1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Мгновеннаяось Ос направлена вдоль вектора о», т\ е. по диагонали параллелограмма, построенного на векторах со* и со,.С течением времени ось Ос меняет свое положение, описываяконическую поверхность, вершина которой находится в точке О.Если тело участвует в мгновенных вращениях вокруг несколькихосей, пересекающихся в точке О, то, последовательно применяяформулу (103), найдем, что результирующее движение будет мгновенным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью(104)Задача 85. Определить абсолютную угловую скорость ю конического катка(см. задачу 72 в § 62), если радиус АС катка R , расстояние ОА— 1 и скорость одточки А известны (рис.
206).Р е ш е н и е . Абсолютное движение катка является результатом его относительного вращения вокруг оси ОА с угловой скоростью щ и переносного вращениякривошипа ОА вокруг оси ОВ с угловой скоростью оГ2; при этом численно ша=175Мгновенная ось вращения, а следовательно, и вектор абсолютной угловой скорости направлены по линии ОС, ^ак как скорость точки С равна нулю (см. задачу72). Строя соответствующий параллелограмм, находим, что (»=<*>,/sin а .Tax как sin a = / ? /y r P+ R*, то окончательно ш = (va /R) Y 1 + R 4 P Другим путем этот результат можно получить (учитывая, что ОС — мгновенная ось вращения) из равенства vA—<nfi, где h = l sin a .Движение катка представляет собой серию элементарных поворотов с угловой скоростью ш вокруг оси ОС, которая непрерывно меняет свое положение,описывает круглый конус с вершиной вточке 0 .2.С л о ж е н и е у з л о в ы х уск о р е н и й .
Рассмотрим случай, когдавращение тела вокруг двух пересекающихся осей происходит с угловыми ускорениями: ех— относительным и е,—переносным. Найдем, каким будет тогдаабсолютное угловое ускорение е тела. Из- равенства (103) получиме = dw/dt = da>i/dt - f <ki>*/iIt,Рис. 206где <»!— относительная, a a), — переносная угловые скорости.Рассуждая так же, как в § 66 , и сохраняя ту же символику, представим предыдущий результат в виде7 = (< to 1)l /d< + (d5 1),/d /+ ((to 1) 1/d f + (dma),/d/.(105)Здесь (d<o1)1/d /= e 1, а (d<Oj),/d/=e2. Значение (dco1) 2/d/ определяется так же, какзначение (dv0T)t Idt в § 66 и дается формулой (92) с заменой в ней v0T на- Шц а шна Ш].
Следовательно, (do>1)1/d /= U g X (^. Наконец, так как ша при относительномдвижении (на рис. 205 при вращении тела вокруг оси ага) не изменяется, то(d<oJ)1/d /= 0 . В результате равенство (105) дает окончательно8—8|-f,(asXWi).(Ю®)Формула (106) и определяет в случае сложения вращений вокруг пересекающихся осей абсолютное угловое ускорение тела.f 72. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГОИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ.ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕРассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся изпоступательного и вращательного движений.
Соответствующийпример показан на рис. 207. Здесь относительным движением тела1 является вращение с угловой скоростью со вокруг оси Аа, укрепленной на платформе 2, а переносным— поступательное движениеплатформы со скоростью v. Одновременно в двух таких движенияхучаствует и колесо 3, для которого относительным движением является вращение вокруг его оси, а переносным — движение той жеплатформы. В зависимости от значения угла а между векторами ыи v (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.1761,Скоростьпоступательногодвиженияп е р п е н д и к у л я р н а о с и в р а щ е н и я (i»_L<o). Пустьсложное движение тела слагается_из вращательного движения вокруг оси Аа с угловой скоростью <о и поступательного движения соскоростью v, перпендикулярной ш (рис. 208).
Легко видеть, что этодвижение представляет собой (по отношению к плоскости П, перпендикулярной оси Аа ) плоскопараллельное движение, подробноизученное в гл. XI. Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и всякое плоскопараллельное, будет действительно слагаться из поступательного со скоростью vA = v , т.
е. соскоростью полюса, и из вращательного вокруг оси Аа, проходящей через полюс._ __Вектор v можно заменить парой угловых скоростей о>', ш'(см. § 69), беря о)'=(о, а со '= —со. При этом расстояние А Р определится из равенства t»=<o' -АР, откуда (учитывая, что ю ' = « )AP=v/a>.(107)Векторы со и а* дают при сложении нуль, и мы получаем, чтодвижение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенноевращение вокруг оси Рр с угловой скоростью со'=со. Этот результатбыл раньше получен другим путем (см.
§ 56). Сравнивая равенства(56) и (107), ввдим, что точка Р для сечения 5 тела является мгновенным центром скоростей (ир= 0 ). Здесь еще раз убеждаемся, чтоповорот тела вокруг осей А а и Рр происходит с одной и той же угловой скоростью «а, т. е. что вращательная часть движения не зависитот выбора полюса (см. § 52).___,2.В и н т о в о е д в и ж е н и е (to||t>). Если сложное движениетела слагается из вращательного вокруг оси А а с угловой скоростью <о и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси А а (рис. 209), то такое движение тела называется винтовым.Ось А а называют осью винта. Когда векторы н и ш направлены в12-1870177одну сторону, то при принятом нами правиле изображения со винтбудет правым-, если в разные стороны,^ левым.Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкойтела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта.
Если величины v и со постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обо:значая время одного оборота через Т, получаем в этом случае v T = hи соГ=2я, откуда Л=2яи/со.аА1>ис. 209Рис. 210При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на осивинта, описывает винтовую линию. Скорость точки М , находящейся от оси винта на расстоянии г, слагается из поступательной скорости и и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна ©г. Следовательно,vM= V tfi + <ot ri.Направлена скорость- v M по касательной к винтовой линии.Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точкаМ , разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линииобратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под угломa (tga=A/2nr).3.Скоростьпоступательногодвиженияо б р а з у ет про и зв о ль н ый угол с осью вращен и я .
Сложное движение, совершаемое телом в этом случае(рис. 210, а), представляет собой движение, рассмотренное в § 63(общий случай движения свободного твердого тела).Разложим вектор v (рис. 210, б) на составляющие:направленную вдоль со (a'= acosa), и к", перпендикулярную со (t/"=t/sina).Скорость Vя можно заменить парой угловых скоростей со'=со и со'== —со (как на рис. 208), после чего векторы со и со* можно отбросить.Расстояние А С найдем по формуле (107):Л С = »7со= (»sina)/co.178Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью а>' и поступательное движение со скоростью v'. Следовательно, распределениескоростей точек тела в данный момент времени будет таким же, какпри винтовом движении вокруг оси Сс с угловой скоростью о>'=сои поступательной скоростью v'—v cos а.Проделанными операциями (рис. 210, б) мы перешли от полюса Ак полюсу С.
Результат подтверждает (см. § 63), что в общем случаедвижения твердого тела угловая скорость при перемене полюса неизменяется (ш,=о>), а меняется только поступательная скорость{о'фь).Так как при движении свободного твердого тела величиныv, со, а будут вообще все время изменяться, то будет непрерывноменяться и положение оси Сс, которую поэтому называют мгновеннойвинтовой осью. Таким образом, движение свободного твердоготела можно еще рассматривать как слагающееся из серии мгновенныхвинтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовыхосей.Раздел третийДИНАМИКА ТОЧКИГлава XVВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ1 73.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯДинамикой называется раздел механики, в котором изучаетсядвижение материальных тел под действием сил.Движение тел с чисто геометрической точки зрения рассматривалось в кинематике. В динамике, в отличие от кинематики, приизучении движения тел принимают во внимание как действующиена них силы, так и инертность самих материальных тел.Понятие о силе, как об основной мере механического действия,оказываемого на материальное тело, было введено в статике. Но встатике мы не касались вопроса о возможных изменениях действующих сил с течением времени, а при решении задач считали все силыпостоянными.
Между тем на движущееся тело наряду с постояннымисилами действуют обычно силы переменные, модули и направлениякоторых -при движении тела изменяются. При этом переменнымимогут быть и заданные (активные) силы *, и реакции связей.Как показывает опыт, переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В частности, от времени зависит Сила тяги электровоза при постепенномвыключении или включении реостата или сила, вызывающая колебания фундамента при работе мотора с плохо центрированным з а лом; от положения тела зависит ньютонова сила тяготения илисила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивлениясреды (подробнее см. § 76). В заключение отметим, что все введенные в статике понятия и полученные там результаты относятся вравной мере и к переменным силам, так как условие постоянствасил нигде в статике не использовалось.Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет своедвижение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгно-•Активной обычно называют силу, которая, начав действовать на покоящееся тело, может привести его в движение.180венно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этоготела.
Количественной мерой инертности материального тела является физическая величина, называемая массой тела *, В классической механике масса т рассматривается как величина скалярная,положительная и постоянная для каждого данного тела.Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае от формы тела, точнее от взаимного расположения образующихего частиц, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
