1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

е. лодка смещается вправо; при рв<рл смещениелодки произойдет влево. Когда рв~Рл< лодка остается на месте.Подчеркиваем еще раз: систему, движение которой надо рассмотреть прирешений подобных задан, следует выбирать так, чтобы наперед неизвестныесилы сделать внутренними.Задача 124. Центр масс вала мотора смещен от оси вращения на величинуАВ= Ь. Масса вала mlt а масса всех остальных частей мотора т ,. Определить,по какому закону будет двигаться мотор, поставленный на гладкую горизон­тальную плоскость, когда вал вращается с постоянной угловой скоростью ш.Найти дополнительно, какое максимальное усилие будет испытывать болт D,если с его помощью неподвижно -закрепить мотор.Ряс.

287Р е ш е н и е . Чтобы исключить силы, вращающие вал, сделав их внутрен­ними, рассмотрим весь мотор с валом как одну систему.__1. При незакрепленном моторе все действующие на него силы (pt=m,g,p ,= m j и реакция плоскости) будут вертикальными, и здесь, как и в предыдущейзадаче, будет иметь место закон сохранения движения центра масс вдоль оси Сх.Изображаем мотор в произвольном положении (рис. 286), считая начальнымто положение, когда точки В и А лежат на одной вертикали (на оси Оу). Тогдав произвольном положении ЪА=х, 1д=д:+6 sin ф.

Отсюда, учитывая, что <р=ш/,найдем по формуле (17)mjX+mi(x-i-6 sin <oQ=0 ,откудах=~ ~ Ж sin<B*< где M=mi+m$.Следовательно, мотор будет совершать гармонические колебания с круговойчастотой м.2. Когда мотор закреплен, то по первому из уравнений (16') горизонталь­ная реакция Rx болта будетR x — Mxc , где лгс = jg- (« 1* в +■В этом случае точка А неподвижна и хА=1 (/= const), a xe=/+frsln ю/. В ре­зультате, дифференцируя выражение хс и умножая его на М (М здесь всюду —масса всей системы), находимR x = M xq = irtixa = — либо»* sin at.279Сила давления на болт равна по модулю |/?х| и направлена в противопо­ложную сторону; ее максимальное значение будет т^ЬиР.

Во избежание ударовмотора по болтам при его работе, затяжка болтов Q должна быть такой, чтобысуммарная сила трения мотора о плоскость, на которой он установлен, т. е.IQ, была не меньше mjbco2.Задача 125. Кривошип А В длиной г и массой т г, вращающийся с постоян­ной угловой скоростью ш, приводит в движение кулису и связанный с нею пор­шень D, общая масса которых равна т а (рис. 287). На поршень при его движе­нии действует постоянная сила Q. Пренебрегая трением о направляющие, найтинаибольшее горизонтальное давление на ось А кривошипа.

,Р е ш е н и е . Чтобы исключить силы, вращающие .кривошип, и давлениена него со стороны кулисы, рассмотрим движение всей системы. Тогда по пер­вому из уравнений (16'), если обозначить горизонтальную реакцию оси А черезRx, будетMxc = R x— Q,где согласно формулам ( 1) М х с= т1х1+ т 2х2.В нашем случае д:1=0,5г cos со/, xt—b^\-r cos at, так как ф=со?. В резуль­тате находимRx= Q + Мхе — Q— (0,5/п* -f mi) гш* cos <ot.Сила давления на ось равна по модулю |/?ж| и направлена в противополож­ную сторону. Давление будет максимальным, когда <р=180°, и будет равно Q++ (0,5т!+Глава X X IIIТЕОРЕМ А ОБ ИЗМ ЕНЕНИИСИСТЕМЫКОЛИЧЕСТВАД ВИЖ ЕНИЯS ПФ. КОЛИЧЕСТВО Д ВИ Ж ЕНИЯ СИСТЕМЫКоличеством двизкения системы будем называть векторную вели­чину Q, равную геометрической сумме (главному вектору) количествдвижения всех точек системы(рис.

288):т*( 18)Пользуясь этим определе­нием, найдем формулу, с по.мощью которой значительнолегче вычислять величину Q,а также уяснить ее смысл.Рис. 288Из равенства (Г ) следует, что1>тк7к = МТс.Беря от обеих частей производную по времени, получимилн ^m ipk- M v c.Отсюда находим, чтоQ=M wc*280(19)т. е.

количество движения системы равно произведению массы всейсистемы на скорость ее центра масс. Этим результатом особенноудобно пользоваться при вычислении количеств движения твердыхтел.Из формулы (19) видно, что если тело (или система) движетсятак, что центр масс остается неподвижным, то количество движениятела равно нулю. Например, количество движения тела, вращаю­щегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс,будет равно нулю.Если же движение тела является сложным, то величина Q небудет зависеть от его вращательного движения вокруг центра масс.Например, для катящегося колеса Q—M vc, независимо от того, каквращается колесо вокруг его центра масс С.Таким образом, количество движения можно рассматривать какхарактеристику поступательного движения системы (тела), а присложном движении — как характеристику поступательной частидвижения вместе с центром масс.S 111.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА Д ВИ Ж ЕН И ЯРассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Со­ставим для этой системы дифференциальные уравнения движения(13) и сложим их почленно. Тогда получимПоследняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю.

Крометого,5 Ч я* = - ^ 2 ^ *= тгОкончательно находим4 = 2 ^ .(20)Уравнение (20) выражает т е о р е м у об и з м е н е н и иколичества движения, системы в дифферен­ц и а л ь н о й ф о р м е : производная по времени о т количествадвижения системы равна геометрической сумме всех действующих насистему внешних сил. В проекциях на координатные оси будет:(20')Найдем другое выражение теоремы.

Пусть в момент времениt—0 количество движения системы равно Q0, а в момент становитсяравным Qt. Тогда, умножая обе части равенства (20) на dt и интег­рируя, получим& -4 = 2 S тоили(21)Q i— Q o= 2s *>так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.Уравнение (21) выражает т е о р е м у об и з м е н е н и иколичества движения системы в интеграль­н о й ф о р м е : изменение количества двиокения системы за некото­рый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих насистему внешних сил за т о т же промежуток времени.В проекциях на координатные оси будет:Q«*-Qo;=2sU=Qu-Q»=isu.

(2i')Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о дви­жении центра масс. Так как Q=M vc, то, подставляя это значениев равенство (20) и учитывая, что di»c/d/=ac, получим Afac= 2 F J,т. е. уравнение (16).Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема обизменении количества движения системы представляют собой, посуществу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случа­ях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел),можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причемуравнением (16) обычно пользоваться удобнее.

Д ля. непрерывнойже среды (жидкость, газ) при решении задач обычно пользуютсятеоремой об изменении количества движения системы. Важные при­ложения эта теорема имеет также в теории удара (см. гл. X X X I) ипри изучении реактивного движения (см. § 1-14).Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяетисключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы(например,, силы давления друг на друга частиц жидкости).S 112. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА Д ВИ Ж ЕН И ЯИз теоремы об изменении количества движения системы можнополучить следующие важные следствия.1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, рав­на нулю:2 /1 = 0Тогда из уравнения (20) следует, что при этом Q=const. Такимобразом, если сумма всех внешних сил, действующих На систему,равна нулю, то вектор количества двиокения системы будет постоя­нен по модулю и направлению.2. Пусть внешние силы, действующие ыа систему, таковы, чтосумма их проекций на какую-нибудь ось (например, Оле) равна нулю:2 Л * = 0.Тогда из уравнений (20) следует, что при этом Q*=const.

Такимобразом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на282какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения си­стемы на эту ось есть величина постоянная.Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить ко­личество движения системы не могут. Рассмотрим некоторые при­меры.Я в л е н и е о т д а ч и и л и о т к а т а . Если рассматривать винтовкуи пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силойвнутренней.

Эта сила не может изменить количество движения системы, равноедо выстрела нулю. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщаютей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременнодолжны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направле­нии. Это вызовет движение винтовки назад, т. е.

так называемую отдачу. Анало­гичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).Работагребноговинта( п р о п е л л е р а ) . Винт сообщаетнекоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая этумассу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно)как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды, как внутренние, немогут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при от­брасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответст­вующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рас­сматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до началадвижения.Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.Р е а к т и в н о е д в и ж е н и е .

В реактивном снаряде (ракете) газооб­разные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из от­верстия в хвостовой части ракеты (из сопла ракетного двигателя). Действующиепри этом силы давления будут силами внутренними и не могут изменить коли­чество движения системы ракета — продукты горения топлива. Но так как вы­рывающиеся газы имеют известное количество движения, направленное назад,то ракета получает при этом соответствующую скорость, направленную вперед.Величина этой скорости будет определена в § 114.Обращаем внимание на то, что винтовой двигатель (предыдущий пример)сообщает объекту, например самолету, движение за счет отбрасывания назадчастиц той среды, в которой он движется. В безвоздушном пространстве такоедвижение невозможно.

Реактивный же двигатель сообщает движение за счет от­броса назад масс, вырабатываемых в самом двигателе (продукты горения). Дви­жение это в равной мере возможно и в воздухе, и в безвоздушном пространстве.При решении задач применение теоремы позволяет исключитьиз рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемуюсистему надо стараться выбирать так, чтобы все (или часть) заранеенеизвестных сил сделать внутренними.Закон сохранения количества движения удобно применять втех случаях, когда по изменению поступательной скорости однойчасти системы надо определить скорость другой части.

Характеристики

Список файлов книги