1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В частности,этот закон широко используется в теории удара.Задача 126. Пуля массой т , летящая горизонтально со скоростью и, попадает в установленный на тележке ящик с песком (рис. 289). С какой скоростьюначнет двигаться тележка после удара, если масса тележки вместе с ящикомравна ШР е ш е н и е . Будем рассматривать пулю и тележку как одну систему.Это позволит при решении задачи исключить силы, которые возникают при ударелули о ящик. Сумма проекций приложенных к системе внешних сил на горизонтальную ось Ох равна нулю.
Следовательно, Qx=const или Qix~Qox< гДе <?о—283количество движения системы до удара; Qt — после удара. Так как до ударатележка неподвижна, то Qex=mu.После удара тележка и пуля движутся с общей скоростью, которую обозначимчерез о. Тогда Qix=(m+ М)и.Приравнивая правые части выражений Qix и Qox, найдемтиv~ (т-\- М)'Задача 127. Определить скорость свободного отката орудия, если вес откаты мающихся частей равен Я, вес снаряда р, а скорость снаряда по отношениюж каналу ствола равна 'в момент вылета и.л*1с'МдРис. 290Рис. 289Р е ш е н и е .
Для исключения неизвестных сил давления пороховых.газоврассмотрим снаряд и откатывающиеся .части как одну систему.Пренебрегая за время движения снаряда в канале ствола сопротивлениемоткату и силами Р , р и N , которые очень малы по сравнению с силами давленияпороховых газов, вызывающих откат, найдем, что сумма приложенных к системевнешних сил равна ну^ю (рис 290; откатывающиеся вместе со стволом части чанем не показаны). Тогда Q= const и Qx=const, а так как до выстрела системанеподвижна (Q0=0), то и в любой момент времени Qx—0.Обозначим скорость откатывающихся частей в конечный момент через v.Тогда абсолютная скорость снаряда в этот момент равна й+v.
Следовательно,Qx =PvxlX+P(Ux+=°-Отсюда находимvра*(Р + Р ) ^Если бы была известна абсолютная скорость вылета снаряда и^, тов равенство (а) вместо ux+vx вошла бы сразу величина и ^ , откудаР“ *«хV*-----р—Знак минус в обоих случаях указывает, что направление v противоположно и.Подчеркиваем, что при вычислении полного количества движения системынадо учитывать абсолютные скорости движения ее частей.| 113*. ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРЕМ Ы К ДВИЖЕНИЮ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)Рассмотрим установившееся течение жидкости. Установившимсяназывается течение, при котором в каждой точке области, занятойжидкостью, скорости v ее частиц, давление р и плотность р не изменяются со временем. При такрм течении траектории жидких частиц являются одновременно линиями тока, т.
е. кривыми, в каждойточке которых касательные направлены так же, как скорости жидких частиц, находящихся в данный момент времени ь этих точках.284Выделим в движущейся жидкости область, ограниченную линиями тока, называемую трубкой тока (рис. 291, а; в случае движенияв трубе это область, ограниченная стенками трубы). При установившемся течении через любое поперечное сечение трубки с площадью S за 1 с будет протекать одно и то же количествомассы жидкостиGc = pSv,(22)где v — средняя скорость жидкости в данном сечении. Величину Gc называют секундным массовым расходом жид- jкости.Выделим в трубке в момент времени t объем жидкости 1 — 2, ограниченныйРис.
291сечениями / и 2 (рис. 291)и обозначим его количество,движения Qla. В момент времени t+ dt этот объем перейдет в положение 3—4, а его количество движения будет==Qn ~Ь Qu LQi3 — Qii-1>гGc dt ■vl ,так как в объем 1—3 за время dt войдет масса жидкости G^dtсо скоростью vu а в объем 2—4 — та же масса со скоростью vt.ТогдаdQ = Qs4— Qu = GcJP*— vl) dt иdQ/dt — Gc (vt— их).Подставляя это значение производной в уравнение (20), получим(? с & - ^ ) = 2 П -(23)Равенство (23) выражает теорему об изменении количества движения для установившегося движения жидкости (или газа) в трубкетока (или в трубе).
Величину Gcv называют секундным количествомдвижения жидкости. Тогда теорему можно сформулировать так:разность секундных количеств движения жидкости, протекающейчерез два поперечных сечения трубки тока (тр убы ), равна суммевнешних сил, действующих на объем жидкости, ограниченный этимисечениями и поверхностью трубки тока (стенками трубы ). Теоремапозволяет при решении задач исключить из рассмотрения все внутренние силы (силы взаимных давлений частиц жидкости в объеме1-2).В случае движения в трубе разделим действующие внешние силы на главный вектор массовых сил (сил тяжести) F ы, действующихна все частицы жидкости, и главные векторы поверхностных сил:R " — сил давления на жидкость со стороны стенок трубы (реакций285трубы), Я? и Я ? — сил давления в сечениях 1 и 2 со стороны жидкости, находящейся вне объема 1—2 (рис.
291, б); численно Р " ——PiSu P i= P 2S i. Тогда уравнение (23) можно представить в виде0е(й ,- О х )= > + Б п+ ^? + ^г.(23')Равенство (23') выражает теорему, называемую теоремой Эйлера.Задача 128. Д а в л е н и е . с т р у и . Струя воды вытекает из брандспойтасо скоростью i>= 10 м/с и ударяет под прямым углом о твердую стенку (рис. 292).Диаметр вытекающей струи d= 4 см.
Определить силу динамического давленияна стенку.Р е ш е н и е . Рассмотрим часть струи, заключенную между сечениями1 и 2, и применим к ней теорему, выражаемую равенством (23), проектируя обе егочасти на ось Ох. Учтя, что внешней силой, дающей проекцию на ось Ох, являетсяреакция R стенки и что Rx= —R . получимGc {vtx— vlx) = — R.(я)Отсюда, так как vlx = v,v2x=0, а по формуле (22) Gc=pvntPJi, где плотностьводы р= 1000 кг/м3, находим окончательно/?=p(jtrf3/4)t^= 125,6 Н.Сила давления струи на стенку равна этой же величине.Задача 129. По расположенному в вертикальной плоскости и изогнутомупод углом а колену трубы длиной I и радиусом г течет вода со средней по сечениюскоростью v (рис.
293). Определить полную силу давления воды на колено, еслидавления на входе и выходе из колена равны соответственно рх и ра.Р е ш е н и е . Применим к объему ) —2 воды, заключенной в колене, уравнение (23') в проекциях на оси Ох и Оу. Внешними силами для этого объема будутмассовая сила (сила тяжести) rryg, силы давления Р х и Р г в сечениях 1 и 2 и суммарная реакция R стенок колена, имеющая составляющие R x и R u. Тогда получимСс (vix — vlx) = R X + P i cos а —Р г, \Gt (vtl/—vlv) = R u— P 1s ln a — mg. JТак как в данном случае и1=и2= у, то 4,*= и cos a, «ix=o, .i>ij,=^-i>sin а,Vty—О. Кроме того, по формуле (22) Gc=pnr4i, где р — плотность воды;=р,лг*; P t= ptfirl , а масса воды в колене m=plnr2. Подставляя все эти величиныв уравнения (а), найдем окончательно:/?*=яг*[ро*(1—cos a)+ p s—pjcos а], /?„=л/-2(р Л т a+pjSin a+pgOСилы давления воды на колено трубы численно равны R x и R u, но имеют противоположные направления.286$ 114.* ТЕЛО ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ.
ДВИЖЕНИЕ РАКЕТЫВ классической механике масса каждой точки или частицы системы считается при движении величиной постоянной. Однако в некоторых случаях состав частиц, образующих данную систему илитело, может с течением времени изменяться (отдельные частицы могут отделяться от тела или присоединяться к нему извне); вследствиеэтого будет изменяться и суммарная масса рассматриваемого тела.Задачи, в которых имеет место подобное присоединение или отделение единичных масс, нам уже встречались (см. выше задачи 126,127 или задачу 86 в § 78). В этом параграфе будет рассмотрен другойпрактически важный случай, когда процесс отделения от тела илиприсоединения к нему частиц происходит непрерывно.
Тело, массаМ которого непрерывно изменяется с течением времени вследствиеприсоединения к нему или отделения от него материальных частиц,будем называть телом переменной массы. Для тела переменноймассыгде F (t) — непрерывная функция времени.Когда такое тело движется поступательно (или когда вращательная часть его движения не учитывается), это тело можно рассматривать как точку переменноймассы.Движениеракеты . Найдем уравнение движения тела, масса которого со временем непрерывноРнс.
294убывает,напрактическиважном примере движения ракеты, считая ее точкой переменноймассы. Обозначим относительную (по отношению к корпусу ракеты) скорость истечения продуктов горения из ракеты через и.Чтобы исключить силы давления, выталкивающие продукты горения, сделав эти силы внутренними, рассмотрим в некоторый моментвремени t систему, состоящую из самой ракеты и частицы, отделяющейся от нее в течение промежутка времени df (рис. 294). Масса цэтой частицы численно равна величине <Ш, на которую за времяdt изменяется масса ракеты. Так как М — величина убывающая,то dM<0, и, следовательно, (x=|dAf|=—dM.Уравнение (20) для рассматриваемой системы можно представить в видеdQ = F>dt,(24)где Р — геометрическая сумма приложенных к ракете внешнихсил._Если скорость v ракеты за время dtf изменяется на величину du,то количество движения рассматриваемой системы получает приэтом приращение Mdv.
У частицы в момент t количество движенияравно цу (она еще является частью тела), а в момент t+ dt оно будет287ц(у+ы), так как частица получает дополнительную скорость и.Следовательно, за время dt количество движения частицы изменитсяна величину ыц= —udM (поскольку ц=—dAf), а для всей системыполучится dQ=Mdy—udM. Подставляя это значение dQ в равенство(24) и деля обе его части на dt, найдем окончательно=+(25)Уравнение (25) представляет собой в векторной форме дифференциальное уравнение двиясения точки переменной массы, называемоеуравнением Мещерского.Учитывая, что последнее слагаемое в правой части_(25) по размерности также является силой, и обозначая его через Ф , мы можемуравнение (25) представить еще в видеЛ1-^ = ? ' + Ф.(26)Таким образом, реактивный эффект сводится к тому, что на ракету при ее движении дополнительно действует сила Ф , называемаяреактивной силой.Величина dM/dt численно равна массе топлива, расходуемого заединицу времени, т.
е. секундному расходу массы топлива Gc.Таким образом, если учесть знак, тоОтсюда следует, чтоФ = — йСс,(27)т. е. реактивная сила равна произведению секундного расхода массытоплива на относительную скорость истечения продуктов его сгорания и направлена противоположно этой скорости.Н е к о т о р ы е д р у г и е с л у ч а и д в и ж е н и я т е л а п е р еы е н н о й м а с с ы . Если рассмотреть движение тела, масса М которого с течением времени вследствие непрерывного присоединения к нему частиц возрастает (dAf/d/>0), считая это тело.тоже точкой переменной массы, а относительнуюскорость присоединяющихся частиц обозначить по-прежнему и, то нетрудно проверить, что для такого тела уравнение движения сохранит вид (25) или (26), тольков уравнении (26), поскольку теперь dAf/dOO, будетФ = uGc.Наконец, для тела, у которого одновременно происходит непрерывное отделение и присоединение частиц, в уравнении (26) получитсяФ = — uiGlc+ ujOw,где щ я иа — относительные скорости отделяющихся •И присоединяющихся чаотиц соответственно; 01с — отделяющаяся, а С*с — присоединяющаяся за секунду масса.288Такой случай имеет, например, место для самолета, на котором установленвоздушно-реактивный двигатель, засасывающий воздух из атмосферы и выбрасывающий его вместе с продуктами горения топлива.
Так как доля этих продуктов в отбрасываемом воздухе очень мала (не превышает 2—3 % ), то здесьпрактически можно считать Gic—Gtc= Oc■Кроме того, очевидно, что относительная скорость присоединяемой массы воздуха и.г= —v, где v — скорость самолета. Тогда, полагая ы1=и, получим соответственно для вектора Ф и его модуля Ф значения:Ф = — Gc (u-(-u), Ф — в с (и — у).При определении модуля реактивной силы принято, что скорости v (самолета)и и (отбрасываемого воздуха) направлены в прямо противоположные стороны.Формула справедлива и для гидрореактивного двигателя, создающего тягуза счет засасывания и выброса воды.Ф о р м у л а Ц и о л к о в с к о г о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
