1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

Сравнивая уравнение (16) с уравнениемдвижения материальной точки [§ 74, формула (2)], придем к дру­гому выражению теоремы: центр масс системы двиясется как ма­териальная точка, масса которой равна массе всей системы и к кото­рой прилоясены все внешние силы, действующие на систему.Проектируя обе части равенства (16) на координатные оси, по­лучим:M ic ^ F U , M yc ^ F l y, Mzc = 2 F‘kt.(16')Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнениядвиясения центра масс в проекциях на оси декартовой системы коор­динат.Значение доказанной теоремы состоит в следующем.1.Теорема дает обоснование методам динамики точки.

Из урав­нений (16') видно, что решения, которые мы получаем, рассматриваяданное тело как материальную точку, определяют закон движенияцентра масс этого тела, т. е. имеют вполне конкретный смысл.В частности, если тело движется поступательно, то его движениеводностью определяется движением центра масс. Таким, образом,поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать какматериальную точку с массой, равной массе тела. В остальных слу­чаях тело можно рассматривать как материальную точку лишьтогда, когда практически для определения положения тела доста­точно знать положение его центра масс и допустимо по условиямрешаемой задачи не принимать во внимание вращательную частьдвижения тела.18*2752.Теорема позволяет при определении закона движения центрмасс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неиз­вестные внутренние силы.

В этом состоит ее практическая ценность.§ 108. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАССИз теоремы о движении центра масс можно получить следующиеважные следствия.1. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равнанулю;5FS-0.Тогда из уравнения (16) следует, что ас= 0 или vc=const.Следовательно, если сумма всех внешних сил, действующих насистему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с по­стоянной по модулю и направлению скоростью, т .е . равномернойпрямолинейно. В частности, если вначале центр масс был в покое,то он и останется в покое. Действие внутренних сил, как мы видим,движение центра масс системы изменить не может.2.

Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, не равнанулю, но эти силы таковы, что сумма их проекций на какую-нибудьось (например, ось х) равна нулю:2 *1, - о .Тогда первое из уравнений (16') даетхс = 0 или хс «=vCx= const.Следовательно, если сумма проекций всех действующих внешнихсил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центрамасс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности,есЛи в начальный момент t»c*= 0, то и в любой последующий моментвремени vCx—0, т. е. центр масс системы в этом случае вдоль оси хперемещаться не будет (хс—const).Все эти результаты выражакд собой закон сохранения движенияцентра масс системы.

Рассмотрим некоторые примеры, иллюстри­рующие его приложения.Движениецентрамасс Солнечнойс и с т е м ы . Таккак притяжением звезд можно практически пренебречь, то можно считать, чтона Солнечную систему никакие внешние силы не действуют. Следовательно,в первом приближении ее центр масс движется по отношению к звездам равно­мерно и прямолинейно.Д е й с т в и е п а р ы с и л в а т е л о (см., например, рис.

32). Еслина свободное твердое тело начнет действовать пара сил ~F, F ', то геометрическаясумма этих внешних сил будет равна нулю (/H-F'=0). Следовательно, центр массС тела, если он вначале был неподвижен, должен остаться неподвижным и придействии пары. Таким образом, где бы к свободному твердому телу ни была при­ложена пара сил, тело начнет вращаться вокруг своего центра масс (но мгно­венная ось . вращения в общем случае не будет направлена-перпендикулярноплоскости действия пары, как можно предположить).276Движениепогоризонтальнойп л о с к о с т и .

Приотсутствии трения человек с помощью своих мускульных усилий (силы внутрен­ние) не мог бы двигаться вдоль горизонтальной плоскости, так как в этом случаесумма проекций на любую горизонтальную ось Ох всех приложенных к человекувнешних сил (сила тяжести и реакция плоскости) будет равна нулю и центрмасс человека вдоль плоскости перемещаться не будет (дгс = const), ’Если, например, человек вынесет правую ногу вперед, то левая его ногаскользнет назад, а центр масс останется на месте.

При наличии же трения сколь­жению левой ноги назад будет препятствовать сила трения, которая в этом случаебудет направлена вперед. Эта сила и будет той внешней силой, которая позволяетчеловеку перемещаться в сторону ее действия (в данном случае вперед).Аналогично происходит движение тепловоза или автомобиля.

Сила давлениягаза в двигателе является силой внутренней и сама по себе не может переместитьцентр масс системы. Движение происходит потому, что двигатель передаетсоответствующим колесам, называемым ведущими, вращающий момент. Приэтом точка касания В ведущего колеса (рис. 284) стремится скользить влево.Тогда на колесо будет действовать сила трения, направленная вправо. Этавнешняя сила и позволит центру тяжести тепловоза или автомобиля двигатьсявправо. Когда этой силы нет или когда она недостаточна для преодолениясопротивления, испытываемого ведомыми колесами*, движения вправо не будет;ведущие колеса будут при этом вращаться на месте (буксовать).Т о р м о ж е н и е .

Для торможения к барабану, жестко связанномус катящимся колесом, прижимают тормозную колодку. Возникающая при этомсила трения колодки о барабан будет силой внутренней и сама по себе не изменитдвижение центра масс, т. е. не затормозит поезд или автомобиль. Однако трениеколодки о ^арабан будет замедлять вращениеколеса вокруг его оси и увеличит силу тренияколеса о рельс (или грунт), направленную про­тивоположно движению. Эта внешняя сила ибудет замедлять движение центра масс поездаили автомобиля, т. е. создавать торможение(см.

задачу 154 в § 130).В заключение отметим, что движение объек­та в предыдущих примерах происходит, конечно,Рис. 284за счет работы внутренних сил (двигателя авто­мобиля или мускулов ног человека). Но привес­ти в движение центр масс объекта внутренниесилы могут лишь тогда, когда они вызывают такое взаимодействие объекта с внеш­ней средой, при котором на объект начинают действовать внешние силы (в при­мерах это силы трения). Другой возможностью является реактивный эффект(см. § 112, 114). Никакое устройство, не обеспечивающее появление таких внеш­них сил или не создающее реактивного эффекта, привести в движение цекгр мессобъекта за счет действия одних только внутренних сил не может. В таких пред­лагавшихся устройствах, как «машина Дина» или «инерцоид», движение объектатоже происходит за счет его взаимодействия с внешней средой, но менее явио вы­раженного, что давало повод необоснованно отрицать наличие такого взаимо­действия.f 109.

РЕШ ЕН И Е ЗАДАЧПользуясь теоремой о движении центра масс, можно, зная внеш­ние силы, найти закон движений центра масс, и, наоборот, знаядвижение центра масс, определить главный вектор действующих*На ведомое колесо действует не вращающий момент, а сила (J, приложеннаяк оси (рис. 284). Под ее действием все колесо, а с ним и точка касания А колеса огрунт стремятся сдвинуться вперед. При этом на колесо будет действовать силатрения, направленная назад.

Эта внешняя сила и тормозит двизкеняе:.277на систему внешних сил. Первой задачей мы занимались в динамикеточки. Примеры решения второй задачи рассмотрим ниже.Теорема позволяет исключить из рассмотрения все внутренниесилы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбиратьтак, чтобы ряд наперед неизвестных сил сделать внутренними.В случаях, когда имеет место закон сохранения движения цент­ра масс, теорема позволяет по перемещению одной части системынайти перемещение другой ее части.Мы доказали, что когда 2Рцх—0 и в начальный момент времени x>cx=Q,то при движении системы хс = const.

Пусть для определенности система состоитиз трех тел с массами mlt т 2, т 3 и начальными координатами их центров масс*i> **> хз- Если под действием внутренних (или внешних) сил тела совершат аб­солютны? перемещения, проекции которых на ось Ох будут £х, £2, | 3, то соответст­вующие координаты станут равны X j+ li, х2+ ^ . *з+1з- Тогда по формулам (1)координата центра масс xq всей системы в начальном и конечном положенияхопределяется равенствами:МхСа= nttXi 4- т 2х, + т,х , ;Мхс , = mj (*j + £!) + т 2 (дса-f |j) nij (xt -f- £s).Так как Arc =const, то xCl=xCa и, следовательно,илиmili-f т 2Ъг+ т 3Ъв= О(17)P i 5i + ^ 2 + P s53=0.(17')Таким образом, когда имеет место закон сохранения движения центра массвдоль оси Ох, то алгебраическая сумма произведений масс (или весов) тел системына проекции абсолютных перемещений их центров масс должна быть равна нулю,если только в начальный момент времени оСх=0.

При вычислении £i, 52. •• •следует всегда учитывать их знаки.Задача 123. На носу и корме лодки весом р сидят на расстоянии / другот друга два человека весом рд и рв каждый (рис. 285). Пренебрегая сопротив­лением воды, определить, куда инасколько переместится лодка, еслилюди поменяются местами.Решение.Чтобы исклю­чить из рассмотрения неизвестныенам силы трения подошв о днолодки и мускульные усилия людей,будем рассматривать лодку и лю­дей как одну систему (при этом наз­ванные силы станут внутренними).Внешними силами, действующимина систему, будут вертикальные си­лы р, рА, рв, ЛЛ Тогда 2/1* =0, итак как в начальный момент време­ни vCx=0, то дгс=const.

Следова­тельно, абсолютные перемещениявсех тел связаны зависимостью (17).Изображая лодку и людей в на­чальном и конечном положениях,мы видим, что перемещение лодки£л = * *• Далее, для первого чело-*Во избежание ошибок в знаках рекомендуется, независимо от того, кудафактически происходит смещение, изображать лодку (систему) в смещенном поло­жении так, чтобы координата х была положительной (рис. 285). Если после под­счетов значение х получится отрицательным, то это будет означать, что при усло­виях задачи смещение происходит в другую сторону.278Vвека абсолютное перемещение Ъд=х+1-, абсолютное перемещение второго чело­века равно В ВХ, а проекция этого перемещения на ось Ох будет \в~ — —*)■Тогда по уравнению (17')Р *+ Р а (* + 0 + Рв [— У — ■*)] = 0.Отсюда находим, что перемещение лодких=(рв— ра)1/Р, где Р = Р + Р а + Р в -Если рв>рл< то *>0, т.

Характеристики

Список файлов книги