1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Цель предыдущих выкладок — показать, как составляется уравнение движения {б).2.Для определения сил трения, действующих на каждое колесо, составимуравнения вращательного движения колес относительно их осей. Для двух ведущих колес, учитывая, что действующая на каждое из них сила трения Ft направлена вперед (см. § 108, рис. 284), получим2PPc'e/S — Мвр2 М Хр2 F\fТак как при качении zr—ac —a, то окончательно найдемF1 = M BV/2r — M rv/ r — pptc a/gr*.(в)Действующая на каждое из ведомых колес сила трения Ft направлена назад.Следовательно, для ведомого колеса будетР рУ / g ^ F t r — Л11р|откудаFt = MTV/r+pplaJgr3.(г)Из равенства (б) видно, что с увеличением скорости ускорение а убывает,стремясь к нулю, когда и стремится к t»np.
Таким образом, сила трения, действующая на ведущие колеса, при разгоне несколько возрастает и достигает наибольшего значения, когда движение установится (а = 0 ). Если подставить значение аиз равенства (б), то легко видеть, что последнее слагаемое в формуле (в) будетмного меньше первого, так как Р > р . Поэтому практически величина Ft изменяется незначительно.На ведомых колесах сила трения имеет наибольшее значением момент началадвижения, а затем убывает и при равномерном движении ( а = 0 ) равна наименьшему значению Л1тр/лЕсли коэффициент трения колес о грунт не будет достаточен для того, чтобысила трения, могла принять значение Fy или Ft , то соответствующие колеса будутбуксовать. Так как М вр много больше М тр, то в первую очередь буксованиеугрожает ведущим колесам.При выключенном двигателе все колеса являются ведомыми и на них вначале будет действовать сила трения F = M TVlr.
Действие тормозных колодок эквивалентно увеличению момента М тр в осях, а следовательно, и силы трения, действующей на каждое из колес, чем и ускоряется торможение автомобиля (см. § 108).333§131*. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПАРассмотрим однородное твердое тело с неподвижной точкой О,имею щ ее ось симметрии Ог и вращающееся вокруг этой оси с угловой скоростью й , на много превышающей ту угловую скорость со,которую может иметь сама ось Ог при ее поворотах вместе с теломРис.
332вокруг точки О; такое тело называют гироскопом. Ось Ог гироскопа,как ось симметрии, является одновременно его главной центральнойосью Инерции (см. § 104).Простейшим примером гироскопа является детский волчок(см. ниже рис. 335). В гироскопических приборах ротор гироскопаобычно закрепляют в так называемом кардановом (кольцевом) подвесе, позволяющем ротору совершить любой поворот вокруг неподвижного центра подвеса О, совпадающего с центром тяжести ротора,(рис.
332). Такой гироскоп, как. и волчок, имеет три степени свободы *У гироскопов, применяемых в технике, Q больше ш в десяткии сотни тысяч раз (£ф>ш), что позволяет построить весьма эффективную приближенную теорию гироскопа, называемую элементарной,или прецессионной, Исходят при этом из следующего.В каждый момент времени абсолютная угловая скорость гироскопа.
(о1Й=£2+(о, а его движение, как движение тела, имеющегонеподвижную точку О (см. §60), слагается из серии элементарныхповоротов с ЭТОЙ угловой скоростью СОав вокруг мгновенных осейвращения ОР (рис. 333). Но когда £2^><о, угол Р между векторами<оав и Q очень мал и практически можно принять, что <oi(S=Q , аось ОР в любой момент времени совпадает с осью Ог гироскопа. Тогдакинетический момент К о гироскопа относительно точки О можно*Гироскоп на рис. 332 может совершать независимые друг от друга повороты вокруг оси Ог, оси Ох (вместе с кольцом 2) и оси Ог, (вместе с колыши 1).Подробнее вопрос о степенях свободы рассматривается в § 138.334тоже считать в любой момент времени направленным вдоль оси Оги численно равным К г, т. е. J(см.
конец § 115). В этом и состоитосновное допущение элементарной теории гироскопа.Таким образом, в дальнейшем будем считать=(73)где J t — момент инерции гироскопа относительно его оси Ог, асаму ось Ог и вектор Ко полагать все время направленными вдольодной и той же прямой. Последнее позволяет находить, как изменяется со временем направление оси Ог гироскопа, определяя, какизменяется направление вектора Ко- Установим, исходя из элементарной теории, каковы основные свойства гироскопа.1. С в о б о д н ы йтрехстепеннойгироскоп.Рассмотрим гироскоп с тремя степенями свободы, закрепленныйтак, что его центр тяжести неподвижен, а • ось может совершатьлюбой поворот вокруг этого центра (см. рис.
332); такой гироскопназывают свободным. Для него, если пренебречь трением в осях подвеса, будет 2 т 0 (/г*)=0 и ^ 0 =const, т. е. модуль и направление кинетического момента гироскопа постоянны (см. § 117). Но так какнаправления вектора Ко и оси Ог гироскопа все время совпадают,то, следовательно, и ось свободного гироскопа сохраняет неизменноенаправление в пространстве по отношению к инерциальной (звезДной)системе отсчета. Это одно из важныхсвойств гироскопа, используемое приконструировании гироскопических приборов.Сохраняя неизменное направление взвездной системе отсчета, ось свободногогироскопа по отношению к Земле будетсовершать вращение в сторону, противоположную направлению вращенияЗемли.
Таким образом, свободный гироскоп можно использовать для экспериментального обнаружения факта вращения Земли * .2. Д е й с т в и е с и л ы ( п а р ы с и л ) н а о с ь т р е х »осистепенного гироскопа.Устой чивостьг и р о с к о п а. Пусть на ось гироскопа (рис. 334) начинает действовать сила F, момент которой относительно центра О равен М 0(или пара сил F, F' с моментом, равным М 0)- Тогда по теореме моментов (см. § 116)АК0 -г.d (ОВ) -Т-,—АГ = м 0 или - V - = М 0’*Чтобы проделать подобный опыт, французский ученый Ж . Фуко (1819—1868) сконструировал в 1852 г. прибор, сходный с изображенным на рис.
332, который он и назвал «гироскоп» (от греческих gyreuo — вращаюсь и вкореб — смотрю, наблюдаю).335где В — точка оси, совпадающая с концом вектора Ко- Отсюда,учитывая, что производная от вектора ОВ по времени равна скорости vB точки В, получаем1>в — М 0 (vB—dK0/dt).(74)Равенство (74) выражает следующую теорему Резаля *: скорость конца вектора кинетического момента тела относительноцентра О равняется по модулю и по направлению главному моменту,внешних сил относительно того же центра.
Следовательно, точкаВ , а с нею и ось гироскопа, будет перемещаться по направлению вектора М 0■ В результате находим, что если на ось быстро вращающегося гироскопа подействует сила, то ось начнет отклоняться не всторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектор Момомента этой силы относительно неподвижной точки О гироскопа,т. е. перпендикулярно силе. Аналогичный результат имеет место ипри действии на ось гироскопа пары сил.Из равенства (74) следует, что когда действие силы прекращается, то М 0 = 0, а следовательно, и vB обращается в нуль и осьгироскопа останавливается.
Таким образом, гироскоп не сохраняетдвижения, сообщенного ему силой. Если действие силы являетсякратковременным (толчок), то ось гироскопа практически почти неизмекяет своего направлений **. В этом проявляется свойство устойчивости оси быстро вращающегося гироскопа, имеющего тристепени свободы.3.Прецессия трехстепенного гироскопа.Допустим, что сила F (или пара сил F, F ', см. рис. 334) действуетна гироскоп во все рассматриваемое время его движения, оставаясьв плоскости zOzi (такой силой может, например, быть сила тяжести).Так как по установленному выше ось Ог в сторону действия силы неотклоняется, то угол 0 = /jx O z остается все время постоянным, аскорость vB — перпендикулярной плоскости zj0z.
Следовательно,ось Ог гироскопа будет вращаться (прецессировать) вокруг оси Oziс некоторой угловой скоростью ю, называемой угловой скоростьюпрецессии. Найдем уравнение, определяющее со. Так как ось Огвращается вокруг оси 0гх_ с угловой скоростью со (см. рис. 334), топо формуле (48), из § 51 vB= w X O B = a X K o и равенство (74) даета х К 0 = М 0.(75)* Анри Резаль (1,828— 1896) известный французский ученый, автор первогоучебника но кинематике (1862), где кинематика излагается как самостоятельныйраздел механики.«Скорость» ид в формуле (74) имеет, конечно, размерность не длина / время,• кинетический момент/время.** Точнее ось .начнет совершать вблизи начального положения высокочастотные колебания малой амплитуды, которые при наличии сопротивлений затухнут,■ ось придет в положение, близкое к начальному (тем ближе, чем больше / жО).336Это уравнение является исходным приближенным уравнениемэлементарной (прецессионной) теории гироскопа.
Из него следует,что ш/Cosin 0=Atfo. откудаm — М°—М°K o s i n e “ y zQ s ln 0 -ПЬ\' /D >Чем больше Jтем меньше со и тем большую точность дает элементарная теория * .В качестве примера найдем угловую скорость прецессии волчкапод действием силы тяжести Р (рис. 335). Введя обозначение ОС=а,получим, что Af0= P a s in 0 и равенство (76) даетt0 = 7c3 = 77 i-(76)Аналогичную прецессию совершает земная ось, так как вследствие отклонения формы Земли от правильной шарообразной и наклона ее оси равнодействующие сил притяжения Солнца и Луны непроходят через центр масс Земли и создают относительно этого центра некоторые моменты.
Период прецессии земной оси (время одного оборота) приблизительно 26 ООО лет.4.Г и р о с к о п с д в у*м я с т е п е н я м и с в о б о д ы .Гироскопическийэ ф ф е к т . Рассмотрим гироскоп сротором 3, закрепленным только в одном кольце 2, которое можетвращаться по отношению к основанию 1 вокруг оси Ох (рис. 336).Такой гироскоп имеет по отношению к основанию две степени свободы (поворот вокруг оси Ог и вместе с кольцом 2 — вокруг оси Ох)и его свойства существенно отличаются от свойств гироскопа с тремя степенями свободы.
Например, если толкнуть кольцо 2, то оно*Процессия сопровождается еще так называемой нутацией — происходящими с очень большой частотой малыми колебаниями оси Ог около ее среднего положения. В элементарной теории нутацня не учитывается.2 2-1 8 7 0337начнет свободно вращаться вместе с ротором вокруг оси Ох, в товремя как трехстепенной гироскоп на такие толчки практически нереагирует (см. п. 2). Не реагирует трехстепенной гироскоп и на вращение основания, сохраняя неизменным направление своей оси Ог(см.
п. 1). Рассмотрим, что в таком случае будет с двухстепеннымгироскопом.Допустим, что в некоторый момент времени основание 1 начинает вращаться вокруг оси Огх (или любой другой ей параллельной) с угловой скоростью со (со<^£2). Тогда, вращаясь вместе с основанием, гироскоп начнет совершать вынужденную прецессию вокруг оси Ozy. При этом, согласно уравнению (75), на ротор 3 должендействовать момент М 0 —(л ХК о , который, очевидно, могут создатьтолько силы F, F' давления подшипников А, А ' на ось ротора, показанные на рис. 336 пунктиром (сравни с рис.
334). Так как центрмасс О ротора 3 неподвижен, то по теореме о движении центра массдолжно быть F + f ' = 0, и, следовательно, силы F, F1 образуют пару.Но когда подшипники действуют на ось ротора с силами F, F ',то по третьему закону динамики и ось будет одновременно действовать на подшипники А, А ' с такими же по модулю и противоположными по направлению силами N, N'. Пара сил N, N ' называетсягироскопической парой, а ее момент Afriip — моментом гироскопической пары или гироскопическим моментом * . Поскольку моментМ п р противоположен М 0, тоМщр = /С0 Хсо и Afr„p = /Co(osin0 = yzQcosin0.(77)Отсюда получаем следующее п р а в и л оН.Е.Жуковс к о г о: если быстро вращающемуся гироскопу сообщить вынужденное прецессионное движение, то на подшипники, в которых закреплена ось ротора^гироскопа, начнет действовать гироскопическая парас моментом Л4Г11р, стремяищяся кратчайшим путем установитьось ротора параллельно оси прецессии так, чтобы направления векторов Q и со совпали.Под действием гироскопической пары кольцо 2 начнет вращатьсявместе с ротором вокруг оси Ох; при этом угол 0, а, с ним моментM r,p будут,убывать, и когда станет 0 = 0 , вращение кольца прекратится.Если кольцо 2 скрепить с основанием 1 жестко, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
