1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Обычно за начальный принимают моментначала движения под действием заданных сил. Положение, котороеточка занимает в начальный момент, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент — начальной скоростью (начальную скорость точка может иметь или потому, что до момента /= 0она двигалась по инерции, или в результате действия на нее домомента <=0 каких-то других сил).Чтобы решить основную задачудинамики, надо кроме действующих сил знать еще начальные услотвия, т.
е. положение и скорость точки в начальный момент времени *.В случае прямолинейного движения начальные условия задаются в видепри i= 0 х —хо, vx=vtt.(16)По начальным условиям можно определить конкретные значенияпостоянных Сх и С , и найти частное решение уравнения (12), дающее закон движения точки, в виде* = /(<.
*о. »*)•(17)Поясним все сказанное на примере следующей простейшей задачи.Задача 90. Материальная точка с массой т движется под действием постоянной по модулю и направлению силы Q (рис. 215). Найти закон движения точкипри начальных условиях (16).Р е ш е н и е . Составляя дифференциальное уравнение движения в виде (13)и учитывая, что QX=Q, получим*Могут встречаться задачи, в которых для определения постоянных интегрирования вместо начальных задаются так называемые краевые условия, например могут быть заданы условия на «краях» интервала времени [/0, fjl в виде: приt= t о д:= * 01 а ПРИ t=*tt x~X f. Пример, показывающий, какие особенности могутиметь решения таких задач, называемых краевыми задачами, будет рассмотрен в§94.190Так как Q = const, то умножив обе части уравнения на d t н беря от них интегралы, найдем, чтоvx =(Q fm )t+Ci.(а)Замена в этом равенстве vx на Ax/dt дает-!* £ = ( Q lm ) t+ C t.Умножая обе части полученного уравнения на d l и снова интегрируя, найдемх= (Q/2m)(2+ C l t+ С2.(б)Этот результат и представляет собой для данной задачи общее решение уравнения (12) в виде, соответствующем равенству (15).Теперь определим постоянные интегрирования Cj и С, по заданным начальным условиям (16).
Решения (а) и (б) должны быть справедливы в любой моментвремени, в том числе и в момент <=0. Поэтому, подставляя в (а) и (б) вместо tнуль, мы вместо vx и х должны получить vQи х0, т, е, должно бытьVQ— Cf, Xq= Cj.Полученными равенствами определяются значения постоянных С* и С*,удовлетворяющие начальным условиям задачи.
Подставляя эти значения в уравнение (б), найдем окончательно закон происходящего_движения в виде, соответствующем равенству (17):0_________М_x = x 0+ v tt+ (Q/2m) /*.(в)Как видно из уравнения (в), точка под действиемр ис 215постоянной силы совершает равнопеременное движение,что можно было предсказать заранее, так как еслиQ =const, то и a= Q lm = const. В частности, таким является движение точки поддействием силы тяжести. При этом в уравнении (в) будет Q/m=g, а ось Ох должнабыть направлена по вертикали вниз,$80. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешение задач динамики точки путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений движения сводится кследующим операциям.1.
С о с т а в л е н и е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я д в и ж е н и я . Для его составления в случае прямолинейного движения надо:а) зыбрать начало отсчета (как правило, совмещая его с начальным положением точки) и провести координатную ось, направляяее вдоль траектории и, как правило, в сторону движения; если поддействием приложенных сил .
точка может находиться в какомнибудь, положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещатьв положении статического равновесия;б) изобразить двужущуюся точку в произвольном положении(но так, чтобы было дс>0 ипоследнее существенно, когдасреди сил есть силы, зависящие от скорости) и показать все действующие на точку силы;в) подсчитать сумму проекций всех сил на координатную осьи подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравнения движения; при этом надо обязательно все переменные силы выразить через те величины (/, х или v), от которых эти силы зависят.2.
И н т е г р и р о в а н и едифференциальногоуравненияд в и ж е н и я . Интегрирование производится191методами, известными из курса высшей математики и зависящими отвида полученного уравнения, т. е. от вида его правой части. В техслучаях, когда на точку кроме постоянных сил действует одна переменная сила, зависящая только от времени t или только от расстояния х, или же только от скорости v, уравнение прямолинейногодвижения можно проинтегрировать методом разделения переменных(см. заДачи 91—93).
Если при этом в задаче требуется определитьтолько скорость, то часто можно при решении ограничиться интегрированием одного из уравнений (13) дли (14).3. О п р е д е л е н и епостоянныхинтегриров а н и я . Для определения постоянных интегрирования надо поданным задачи установить начальные условия в виде (16). Значенияпостоянных по начальным условиям находятся так, как это былопоказано в задаче 90. При этом постоянные можно определятьнепосредственно после каждого интегрирования.Если дифференциальное уравнение движения является уравнением с разделяющимися переменными, то вместо введения постоянных интегрирования можно брать сразу от обеих частей равенстваопределенные интегралы в соответствующих пределах; примертакого расчета дан в задаче 93.4.
Н а х о ж д е н и е и с к о м ы х в з а д а ч е в е л и ч и н ии с с л е д о в а н и е - п о л у ч е н н ы х . р е з у л ь т а т е в. Чтобы иметь возможность исследовать решение, а также произвестикосвенную проверку результата подсчетом размерностей, надо всерешение проводить до конца в общем виде (в буквах), подставляячисловые данные только в окончательные результаты.Сделанные здесь указания относятся и к случаю криволинейногодвижения.Рассмотрим три конкретные задачи, в которых сила зависит отвремени, от расстояния и от скорости точки.1. С и л а з а в и с и т о т в р е м е н иЗадача 91. Груз весом Р начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F, значение которой растетпропорционально времени по закону F = kt.
Найти закон движения груза.Р е ш е н и е . Выберем начало отсчета О в начальном положении груза и направим ось Ох в сторону движения (рис. 216). Тогда начальные условия будут:уупри / = 0 х —0, »ж=0. Изображаем в произвольном по—ложении груз и действующие на него силы0Г 3 — ►тяжести) и N (реакция плоскости). Проекции этих силititiitiittz-г на ось О* имеют значения Fx = F —kt, Рх= О, Nx= 0 их уравнение ( 13) примет видРис. 216е dtыУмножив обе части этого равенства на dt, мы сразу разделим переменные и,интегрируя, получим(P/g)vx = kP!2-\- Cj.Подставляя сюда начальные данные, найдем, что C i= 0 . Тогда, заменяя в полученном результате vx на d x/dt, представим его в виде±-=(kg!2P)t>.192Умножая обе части этого равенства на d t, опять разделим переменные и, интегрируя, найдемx=(kg/2P)f>l3+Ct.Подстановка начальных данных дает Са= 0, и окончательно получаем закондвижения груза в видеx=(kglf>P)P.Таким образом, проходимый грузом путь будет расти пропорционально кубувремени,2.
С и л а з а в и с и т о т р а с с т о я н и яЗадача 92. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить, втечение какого промежутка времени тело пройдет по прорытому сквозь Землювдол> хорды А В каналу от его начала А до конца В (рис. 217). При подсчете считать радиусЗемли R = 6370 км.У к а з а н о е. В теории притяжения доказывается, что тело, находящееся внутри Земли,притягивается к ее центру с силой F , прямо пропорциональной расстоянию г до этого центра.Принимая во внимание, что при r= R (т.
е. наповерхности Земли) сила f равна силе тяжести (F—mg), получим, что внутри ЗемлиF=(mg/R) г,где г—МС — расстояние от точки М до центра Земли.Р е ш е н и е . Поместим начало отсчета О в середине хорды А В (в этойточке тело, находящееся в канале, было бы в равновесии) и направим ось Охвдоль линии ОА. Если обозначить длину хорды АВ через 2а, то начальныеусловия задачи будут: при < = 0 х= а, vx = 0._.В произвольном положении на тело действуют силы F и N.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
