1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 76

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

По существу уравнения (88) эквивалентныуравнениям, выражающим теоремы об изменении количества дви­жения и главного момента количеств Движения системы, и отлича­ются от них только по форме.Уравнениями (88) особенно удобно пользоваться при изучениидвижения твердого тела или системы твердых тел. Для полного изу­чения движения любой изменяемой системы этих уравнений будетнедостаточно, так же как недостаточно уравнений статики для изу­чения равновесия любой механической системы (см. § 120).■В проекциях на координатные оси равенства (88) дают уравне­ния, аналогичные соответствующим уравнениям статики (см. § 16,30). Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач,надо знать выражения главного вектора и главного момента силинерций.В заключение следует подчеркнуть, что при изучении движенияпо отношению к инерциальной системе отсчета, которое здесь ирассматривается, силы инерции вводятся только тогда, когда длярешения задач применяется принцип Даламбера *§ 134.

ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИСравнивая первое из равенств (88) с уравнением mac —^Fk,выражающим доказанную в § 107 теорему о движении центра масс*В § 91 мы рассматривали силы инерции (переносную и кориолисову), которые вводятся для того, чтобы получить возможность составлять уравнения движе­ния в неинерциальной системе отсчета в том виде, который они имеют в системеотсчета инерциальной. Здесь силы инерции вводятся для того, чтобы в инерциалъной системе отсчета получить возможность составлять уравнения движения ввиде уравнений равновесия. Все эти силы инерции к категории физических сил,примеры которых были рассмотрены в § 76, не принадлежат.346(в этой главе массу системы обозначаем буквой т), найдем, чтоR" = —тас ,(89)т. е.

главный вектор сил инерции механической системы (в частности,твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускоре­ние центра масс и направлен противоположно этому ускорению.Если ускорение ас разложить на касательное и нормальное,то вектор R и разложится на составляющие *Rx= — тас т,R ”= — таСп(89')Сравнив теперь второе из равенств (88) с уравнением dKoldt=*= h m 0 (F%), выражающим теорему моментов, (см. § 116), и учтя,что аналогичным будет соотношение для моментов относительнооси, получим:(90)Т.

е. главный момент сил инерции механической системы (твердоготела) относительно некоторого центра О или оси г равен взятой сознаком минус производной по времени от кинетического момента си­стемы (тела) относительно того же центра или той же оси.Приведение сил инерции тв ер дог о тела.Согласно результатам § 12, справедливым для любых сил, системусил инерции твердого тела можно заменить одной силой, равной R Hи приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой с мо­ментом, равным Мо- Рассмотрим несколько частных случаев.1.

П о с т у п а т е л ь н о е д в и ж е н и е . В этом случае ус­корения всех точек тела одинаковы и равны ускорению ас центрамасс С тела (ah—ac). Тогда все силы инерции Fk ——/прообразую тсистему параллельных сил, аналогичных силам тяжести p h =mkg,и поэтому, как и силы тяжести, имеют равнодействующую, прохо­дящую через точку С.Следовательно, при поступательном движении силы инерциитвердого тела приводятся к равнодействующей, равной R" и прохо­дящей через центр масс тела.2.

В р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е . Пусть твердое телоимеет плоскость материальной симметрии Оху и вращается вокругоси Ог, перпендикулярной этой плоскости** (рис. 343, хде показаносечение тела плоскостью Оху). Если привести силы инерции к центруО, то вследствие симметрии результирующая сила и пара будут ле­жать в плоскости Оху и момент пары будет равен М&г. Тогда, так как*Нормальную составляющую силы инерции называют еще центробежнойсоставляющей или центробежной силой инерции.** Д ля тела произвольной формы, вращающегося вокруг неподвижной оси,пример приведения сил инерции дается в § 136.347K z ~ J 0 Z ® I TOпо второй из формул (90)M qz — -- J qz -(£>— J Qt *Z,( 91)где e — угловое ускорение тела.Следовательно, система сил инерции такого вращающегося телаприводится к силе R и, определяемой формулой (89) и приложеннойв точке О (рис.

343), и к паре с моментом Мог, определяемым фор­мулой (91), лежащей в плоскости симметриитела.3. В р а щ е н и е в о к р у г о с и , про*х о д я щ е й ч е р е з ц е н т р м асс тела.Если тело, рассмотренное в п. 2, вращаетсявокруг оси Сг, проходящей через центр масс Стела, то /?и= 0 ,т а к к а к ас —0. Следовательно, вэтом случае система сил инерции тела приводитсяк одной только паре с моментом Щ г, лежащейв плоскости симметрии тела.4. П л о с к о п а р а л л е л ь н о ед в иРис.

343ж е н и е: Если тело имеет плоскость симмет­рии и движется параллельно этой плоскости,то, очевидно, система сил инерции тела приведется к лежащим вплоскости симметрии силе, равной R “ и приложенной в центре массС тела, и паре с моментом М£2= —Ус г-е.При решения задач по формулам вида (91) вычисляется модульмомента МЦ, а его направление, противоположное е, указываетсяна чертеже.§ 135.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧПринцип Даламбера дает единый метод составления уравненийдвижения любой несвободной механической системы. Им особенноудобно пользоваться для нахождения реакций связей, когда дви­жение системы известно или может быть определено с помощьюуравнений, не содержащих реакций, например с помощью теоремыоб изменении кинетической энергии или уравнений, которые будутполучены в § 141, Ц5. При этом из рассмотрения исключаются всенаперед неизвестные внутренние силы. В случаях,, когда надо оп­ределить реакции внутренних связей, систему следует расчленитьна такие части, .по отношению к которым искомые силы будут внеш­ними.Д ля одной несвободной материальной точки применение принци­па Даламбера приводит к уравнениям, аналогичным тем, которыерассматривались в § 90 (6м. задачу 155).Задача 155.

Решить задачу 107 (см, .§90) с помощью принципа Даламбера.Р е ш е н и е . Изображаем груз в том положении, для которого надо найтинатяжение нити (рис. 344). На груз действуют сила тяжести Р и реакция нити Т.Присоединяем к этим силам нормальную и касательную-силы инерции F” и 7 ? .Полученная система сил, согласно принципу Даламбера, будет находиться в рав­новесии. Приравнивая нулю сумму проекций всех этих сил на нормаль М{0,348получимT — P — Fn — 0.Так как F%=man= m u\ll, где— скорость груза в положении Ми тоT = P + I% = P + ihvl/l.Таким образом^ мы получили для Г то же выражение, что и в задаче 107.Определяя теперь, как и в задаче 107, величину vx с помощью теоремы об измене­нии кинетической энергии, найдем искомый результат.Уравнение в проекции на касательную дает f ? = 0 . Этот результат получаетсяпотому, что в точкепроизводная d u /d /= 0 , так как в этой точке модуль ско­рости имеет максимальное значение.Задача 158.

Два груза весом Р* и Р , каждый, связанные нитью, движутсяпо горизонтальной плоскости под действием силы Q, приложенной к первомугрузу (рис. 345, а). Коэффициент трения грузов о плоскость /. Определить уско­рение грузов и натяжение нити.Р е ш е н и е . Изображаем все действующие нэ систему внешние силы.Прибавляем к этим силам силы инерции грузов. Так как оба груза движутсяпоступательно с одним и тем же ускорением, то по модулюF l = Plaig,Ft = Pt a/g.Направления сил показаны на чертеже. Силы трения равны:F i4 P i,Ft = fP t .Согласно принципу Даламбера полученная система сил должна находитьсяв равновесии.

Составляя уравнение равновесия в проекции на горизонтальнуюось, найдемQ - / ( P l + P 2) - ( P 1+ P s)a /^ = 0 .Отсюдаe= [Q /(P 1+ P , ) —f]g.Очевидно, грузы будут двигаться, если / < Q / ( P i + P t).Искомое натяжение нити является в рассматриваемой системе силой вну­тренней. Для ее определения расчленяем систему и применяем принцип Д а­ламбера к одному из грузов, например ко второму (рис. 345, б). Н а этот груздействуют сила Р а, нормальная реакция N t , сила трения F , и натяжение нити Т.Присоединяя к ним силу инерции F t и составляя уравнение равновесия в про­екции на горизонтальную ось, находимТ —/ Р а— P2a/g= 0.Подставляя сюда найденное ранее значение а, получим окончательноr = Q P 2/(P 1+ P I).Интересно, что натяжение нити в этом случае не зависит от силы тренияи при одном и том же суммарном весе системы будет тем меньше, чем меньше349вес второго (заднего) груза.

Поэтому, например, В'железнодорожном составе вы­годнее в голове помещать более тяжелые вагоны, а в хвосте — более легкие.Рассмотрим численный пример. Пусть Q =200 Н , P i= 4 0 0 Н, Я2= 100 Н.Тогда движение возможно, если /< 0 ,4 . Натяжение нити при этом равно 40 Н.Если грузы поменять местами, то натяжение нити станет равным 160 Н.Задача 157. Решить задачу 134 (см.

§ 118) с помощью принципа Даламбераи найти дополнительно • натяжение нити.Р е ш е н и е . 1. Рассмотрим барабан и груз как одну систему; присоеди­няем к телам системы силы инерции (рис. 346). Груз А движется поступательно,и для него R u=Qa/g=Qre!g. Силы инерции барабана приводятся к паре с мо­ментом М'Ь, равным по модулю Jo -t= P fP d g и направленным противоположновращению (см. § 134). Составляя для всех сил условие равновесия в виде 2 mo(Fid=*= 0 , получим|Л1&|+ Я,7 —Qr + AlIp= 0Р рг£/В + QгЧ /g — Q г + Л*тр= 0 .Отсюда находим( Q r - M TV) gPp» + Qr* *2! Рассматривая теперь груз А отдельно и присоединяя к действующим нанего силам Q и Т силу инерции R*, получим из условий равновесия, что натяже­ние нитиТС Г”T -Q -Ro f 1\п \~^g~)Q ( p P * + ^ p r)Я р Ч -Q '*Задача 158.

Определить силу, стремящуюся разорвать равномерно вра­щающийся маховик массой т, считая его массу распределенной по ободу. Радиусмаховика г, а угловая скорость ш.[]Р е ш е н и е . Искомая сила является внутренней. Д ля ее определения раз­резаем обод на две части и применяем принцип Даламбера к одной из половин(рис. 347). Действие отброшенной части заменяем одинаковыми силами F', чис­ленно равными искомой силе F. Д ля каждого элемента обода сила инерции (цен­тробежная сила инерции) направлена вдоль радиуса. Эти сходящиеся в точке_0силы имеют равнодействующую, равную главному вектору сил инерции R*и направленную вследствие симметрии вдоль оси Ох. По формуле (89) Ru—=0,5тас ~0,5тхсш*, где дгс — координата центра масс дуги полуокружности,равная 2г/п (см.

§ 35). Следовательно,R a=mr<s?ln.Условия равновесия дают 2 F = R B и окончательноF=mr(s?l2я .350С помощью этой формулы можно найти предельную угловую скорость, при пре­вышении которой маховику из данного материала грозит разрыв.Задача 159. Однородный стержень АВ весом Р, закрепленный в точке Ашарниром, отклоняют до горизонтального положения и отпускают без начальнойскорости (рис. 348). Определить реакцию шарнира А как функцию угла ф.Р е ш е н и е .

Рассматривая стержень в произввльном положении, проводимоси Аху (перпендикулярйо стержню и вдоль стержня) и изображаем действующиена стержень силу тяжести Р и реакции Х а . У а - Пользуясь принципом Даламбера,присоединяем к этим силам силы инерции стержня, приведя их к центру А (см.§ 134, п.

Характеристики

Список файлов книги