1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Из равенства (56), вычисляя дифференциал от функцииU ( x ,y , г), получимF 't o + F y & y + F '^ ^ & x + ^ j L & y + ^ A z .Отсюда, приравнивая коэффициенты при djt, d у, dz в обеих частях равенства, придем к такому результату:г _dU _F _dU3Uх ~ дх 'ду 'г ~ dt •Следовательно, в потенциальном силовом поле проекции силы на координатныеоси равны частным_производным от силовой функции по соответствующим координатам. Вектор F, проекции которого определяются равенствами вида (60),называют градиентом скалярной функции U (х, у, г).
Таким образом, f = g r a d U.Из равенств (60) находима/[*= &У_дудхду'dFvдЮ_ _fa ~ д х д у " Т' Д‘Отсюда .следует, что если для данного поля существует силовая функция, топроекции силы удовлетворяют соотношениям:< £*-.dFVдудх ’dF«дгdF*ду ’dF*дхdF*дг/6П'Можно доказать справедливость и обратного вывода, т. е. что если равенства (61)имеют место, то для поля существует силовая функция V.
Следовательно, условия (61) являются необходимыми и достаточными условиями того, что силовоепом является потенциальным.Таким образом, если силовое поле задано уравнениями (55), то по условиям (61) можно установить, является оно потенциальным или нет. Если полепотенциально, то уравнение (58)определяет его силовую функцию,а формула (57) — работу сил поля.Наоборот, если силовая функцияизвестна^ то по формулам (60) можно найти, какое силовое поле этойфункцией определяется.Полагая U (х, у, z)= C , гдеС — некоторая постоянная, получим в пространстве уравнение поверхности, во всех точках которойфункция U имеет одно и то же значеродниеС.
Такие поверхности называют•поверхностями уровня или поверхностями равного потенциала. Если, как мы считаем, силовая функция являетсяоднозначной функцией координат, то поверхности уровня не могут пересекатьсяи через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. При любом перемещении Mt Mt вдоль поверхности уровня (Л = и г= С , и работа сил поля,как следует из уравнения (57), будет равна нулю.
Поскольку сила при этом неравна нулю, то отсюда заключаем, что в любой точке потенциального силовогЪполя quo направлена по нормали к поверхности уровня, проходящей через »туточки.На рис. 319, а показаны две поверхности уровня U (х, у, z )= C 1, U (х, у, г)== С г, а на рис. 3 1 9 ,6 — их сечение плоскостью, проходящей через нормаль ВпЕсли сила направлена в сторону, показанную на рисунке, то ее работа иа перемещении ВВ1 будет положительна.
Но по формуле (57) эта работа равна С ,— Ct .Следовательно, Ct > C I( т. е. сила в потенциальном пом направлена в сторонувозрастания силовой функции. Далее, работы силы Ft на перемещении В В ’ и силы Ft на перемещении DD' одинаковы, так как равны Ct —Cj. Но поскольку319D D '< B B ', то должно быть Ft >Fx. Следовательно, численно сила в потенциальномполе больше там, где поверхности уровня проходят гушр. Отмеченные свойствапозволяют наглядно представить картину распределения сил в потенциальномсиловом поле с помощью поверхностей уровня. Кроме того, как видно из равенства (57), работа потенциальной силы зависит в конечном счете только от того,с какой поверхности уровня и на какую происходит перемещение точки.Поясним сказанное примерами.1.
Д ля однородного поля сил тяжести (см. рис. 231), как видно из формулы(59), l/= c o n s(, когда z= co n st. Следовательно, поверхностями уровня являютсягоризонтальные плоскости. Сила тяжести Р направлена по нормали к этим плоскостям в сторону возрастания U и во всех точках поля постоянна.2. Д ля поля сил тяготения, согласно формуле (59*), U = const, когда r= co n st.Следовательно, поверхностями уровня являются концентрические сферы, центркоторых совпадает с притягивающим центром.. Сила в каждой точке поля направлена по нормали к соответствующей сфере в сторону возрастания U (убывания г), т.
е. к ' центру сферы.Если в потенциальном силовом поле находится с и с т е м аматериальныхт о ч е к , то силовой функцией будет такая функция координат точек системы U (хь у и zu . . хп, у п, гп),для которойd(y = ZcL4*,(62)т. е. дифференциал которой равен сумме элементарных работ всехдействующих на систему сил поля.| 127. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ.ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИД ля потенциального силового поля можно ввести понятие опотенциальной энергии как о величине, характеризующей «запасработы», которым обладает материальная точка в данном пунктесилового поля.
Чтобы сравнивать между собой эти «запасы работы»,нужно условиться о выборе нулевой точки О, в которой будем условно считать «запас работы» равным нулю (выбор нулевой точки, как ивсякого начала отсчета, производится произвольно). Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевоеП — АщоуИз определения следует, что потенциальная энергия П зависитот координат х, у, г точки М, т. е. что П = П (х, у, г).Будем в дальнейшем считать нулевые точки для функций П (х ,у, г) и U (х, у, г) совпадающими.
Тогда Uo=0 и по формуле (57)А ЛЮ= и а—U = —U, где U — значение силовой функции в точке Мполя. Таким образом,П(*, у, z)—— U (х, у, г),т. е. потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.320Отсюда видно, что при рассмотрении всех свойств потенциальногосилового поля вместо силовой функции можно пользоваться поня.тием потенциальной энергии. -В частности, работу потенциальнойсилы вместо равенства (57) можно вычислять по формуле=—П,.(63)Следовательно, работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном ее полоясениях.Выражения потенциальной энергии для известных нам потенциальных силовых полей можно найти из равенств (59) — (59” ),учитывая, что П = —U.
Таким образом, будет:1) для поля с и л ы т я ж е с т и (ось г вертикально вверх)П = Р г;(64)2) для поля с и л ы3) для поля с и л ыупругостиП =схЧ2;тяготенияП = —mgR4r.(линейного)(64')(64” )Потенциальная энергия системы определяется так же, как идля одной точки, а именно: потенциальная энергия П механическойсистемы в данном ее положении равна работе, которую произведутсилы поля при перемещении системы из данного положения в нулевое,При наличии нескольких полей (например, полей сил тяжестии сил упругости) для каждого поля можно брать свое нулевое положение.Зависимость между потенциальной энергией и силовой функцией будет такой же, как и для точки, т. е.^ C^lt У\I• • •» -^п» Уп* Z „)=U ( x i , У\, Z\ ,. .
., x nt y n , 2 n).Закон сохранения механической энергии.Допустим, что все действующие на систему внешние и внутренниесилы потенциальны. Тогда2 Л Л= П0—Подставляя это выражение работы в уравнение (50), получим длялюбого положения системы: Т—7'0=П„—П илиT + n = r 0+ n 0=const.(65)Следовательно, при движении под действием потенциальныхсил сумма кинетической и потенциальной, энергий системы в каждомее положении остается величиной постоянной. В этом и состоитзакон сохранения механической энергии, являющийся частным случаем общего физического закона сохранения энергии. Величина21 -187°221Т + П называется полной механической энергией системы, а сама меха*ническая система, для которой выполняется закон (65),— консервативной системой.Пример.
Рассмотрим маятник (рис. 320), отклоненный от вертикали на угол ф0и отпущенный без начальной скорости. Тогда в начальном его положении П0== P z 0 и 7’о = 0 , где Р — вес маятника; г — координата его центра тяжести. Следовательно, еслипренебречь всеми сопротивлениями, то в любомдругом положении будет П + 7 ’= Д 0 или Рг- (-+ J Au>V2=Pza.Таким образом, выше положения г0 центртяжести маятника подняться не может. Приопускании маятника его потенциальная энергияубывает, а кинетическая растет, при подъеме,наоборот, потенциальная энергия растет, а кинетическая убывает.Из. составленного уравнения следует, что<£?=2Р (ц—г ) и А.Таким образом, угловая скорость маятникав любой момент времени зависит только от положения, занимаемого его центром тяжести, и вРис. 320данном положении всегда принимает одно и тоже значение. Такого рода зависимости имеютместо только при движении под действием потенциальных сил.Д и с с и п а т и в н ы е с и с т е м ы .
Рассмотрим механическую систему, на которую кроме потенциальных сил действуют ненадежные а земных условиях силы сопротивления (сопротивлениесреды, внешнее и внутреннее трение). Тогда из уравнения (50) получим; Т—7’в=П*—n + i4 * или7’-Ы 1=7’.+ П 0+ Л \(65')где А А— работа сил сопротивления. Так как силы сопротивлениянаправлены против движения, тоЛ д величина всегда отрицательная(Л ^ О ). Следовательно, при движении рассматриваемой механической системы происходит убывание или, как говорят, диссипация(рассеивание) механической энергии. Силы, вызывающие эту диссипацию, называют диссипативными силами, а механическую систему,в которой происходит диссипация энергии,— диссипативной сивтемой.Например, у рассмотренного выше маятника (рис, 320) благодарятрению в оси и сопротивлению воздуха механическая энергия будетсо временем убывать, а его колебания будут затухать; это диссипативная система.Полученные результаты не противоречат общему закону сохранения энергии, так как теряемая диссипативной системой механическая энергия переходит в другие формы энергии, например втеплоту.Однако и при наличии сил сопротивления механическая системаможет не быть диссипативной, если теряемая энергия компенсируется притоком энергии извне.
Например, отдельно взятый маятник,как мы видели, будет диссипативной системой. Но у маятника часовпотеря энергии компенсируется периодическим притоком энергии339извне за счет опускающихся гирь или заводной пружины, и маятникбудет совершать незатухающие колебания, называемые автоколебаниями. От вынужденных колебаний (см. § 96) автоколебания отличаются-тем, что они происходят не под действием зависящей от времени возмущающей силы и что их амплитуда, частота и период определяются свойствами самой системы (у вынужденных колебанийамплитуда, частота и период зависят от возмущающей силы).Глава XXVIПРИЛОЖЕНИЕ ОБЩИХ ТЕОРЕМ К ДИНАМИКЕТВЕРДОГО ТЕЛА§ 128.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
