1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Главное отличие величины Г от введенных ранее характеристик Q и Ко состоит в том, чтокинетическая энергия является величиной скалярной и притом существенно положительной. Поэтому она не зависит от направленийдвижения частей системы и не характеризует изменений этих направлений.Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренниесилы действуют на части системы по взаимно противоположным направлениям.
По этой причине они, как мы видели, не изменяют векторных характеристик Q и Ко- Но если под действием внутреннихсил будут изменяться модули скоростей точек системы, то при этомбудет изменяться и величина Т. Следовательно, кинетическая энер301гия системы .отличается от величин Q и Ко еще и тем, что на ее изменение влияет действие и внешних, и внутренних сил.Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическаяэнергия равна сумме кинетических энергий этих тел.Найдем формулы для вычисления кинетической энергии телав разных случаях движения.1.
П о с т у п а т е л ь н о е д в и ж е н и е . В этом случае всеточки тела движутся с.одинаковыми скоростями, равными скоростицентра масс. Следовательно, для любой точки vh= vc и формула(4.1) даетT’noci = 2m*w£/2 = (2/л*) vb/2илиТ пост= МЬЫ2.(42)Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательномдвижении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.2. В р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е . Если тело вращаетсявокруг какой-нибудь оси Ог (см. рис. 295), то скорость любой еготочки vk—o)ЛЛ, где hh — расстояние точки от оси вращения, а <о —угловая скорость тела. Подставляя это значение в формулу (41) ивынося общие множители за скобки, получимТ вр = 2/п*(огЛ |/2 = (2 mkhl) ш’/2.Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инерции тела относительно оси г.
Таким образом, окончательно найдемГ вр= У г<о</2,(43)т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равнаполовине произведения момента инерции тела относительно осивращения на квадрат его угловой скорости.3i П л о с х о п а р а л л е л ь н о е д в и ж е н и е *.
При этомдвижении скорости всех точек тела в каждый момент времени-распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенныйцентр скоростей Р (рис. 303). Следовательно, по формуле (43)7\,,оск=^*>г/2,(43')где J P — момент инерции тела относительно названной выше оси;<■) — угловая скорость тела.Величина J p в формуле (43') будет переменной, так как положение центра Р при движении тела все время меняется.
Введем вместоJ P постоянный момент инерции / с относительно оси, проходящейчерез центр масс С тела. По теореме Гюйгенса (см. § 1.03) J P= J C++М<Р, где d—PC. Подставим это выражение для J Р в (43'). Учиты*Этот случай может быть получен как частный из рассмотренного в следую*щем пункте общего случая движения твердого тела.302вая, что точка Р — мгновенный центр скоростей и, следовательно,(ad=<H'PC=vc , где vc — скорость центра масс С, окончательнонайдем vT Bt0^ M v b l 2 + J ^ .(44)Следовательно, при плоскопараллельном двиясении кинетическаяэнергия тела равна энергии поступательного движения со скоростьюцентра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.4*. О б щ и й с л у ч а йдвижения.Если выбратьцентр масс С тела в качестве полюса (рис.
304), то движение тела вобщем случае будет слагаться из поступательного со скоростьюvc полюса и вращательного вокруг мгновенной оси СР, проходящейчерез этот полюс (см. § 63). П р£ этом, как показано в § 63, скоростьvh любой точки тела Bh слагается из скорости vc полюса и скорости,которую точка получает при вращении тела вокруг полюса (вокругоси СР) и которую мы обозначим и*, т. е. Vk=Uc-|-t>*. При этом помодулю ui=o)/tk, где ft* — расстояние точки Bh от оси СР, а <о —угловая скорость тела, которая (см.
§ 63) не зависит от выбора полюса. Тогда*vl = v\ = (vc + v’ky = iTfc + v? + 2vc -v'k.Подставляя это значение vl в равенство (41) и учитывая, что vh—= 0>hh, найдемТ = (2m*) vh/2 + (Zmkhl) ш*/2+ йс2т*и*,где общие множители сразу вынесены за скобки.В полученном равенстве первая скобка дает массу М тела, авторая равна моменту инерции J cp тела относительно мгновенной_* Из определения скалярногопроизведения двух векторов следует, чтоv2= v v= m cos 0 ° = чг, т. e. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.Этот результат здесь использован; мы будем пользоваться им без оговорок и вдальнейшем.303оси СР. Величина же Zmktf*=0, так как она представляет собойколичество движения, получаемое телом при его вращении вокругоси СР, проходящей через центр масс тела (см.
§ 110).IВ результате окончательно получимT = M vy2 + Jcp«>42.(45)Таким образом, кинетическая энергия тела в общем случае движения (в частности, и при плоскопараллельном движении) равнакинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного двиокения вокруг оси, проходящей через центр масс.Если за полюс взять не центр масс С, а какую-нибудь другуюточку А тела и мгновенная ось А Р при этом не будет все время проходить через центр масс, то для этой оси0 и формулы вида(45) мы не получим.Рассмотрим примеры.Задача 136.
Вычислить кинетическую энергию катящегося без скольжениясплошного цилиндрического колеса массой М , если скорость его центра равнаVc (см. рис. 308, а).Р е ш е н и е . Колесо совершает плоскопараллельное движение. По формуле (44) или (45)Г = м 4/2+ /с® */2.Считаем колесо сплошным однородным цилиндром; тогда (см. § 102)Jc== MR*I2, где R — радиус колеса. С другой стороны, так как точка В являетсядля колеса мгновенным центром скоростей, то Vc= o}-B C = ii> R, откуда <о=ч‘q IR .Подставляя все эти значения, найдем7’ = Alt»J/2+A f«>t'J/4/?> = (.3/4) Mv*c .Задача 137.
В детали А , движущейся поступательно со Скоростью ~й, имеются направляющие, по которым со скоростью и перемещается тело В массой т.Зная угол а (рис. 305), определить кинетическую энергию тела В.Я.Рис. 305Рис. 306Р е ш е н_и е^_ Абсолютное движение тела В будет поступательным со скоростью ti, 6 = i Н- u (см. § 68 ).
ТогдаТ = tftciJg/2 = m (v* + и* + 2vu cos a )/2 .Заметим, что если тело совершает сложное движение, то его полная кинетическая энергия не равна в общем случае сумме кинетических энергий относительногои переносного движений. Так, в данном примереТ от + Т 'п ер = mvl/2 + тиЧ2 Ф Т.304Задача 138. Часть механизма состоит из движущейся поступательно соскоростью и детали (рис. 306) и прикрепленного к ней на оси А стержня А Вдлиной / и массой М.
Стержень вращается вокруг оси А (в направлении, указанном дуговой стрелкой) с угловой скоростью со. Определить кинетическую энергиюстержня при данном угле а .Р е ш е н и е . Стержень совершает сложное (плоскопараллельное) движение. По формуле (44) или (45) Т =Jc®42.Скорость точки С слагается из скорости у д = и и скорости vс а (или vor), модуль которой i'c,4=<i)//2 . Следовательно (рис.
306), u ^ = u 2+ d c ^ + 2 uuC/4Cos а .Угловая скорость вращения стержня вокруг центра С. такая же, как и вокругконца А , так как ы не зависит от выбора полюса. Кроме того, в задаче 119 (см.§103) было показано, что JC=MP/12.Подставляя все эти данные, получимТ = М (u*+ w V /4+ «® f cos a)/2-f- М /2(о2/2 4 = М u2/2 + М Р(о2/ 6 + (M tau cos а)/2.Заметим, что в данном случае нельзя считатьТ = Гпост + Гвр = Ми*12 + ] Аш*/2 = Ми*/2 + MPafifi.Результат этот неверен, так как по доказанной теореме формула Т — Т’пост-Н Т’врсправедлива только тогда, когда ось вращения проходит через центр масс тела,а ось А через центр масс не проходит.§ 122.
НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАБОТЫРабота сил вычисляется по формулам, полученным в § 87 и88. Рассмотрим дополнительно следующие случаи.1. Р а б о т ас и л т я ж е с т и , д е й с т в у ю щ и х нас и с т е м у . Работа силы тяжести, действующей на частицу весомрк, будет равна pk (zkt—zkl), где zk„ и zhl — координаты, определяющие начальное и конечное положения частицы (см. § 88). Тогда,учтя, что 2 ркгк= Р гс (см.
§ 32), найдем для суммы работ всех силтяжести, действующих на систему, значениеА = 2p*z*0— Z pkzkl = Р (2С. — zCl).Этот результат можно еще представить в видеA —± P h c,где Р — вес системы, hc — вертикальное перемещение центра масс(или центра тяжести). Следовательно, работа сил тяжести, действующих на систему, вычисляется как работа их главного вектора(в случае твердого тела — равнодействующей) Р на перемещениицентра масс системы (или центра тяжести тела).2. Р а б о т а с и л , п р и л о ж е н н ы х к в р а щ а ю щ е м у с я т е л у . Элементарная работа приложенной к телу силыF (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
