1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 80
Текст из файла (страница 80)
задачи. 165, 166 и др.).Для системы с несколькими степенями свободы задачу можнорешать, составляя условие (99) для каждого из независимых возможных перемещений системы и преобразуя его тем же путем. В результате для системы получится столько условий равновесия,сколько она имеет степеней свободы. Другой метод решения, приводящий к тем же результатам, изложен в § 144.При аналитическом методе расчета условие равновесия составляют в виде (100).
Для этого выбирают координатные оси, связанныес телом, которое при возможных перемещениях системы остаетсянеподвижным. Затем вычисляют проекции всех активных сил навыбранные оси и координаты x h, y h, zh точек приложения этих сил,выра&ая все координаты через какой-нибудь параметр (например,угол). После этого величины 6xh, byk, 6zh находятся дифференцированием координат x h, y h, zk по этому параметру.Если все координаты xh, y h, zh выразить через один параметрсразу не удается, то надо ввести несколько параметров, а затемустановить зависимость. между ними.Отметим в заключение, что условиями (99) или (100) можнопользоваться для решения задач и при наличии трения, включаясилу трения в число активных сил. Этим же путем можно находитьреакции связей, если, отбросив связь, заменить ее соответствующейреакцией, включить последнюю в число активных сил и учесть, чтопосле отбрасывания связи у системы появляется новая степеньсвободы.Задача 164.
В механизме, изображенном на рис. 354, найти зависимостьмежду силами Я и Q при равновесии.Р е ш е н и е . У системы одна степень' свободы. Если сообщить системевозможное перемещение, то все диагонали параллелограммов, образованныхстержнями, удлинятся на одну и ту же величину 6 s. Тогда 6s ,i==6s,bsg=-36s. Составляя уравнение (99), получим:Pbsg— Q6s/i = 0или(3P— Q )6s=0,откуда (?=ЗЯ. Результат получается очень просто.Задача 165.
Вес бревна Q, вес каждого из двух цилиндрических катков, на которые оно положено, Я. Определить, какую силу F надо приложить к бревну, чтобы удержать его вравновесии на наклонной плоскости при данном угле наклона а(рис. 355). Трение катков о плоскость и бревно обеспечивает отсутствие скольжения.Р е ш е н и е . Если пренебречь сопротивлением качению, топлоскость для катков будет идеальной связью. При качении безскольжения у системы одна степень свободы. Сообщая системевозможное перемещение, получаем по условию (99)F 6sB — Q sin a -6 s g — 2Я Sin a - 6 sc — О,Рис.
354где 6 sb — возможное перемещение бревна, совпадающее с перемещением точки В.Точка касания К является мгновенным центром сер остей катка. Следовательно, vB~ 2 v c и &sg=26sc , если считать 6sB—vgdt, 6sc = v c dt, Подставляяэто значение 6sg в предыдущее уравнение, найдем окончательноР=(<Н~Я) sin a .363Задача 106. Найти зависимость между моментом М пары, действующей накривошип кривошипно-ползунного механизма (рис.
356), и силой давления Рна поршень при равновесии, если ОА—т, A B = l, Z ЛОВ=<р,Р е ш е н и е . У механизма одна степень свободы. Из условия равновесия (99), если положить &sg=vgdt, &р=шолМ , получим:Р 6 sg — Af= 0 или M u>o a ~ Pvb -Решение сводится х нахождению Зависимости междун ©од- Эта кинематическая задача была решена ранее (см. § 57, задача 63).
Пользуясь/ полученным там результатом, находимЗадача 167. Для редуктора, рассмотренного в задаче 83 (см. § 70), найти зависимость между'вращающим моментом М А, приложенным к ведущему валу А,и моментом сопротивлений М д, приложенным к ведомому валу В, когда обавала вращаются равномерно.Р~е ш е н и е. При равномерном вращении соотношение между М д и М дбудет таким же, как пои равновесии.
Следовательно, по условию (99), если по*ложить 6<p/) = o ) /d /, бфд— wad/, будет:МаМдбф в= 0ИЛИМ А<йА= МдШд.Отсюда, пользуясь результатом, полученным в задаче 83, находимМ А = (в>в/®д) М д = (Пд/ПА) М д = 2,8М д.Задача 168. Найти зависимость между силами Р и Q в подъемном механизме,детали которого скрыты в коробке К (рис. 357), если известно, что при каждомповороте рукоятки А В (А В = 1 ) винт D выдвигается на величину Л.Р е ш е и и е. Составляя условие равновесия (99), получаемР1&РАВ— Q 6*0 = 0.Предполагается, что при равномерном вращении рукоятки винт вывинчивается также равномерно, тогда2 j r = ~iT или6*0-Подставляя это значение бфдя в предыдущее равенство, находимQ=2nlPlh.Заметим, что методами геометрической статики эту несложную задачу вообщенельзя было бы решить, так как детали механизма не известны.Решенная задача показывает, каковы (принципиально) возможности примененного метода.
Но при конкретном инженерном расчете подобного механизманеобходимо будет, конечно, учесть трение между его деталями, для чего понадобится знать, каков механизм,364Задача 169. Балка, состоящая из двух брусьев, соединенных шарниром С,несет нагрузку Я (рис. 358, а). Размеры балки и расположение опор показанына чертеже. Определить силу давления на опору В, вызываемую заданной нагрузкой.Рис.
357Рис. 353Р е ш е н и е . Отбрасываем опору В и заменяем ее реакцией N g, численноравной искомой силе давления (рис. 358, б). Сообщив системе возможное перемещение (у нее теперь появилась одна степень свободы), составляем условие (99)NB 6sB — P 6 s B= 0 .Связь между 6sg и 6s£ находим из пропорций:!? -£ •Следовательно,Л Ь -Р а /А у Я .При применении метода геометрической статики решение оказалось бы болеедлинным (пришлось бы рассмотреть равновесие частей балки и ввести дополнительно реакции других связей, а затем исключить эти реакции из полученнойсистемы уравнений равновесия).Задача 170.
Горизонтальный брус 1 весом Я>, закрепленный в точке Ашарниром (рис. 359), соединен шарниром В с брусом 2 весом Я ,; концом С брусопирается на горизонтальный пол, образуя с ним угол а . Определить, при какомзначении силы трения бруса о пол система будет в равновесии.Р е ш е н и е . Изображаем действующие на систему силы f>lt P t и силу трения F, включая ее в число активных сил; при этом силу Я , разлагаем на двесоставляющие, равные Я,/2 каждая и приложенные в точках В я С (обращаем365внимание на этот прием, существенно облегчающий вычисление возможнойработы).Составляв условие равновесия (99) в учитывая формулы (101), волучвм,обозначив А В = 1 ,—( / y / 2 + P a// 2)6 q>+Ffisc= 0 Но, по аналогии с теоремой о проекциях скоростей двух точек тела, fences а=»= & в sin а , где 6sg=lbif.
Тогда osc = l tg а - 6 <р и окончательнаF = 0 ,5 (P H -Я») ctg а .Заметим, что методами геометрической статики в этой задаче составить толькоодно уравнение, из которого сразу найдется F, нельзя.Задача 171. В планетарном механизме с дифференциальной передачей(см. § 70) на ось А независимо друг от друга насажены шестерня 1 радиусом rjи кривошип А В, несущий на себе ось В шестерни 2 радиусом г. (рис.
360). Накривошип действует вращающий момент М , а на шестерни 1 в 2 — моменты сопротивлений Mi и M t. HaAiH значения Л1, и M t при равновесии механизма.Р е ш е н и е . Механизм имеет две степени свободы, так хак в нем возможныдва независимых перемещения: а) поворот кривошипа А В при неподвижнойшестерне У и б) поворот шестерни / при неподвижном кривошипе АВ. Сообщимсначала системе возможное перемещение, при котором шестерня 1 остается не*подвижной (рис. 360, а). Для этого перемещения уравнение (99) даетМ бфдв—Afs6q>j=0 .Н о когда шестерня 1 неподвижна, точка касания шестерен будет мгновеннымцентром скоростей для шестерни 2 .
Следовательно, i's= ‘‘V « - В т о ж е время Vg==Отсюда о у а= w^a(rl+ / p1) или ггЫр,—( /i - f гJflqUB и мы получаемM»='VW/(rl+ r 1).Теперь сообщим системе другое, независимое от первого возможное перемещение, при котором кривошип А В неподвижен (рис. 360, б). Для этого перемещения по условию (99) будет М 1б<р1——M ,& pj=0. Но при неподвижном кривошипе6<p,/6q)1=a>,/«<),=ri / /iнОкончательно находим:Afx= r 1Af/(rl+ /-1),M t=r,M/(rt+ r J .Задача 172. В прессе, изображенномна рис. 361, найти зависимость междусилами Qlt Q, и Р , при равновесии (Qt=— Qt—Q> Р»=Р>- Углы а и ^ известны.Весом стержней пренебречь.Рис. 361Решение.Чтобы дать примераналитического расчета, воспользуемсяусловием равновесия (100).
Беря начало в неподвижной точке А и проводя осих н у , получимQ ix 6 * i + Q j * 6 * « + Р * у 8 уа = 0 ,(а )так как остальные проекции сил обращаются в нули.Для нахождения бдс,, 6xt , бу, определим значения координат Х(, xt , у , точевприложения сил, выразив их через углы а и р . Получим, обозначая длины стержней через а и Ь:хх—а cos а , х г—а c o s a + 2 b cosp, y j= fc s ln p + a s in a .Дифференцируя эти выражения, найдем:—a s in a - 6 a , 6 х2= — (a sin a -ба-+- 26 sin p -6 P), 6y ,= fr cos р-бр+ a cos a - 6a .Подстановка полученных величин в равенство (а) дает (с учетом того, чтоQ ix ^ Q .
«**=-<?. Р »„= -Р )2Q6 sin р -бР—Р (Ь cos р -б р + а cos а >ба)=0.(б)366Для нахождения зависимости между 5а. и <5// воспользуемся тем, чтов данном случае расстояние А В = const. Следовательно, 2(а co sa + b cos/?) == const. Дифференцируя это равенство, получим:a s ln a » 6 a + 6 s ti> P '6 & = 01я6а= — оsin а6р.гПод ставляя это значение Оа в равенство (б) на Идем2 Q. sin Р— Р ( cos р — ctg a sin р ) = 0 ,откудаР = 2 Q/(ctg Р — ctg a).При угле Р, близком к а , сил* давления Р получается очень большой.1 141. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИПринцип возможных перемещений дает общий метод решениязадач статики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
