1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Следовательно,IFlue = — F cos а = — (mg/R ) r c o s a = — (mg/R ) x,так как из чертежа видно, что г cos a = x , Nx = 0.Действующая сила оказалась зависящей от координаты х точки М. Чтобыв этом случае в дифференциальном уравнении движения разделились переменные,составим его в виде (14). Тогда сокращая на т и вводя обозначениеполучимУмножая обе части этого равенства на Ах, сразу разделяем переменные я ,интегрируя, находим0 * /2 = -/!* х«/2+С*.По начальным условиям при х=*а vx = 0 .
Следовательно, C1—ktai/2. Подставляя это значение Clf получаемvx = ± к У а 2— х*.Считая,-что в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О,т. е. Что » * < 0 , берем перед корнем знак минус (легко, однако, проверить, что тотже окончательный результат получится и при знаке плюс). Тогда, заменяя vxна Ах/At, найдем, что* у т о .Разделяя переменные, приведем это уравнение к видуY в*—А*13-1870193и, интегрируя* получим« = a rc c o s (дс/о)+С,.Подставляя сюда начальные данные (при / = 0 х= а), находим, что С ,= 0 . Окончательно закон движения тела- в канале будет иметь видх = а cos kt.Следовательно, тело будет совершать в канале АВ гармонические колебанияе амплитудой а.Найдем теперь время tf движения тела до конца В канала.
В точке В координата х = — а. Подставляя это значение в уравнение движения, получим cos1,откуда ki{= n и tt=nJk. Но по введенному обозначениюV g /R . Отсюда, произведя подсчет, находим, что время движения по каналу А В при условиях з а д ^ ине зависит от его длины и всегда равноti — п V R ig « 42 мин 11 с.Этот очень интересный результат породил ряд (пока еще фантастических)проектов прорытия такого канала.Найдем дополнительно, чему будет равна при движении максимальнаяскорость тела. ОД выражения для vx видно, что t>=nmlx при х= 0 , т, е, в точке О.Следовательно,0т.* = & г -а /в /Я .Е сли, например, 2 а = 0 ,1 /? = 6 3 7 км (приблизительно расстояние от МосквыДО Ленинграда), то »Ш1Х« 3 9 5 м/с=1422 км/ч.Колебания, совершаемые материальной точкой под действиемсилы, пропорциональной расстоянию, будут подробнее изучены вГл.
X IX . Там будет рассмотрен другой метод интегрированияполучающихся ~Ь этом случае дифференциальных уравнений движения.3. С и л авав нситотскоростиЗадача 93. Лодку, масса которой щ = 4 0 кг, толкают, сообщая ей начальнуюскорость а,**0,5 м/с. Считая силу сопротивления воды при малых скоростях изменяющейся по закону (7), т.
е. считаягде коэффициент ц = 9 ,1 кг/с,определить, через сколько времени скорость лодки уменьшится вдвое и какойона за это время пройдет путь. Найти также,какой путь пройдет лодка до полной остановки.Р е ш е н и е . Совместим начало отсчетаО с начальным положением лодки и направимось Ох в сторону движения (рис. 218). Тогда начальные условия будут: при t— 0 х = 0 , vx=o,.Изображаем в произвольном положенииРис. 218лодку и действующие на нее силы Т , W и WПримечание.Никакие другиесилы на лодку не действуют. Сила, сообщившая лодке толчок, действовала на лодку до момента /= 0 . Результат этогодействия учитывается заданием начальной скорости v0, которую сила за времятолчке сообщила лодке (см. § 79.) Чтобы правильно определить, какие силы действительно действуют на тело при его движении, надо помнить, *i t o сила есть ревультат взаимодействия данного тела с другими телами.
В данном случае силатяжести ~Р является результатом действия на лодку Земли, а силы "# и R — результат действия на лодку воды. Никакие другие материальные тела с лодкой при« д в и ж е н и и не взаимодействуют, значит, никаких других действующих сил нет.Обращаем внимание на этот вопрос, так как он часто является источником ошибок при рещении задач.Вычисляя проекции действующих сил, находим, что2^**5=—R = —И"*194Для определения времени движения составляем дифференциальное уравнение(13), Замечая, что в данном случае vx—v, получимdoПроинтегрируем это уравнение, беря от обеих его частей после разделенияпеременных соответствующие определенные интегралы. При этом нижним пределом каждого из интегралов будет значение переменного интегрирования в начальный момент, а верхним — значение того же переменного в произвольный моментвремени.
.По условиям данной задачи при0 v=v0 и, следовательно,С —= — й- Г dt или In v — In и0 = — -Д * .J vт Jтv,оОтсюда окончательно/= ( т /ц ) In (vjv),(а)Искомое время определим, полагая и=0,5 о0. Это время, как видим, не зависит в данном случае от величины и0. Так как In 2= 0,69, то<1= ( т /ц ) In 2 ~ 3 с.Для определения пройденного пути целесообразно вновь составить дифференциальное уравнение движения в виде (14), так как это уравнение позволяет сразуустановить зависимость между х и о*. Тогда получимdt)m v ^ = -a v .Отсюда, сокращая на v, разделяя переменные и учитывая, что при * = 0 о—с ^ .получимVXdv= —Следовательно,Jv,'\ dx или v — vQ= — — х.т JтОх = (т /ц ) (v0—v).(б)Полагая «= 0,5 v0i найдем искомый путь: Xi=mvtl 2 ц » 1,1 м.Чтобы найти путь, пройденный лодкой до остановки, следует в равенстве (б)положить и=0. Тогда получим, что x1—muj\>.=2,2 м.Определяя время движения до остановки, мы Из равенства (а) найдем, чтопри v=0 время /,= о о .
Это означает, что при принятом законе сопротивления(#=ци) лодка будет к своему конечному положению (определяемому координатойдс2) приближаться асимптотически. Фактически же время движения лодки до остановки будет конечным, так как с уменьшением скорости закон сопротивления становится другим и соответственно изменяется вид зависимости v от t (см., например,задачу 105 в §90).Другой интересный пример движения под действием силы, зависящей от скорости, рассмотрен в следующем параграфе.*Пройденный путь можно еще найти, определяя из равенства (а) зависимостьо от / в виде u=i>0e~<^ m*<, а затем заменяя v на dx/d/ и интегрируя полученноеуравнение, но такой путь решения будет несколько длиннее.f 81*. ПАДЕНИЕ ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ (В ВОЗДУХЕ)Рассмотрим задачу о падении тела в воздухе с малой по сравнению с радиусомЗемли высоты.
Тогда действующую на тело силу тяжести Р и плотность воздуха рможно считать величинами постоянными. Полагая одновременно, что при падениитело движется поступательно, будем его рассматривать как материальную точку.Действующую на тело силу сопротивления воздуха определяем по формуле (8)из § 76; ее модульfl=0.5c*pSu>,(18)где полагаем сх= const * (величины р и S тоже постоянны).Направив координатную ось Ох вертикально вниз (рис. 219), найдем, как будет изменяться скорость падения в зависимости от пройденного пути х, считая, чтодвижение начинается из точки О и ч0= 0 .На падающее тело действуют силы Р и R; тогдаl F kx= P - R = P-0,5c*pSi»*.Чтобы сразу получить зависимость v от х, составим дифференциальное уравнение движения в виде (14).
Учитывая, что »*=», получимРdo _1_ ,~g v dxA l= p — 2 c*PSv*-Если ввести обозначение2P/cJfiS = d t,(19)то предыдущее уравнение примет видdv(и* St’a r =n , “Jили после разделения переменныхv&va* — v*gа*Беря от обеих частей равенства интегралы, находимIn (a1—ti* ) = —2 (g /aV + C j.По начальным данным при * = 0 скорость и = 0, следовательно, СХ= In о*.Подставляя это значение Си получим. а*—о*- 2 -^j-* или -— г ^ - = е “ 1I n ---- г - =а*а*Отсюда окончательно находимv = q V I — е~* <«/“*>*.(20)Формула (20) дает закон изменения скорости падающего в воздухе тела в зависимости от пройденного пути.С возрастанием х величина е" ** убывает, стремясь при х-*-оо к нулю. Отсюда следует, что скорость падения v с возрастанием х возрастает, стремясь в пределе к постоянной величине а.
Эта величина называется предельной скоростью падения 1'пр. Из равенства (19) находим, так как ипр= а ,(21)t-'np — V 2Р/сл.р5*Следовательно, при ug= 0 падающее в воздухе тело не может получить скорости, большей, чем ипр. Предельная скорость падения возрастает с увеличениемвеса тела и с уменьшением величин сх , р и S.*В рассматриваемой задаче это допустимо, если скорость падения не превышает примерно 300 м/с.196Найден, как быстро скорость падающего тела приближается к предельной.Для «того обратимся к табл. 2, в которой дана зависимость величины vlvn9 от(g/vпр)*, вычисленная по формуле (20). Из таблицы следует, чтоТаблица 2*v%npо,"np000,50,800,931,0VVnp1,21,52 ,0при (й/кпр)-*= 1,2t>= 0,95v,nptпри (£/tfnp) •*= 2,0v(22)ч= 0,99иПр0,950,970,99Следовательно, скорость падения приближается к предельной довольно быстро,если только величины сх и S не очень малы (см.
задачу 94).Наличие предельной скорости падения можно установить следующими простыми рассуждениями. При падении тела его скорость v растет; следовательно,растет и сила сопротивления R. Если считать очевидным, что сила R не можетстать больше, чем сила тяжести Р (рис. 219), то Rnp= P . Подставляя сюда значение « Пр из формулы (18), получаем 0,5cxpSi»5p= P , откуда и находим даваемоеформулой (21) Значение оЛр. Однако приведенные рассуждения не позволяют определить, как быстро скорость падения v стремится х v„p. Этот практически важный результат можно получить только с помощью формулы (20 ).Задача 04. Определить предельную скорость падения парашютиста, вес которого вместе с парашютом Р = 800 Н: а) при затяжном прыжке, считая в этом случае S = 0 ,4 м*, сх= 1,0; б) при прыжке с открытым парашютом, принимая в этомслучае S = 3 6 м \ с , = 1,4.Найти в обоих случаях расстояние Hlt пролетев которое, парашютист приобретает скорость t>i=0,95 и„р (т. е.
отличающуюся от предельной на 5 4 ) , и расстояние Я „ при котором скорость падения и,=0,99кпр.Р е ш е н и е . Предельную скорость падения определяем по формуле (21 ), считая для воздуха р = 1,29 кг/м*. Расстояния Hi и Я , находим из равенств (22). Таккак »=*0,95е„р при (gli&p)x= 1,2. то исхомое расстояние Ях= 1,2i>Sp/g. Аналогичнонаходим, что Ht =2v%„p/g.В результате подсчетов получаем:а) при затяжном прыжке и„р=56 м/с;380 м, //,« 6 3 0 м;б) при прыжке с открытым парашютом vnp**5 м/с;-Я1» 3 м, Я ,« 5 м.Как видим, при больших сопротивлениях предельная скорость достигаетсяочень быстро.| 82.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
