуса Om=r, то по модулю скорость vacp== (ог и направлена перпендикулярно От.
Строя на векторах и и ипер параллелограмм, найдем_ абсолютную скорость у,й точки М по отношению к осям Oxj/i.Так как и и vnep взаимно перпендикулярны, то по модулюи,б= Y uJ-fo)Va.Задача 74. Рычажок ОМ самопишущего прибора образует в данный моментвремени угол а с горизонтальной плоскостью, а перо М имеет скорость v, направленную перпендикулярно ОМ (рис. 185). Барабан с бумагой вращается вокругвертикальной оси с угловой скоростью ш.
Определить скорость и перемещенияпрра по бумаге, если радиус барабана R ._Р е ш е н и е . Нам известна абсолютная скорость пера о д —v. Скорость оможно рассматривать как геометрическую сумму скорости пера относительнобумаги . (это искомая скорость и) и переносной скорости и^ер. равной скороститой точки бумаги, которой в данный момент времени касается перо; по модулюи „ е р = с о /? ._____________ ______На основании теоремы о сложении скоростей v=M +onep, откуда u = v+ (—vntp).Строя на векторах v и (—vntv)- параллелограмм, найдем искомую скорость и.Так как угол между v и (—о„ер) равен 90° —а , то по модулюи = |Г158+Угол, который скорость и образует с направлением у„ер.
можно теперь найтипо теореме синусов.Задача 75. В кривошипно-ползунном механизме (рис. 186) кривошип ОАдлиной твращается с угловой скоростью to. Длина шатуна А В равна I. При данном угле <ропределить скорость ползуна относительно кривошипа ОА. Найти также абсолютную скорость ползуна.Р е ш е н и е . Ползун движется поступательно и его скорость равна скороститочки В, принадлежащей одновременно шатуну А В. Следовательно, решение задачи сводится к определению скорости точки В шатуна.Относительное движение шатуна А В поотношению к кривошипу ОА представляет собой вращение вокруг шарнира А.
Точка В при этом вращении описываетокружность радиуса АВ\ следовательно, относительная скорость гот точки Впо отношению к кривошипу направлена перпендикулярно АВ. Заметим еще, чтоабсолютная скоростьточки В направлена вдоль ВО.Переносным для точки В является движение кривошипа ОА. Представим себе,что с кривошипом жестко связан треугольник ОАВ, вращающийся вместе с кривошипом вокруг оси О с угловой скоростью (о (как на рис. 151 со стержнем ADбыл связан лист фанеры Л). Тогда скорость точки В треугольника ОАВ, совпадающая в данный момент времени с точкой В шатуна АВ, будет переносной скорсстьк)v"nev точки В шатуна. Эта точка треугольника движется по окружности радиусаОВ.
Следовательно, скоростьнаправлена перпендикулярно ОВ и численноравна ипер=о)'Л В . Так как А В — 1 cos P + r cos <р, то чПер—<■>(/ cos P + r cos <р).Строим из векторов иот, t>nep и t',e соответствующий параллелограмм. Из него видно, чток 0 т = и п е p/COS Р ИЛИ С'о т = £|) ( l + r COS ф /COS Р).Исключим отсюда угол р.
Из треугольника ОАВ находим, что / sin р =/■ sin <р.Тогда cos р = У 1—(г®//!) sin* ф и окончательно значение искомой относительнойскорости)'(*Для определения абсолютной скорости i',* точки В обратимся опять к параллелограмму скоростей. Из него uae = u 0Tsin р. Учитывая, что sin P = (r sin ф)//,получим из равенства (а) длято же значение, которое другим путем было найдено в задаче 63 (см. § 57) и обозначено там vg.В частном случае, когда г=1, получается oOI= 2 w I, u,g=2<o / sin ф.Задача 78. Конец В горизонтального стержня АВ шарнирно соединен сползуном, скользящим вдоль прорези кулисы ОС и заставляющим последнюювращаться вокруг оси О (рис. 187).
Расстояние оси О от стержня А В равно h.Определить угловую скорость кулисы в зависимости от скорости v стержня иугла ф .'_Р е ш е н и е . Нам известна абсолютная скорость ползуна, равная скорости vстержня. Эту скорость ползуна можно рассматривать как слагающуюся из отно159сительной скорости оот скольжения ползуна вдоль прорези кулисы и переноснойскорости ипер, равной скорости той точки кулисы, с которой в данный моментвремени совпадает ползун. Направления этих скоростей известны: скорость v0Tнаправлена вдоль ОВ, скорость ипер— перпендикулярно ОВ. Тогда, разлагая заданную скорость и по направлениям иох и t'nep, найдем эти скорости. Из параллелограмма видно, что по модулю ипер= ь cos ф.Но, с другой стороны, переносная скорость ontv=a>'OB—аЛ/cos ф, где ш —угловая скорость кулисы.
Сравнивая эти два значения wnepi найдем угловую скорость кулисы о>= (o/h) cos* ф.{ вв. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ(ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)Найдем зависимость между относительным, переносным и абсолютным ускорениями точки. Из равенства (84) получим-Ф £б _*б ~<Йтd/|dt,"«Pd/d</ОСЧ'' 8&'Производные здесь определяют изменение каждого из. векторовпри абсолютном движении.
Эти изменения слагаются в общем случаеиз изменений при относительном и при переносном движениях, чтониже будет непосредственно показано. Следовательно, если условиться изменения, которые векторы vox и ипер получают при относительном движении, отмечать индексом «1», а при переносном двиясении — индексом «2», то равенство (85) примет видГ(dt'or)*:, (d ^ o r)l ,(dt,nep)ia*«=—d T - + s r + — —, (<fonep)*/о с ч+ —аг- *<86>Но по определению (см.
§ 64, п. 1) относительное ускорениехарактеризует изменение относительной скорости только приотносительном двиясении; движение осей Охуг, т. е. переносноедвижение при этом во внимание не принимается. Поэтому-(< Й т )l(87)d/В свою очередь, переносное ускорение характеризует изменениепереносной скорости только при переносном двиясении, так кака„ер== а т (см. § 64, п. 2), где т — точка, неизменно связанная с осямиОхуг и, следовательно, получающая ускорение только при движении вместе с этими осями, т. е. при переносном движении.
Поэтому—(<^пер)*®лер —л•/о о ч(8 8 )В результате из равенства (86) получи»”_~— Дот160I~I «SW ,а пер *1"ft, (d»nep)i4"ft/o m•(® “ )Введем обозначение(^уот)а , (dynep)f‘‘кор ■At(90)Величина аыпр, характеризующая изменение относительной скорости точки при переносном движении и переносной скорости точкипри ее относительном движении, называется поворотным, или кориолисовым, ускорением точки. В результате равенство (89) примет вид&г6 = ®от “Ь ^пер “Ь ^кор •(® 0Формула (91) выражает следующую т е о р е м у К о р и о л иса о с л о ж е н и и у с к о р е н и й*: при сложном движенииускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного, или кориолисова.Найдем для вычисления а кор-т я у,формулу, вытекающую из равенства(90). При этом, рассматривая общийслучай, будем считать переносноеРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
