1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 81
Текст из файла (страница 81)
С другой стороны, принцип Даламбера позволяетиспользовать метода! статики для решения задач динамики. Следовательно, применяя эти два принципа одновременно, мы можемполучить общий метод решения задач динамики.Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложеныидеальные связи. Если ко всем точкам системы кроме действующихна них активных сил F ( и реакций связей Nh прибавить соответствующие силы инерций F f= — mkak, то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии. Тогда,применяя к этим силам принцип возможных перемещений, получим2 Щ + 2 6Л2 + 2 6Л1 = 0.Но последняя сумма по условию (98) равна нулю и окончательнобудет:2 6Лг + 26ЛХ = 0.(102)Из полученного результата вытекает следующий п р и н ц и пД а л а м б е р а — Л а г р а н ж а : при движении механическойсистемы с идеальными связями в каждый момент времени суммаэлементарных работ всех приложенных активных сил и всех.сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.Уравнение (102), выражающее этот принцип, называют о б щ и му р а в н е н и е м д и н а м и к и .
В аналитической форме уравнение ( 102) имеет вид2 [(F|x + ffc ) вас* -f- (Fj„ + РЦу) йуц + (FU + Fkz)— 0.(103)Уравнения (102) или (103) позволяют составить дифференциальные уравнения движения механической системы.Если при этом система представляет собой совокупность какихнибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к действующим на каждое тело активным силам прибавить приложеннуюв любом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и парус моментом, равным главному моменту сил инерции относительноэтого центра (или одну из этих величин, см. § 134), а затем применить принцип возможных перемещений,367Задача 173.
В центробежном регуляторе, равномерно вращающемся вокругвертикальной оси с угловой скоростью о> (рис. 362),. вес каждого из шаров/£>, иD t равен р; а вес муфты CjC, равен Q. Пренебрегая весом стержней, определитьугол а , если ODl = O D ,= / > OB1= O B 2= B 1C1= B aC , = 6 . __/Р е ш е н и е . Присоединяем к активным силам p i,p t n Q* центробежные силыинерции F" и 7 « (сила инерции муфты, очевидно, будет равна нулю) и составляемобщее уравнение динамики, в виде (103). Тогда, вычисляя проекции всех сил накоординатные оси, получим,М *»+Р*6дс,—.Fxtyi4-fStya+<2»6-*s=0.((а)При этом Q *=Q, P i= P i= P , F " = F t = (p/g)aD= (pig)a?I sin a .Координаты точек приложения сил равны:x x = x t= l cos a , yt= —^2= /s in а , jcs= 2 6 cos а .Дифференцируя эти выражения, находим:6х1= 6 х * = — / s i n а -6 а , 6 уа~ — 61/ 1= / c o s a - 6 a , б я » = — 2 6 s in a -6 a .Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получаем1—2pi sin о + 2 (p/g)/*«)* sin a сое a —2Qb sin a]6a= 0.Отсюда окончательноcos a=\ p l+ Q b )gрРы*Так как c o s a < l , то шары будут отклоняться, когда w *X p/+ Q 6)g/p/*.С увеличением ш угол а растет, стремясь к 90° при о>-*-оо.Рис.
363Задача 174. В подъемнике, изображенном на рис. 363, к шестерне /.и м ею щей вес P i и радиус инерции относительно ее оси pi, приложен вращающиймомент М . Определить ускорение поднимаемого груза 3 весом Q, пренебрегаявесом веревки и трением в осях. Барабан, на который наматывается веревка,Жестко скреплен с другой шестерней; их общий вес равен Р „ а радиус инерцииотносительно оси вращения р,.
Радиусы шестерен равны соответственнои г.,а радиус барабана г.Р е ш е н и е . Изображаем действующую на систему активную силу Q и вращающий моментам (силыи Р г работы не совершают); присоединяем к ним силуинерции груза F\ и пары с моментами М " и М ", к которым приводятся силы инер368ции вращающихся тел (см. § 134). Эти величины по модулю равны:F l= (Q / g )a 3,|Ai;| = (f»»/g )rfei.I|= (P 2/g) pie,.Направления всех величин показаны на чертеже. Сообщая системе возможное перемещение и составляя уравнение ( 102), получим— (Q + FS) 6 sa+ (Л1 - M l) 6 ф1 - Л1!?6<ра = 0.Выражая все перемещения через 6<ра, найдем, что6 s. = r&p„gОфа“>аiriи6 <рж= ^ri6 фа-Окончательно уравнение движения примет видВходящие сюда величины е* и еа выразим через искомое ускорение (%.
Учитывая, что 6 }, е 2 связаны между собой так же, как и (Oj, wai получим:.8a—fl|/r, ®1-"^а®2^1 ^ 3/^ 1.В результате найдем окончательно(гъ/ гд M — r*Qr*Q + plPt + ( p l r l / r l ) P 1 ISЗадачу можно было бы решить и с помощью теоремы об изменении кинетической энергии (см. §124).Глава XXIXУСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯИ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫВ ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ$ 142. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ И ОБОБЩЕННЫЕ СКОРОСТИЧисло координат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (или тел), входящихв систему, и от числа и характера наложенных связей.
Будем вдальнейшем рассматривать только системы с геометрическимисвязями (точнее только голономные системы). Как установлено в§ 138, у такой системы число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы.В качестве этих координат можно выбирать параметры, имеющиелюбую размерность и любой геометрический (или физический)смысл, в частности отрезки прямых или дуг, углы, площади и т. п.Независимые между собой параметры любой размерности, числокоторых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называют обобщенными координатами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q.Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет опре? 4 1870369деляться s обобщенными координатами;Яи q*..........Я,-(i04)Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, тоэлементарные приращения этих координат/6<7i, bq.........
. bq,, (105)также между собой независимы. При этом каждая из величий (105)определяет соответствующее, независимое от других возможноеперемещение системы.Как при всяком переходе от одной системы координат к Другой,декартовы координаты x k, y k, zk любой точки рассматриваемой механической системы можно выразить через обобщенные координатызависимостями вида: x k= x k(qu qt, . . ., qs) и т.
д. Следовательно,и для радиуса-вектора rk этой точки, поскольку rh—xkl + y kj + z kk,тоже будет*<7. •••. qs)-006)Пример 1. Плоский математический маятник (рис. 364) имеет одну степень свободы (s = 1); следовательно, его положение определяется одной обобщенной координатой q. В качестве этой координаты здесь можно выбрать или угол (р, или длину S дуги А М , или (так как движение происходит в одной плоскости) площадьо сектора ОАМ, указав во b c j x случаях положительное и отрицательное направления отсчета каждой из этих координат. Выбор в качестве обобщенной координатыабсциссы х точки М будет неудачным, так как эта координата не определяет положение точки М однозначно (при данном значении х маятник может быть отклоненным от вертикали вправо или влево).Если в качестве обобщенной координаты выбрать угол <р, то возможное перемещение маятника получим, сообщив углу приращение 6 q>.
Декартовы координаты х н у точки М можно выразить через q> в виде x = l cos ф, y = l sin <р, где / == ОМ. Тогда, в соответствии с равенством (106), и7=7(<р).Рис. 365Пример 2 . Двойной плоский маятник (рис. 365) имеет две степени свободы и вкачестве обобщенных координат можно выбрать углы <р и ^ (? 1= ф , qt—'p). Эти углымежду собой независимы, так как можно изменять угол ф, сохраняя неизменнымф, и наоборот. Величины &р иопределяют независимые Между собой возможныеперемещения системы.* Выражения декартовых координат точек А н В через обоб_* Считаем для сокращения записей наложенные связи стационарными (иначег* зависели бы еще от аргумента <).
Вид окончательных уравнений (см. § 145) отэтого допущения не зависит и они будут справедливы и для нестационарных связей.370щенные даются равенствами ввда: x x = l i oos <р, х д = / , cos y + l t cos («р+'ф)' и т. д .,i*e 1г= 0 А , lt= A B . Следовательно, в соответствии с равенством (106) г д == ' Гл(Ф). rB= r B (<?, ’J5)-При движении системы ее обобщенные координаты будут с течением времени непрерывно изменяться, и закон этого движения определится уравнениями:<7i=/i(0.
?>=/>(*).........(Ю7)Уравнения (107) представляют собой кинематические уравнениядвиокения системы в обобщенных координатах.Производные отобобщенных координат по времени называютсяобобщенными скоростями системы. Обозначим обобщенные скоростисимволамиЯ1» Яш< •••« Яг'где qt= d q jd t и т. д. Размерность обобщенной скорости-зависит отразмерности соответствующей обобщенной координаты. Если q —линейная величина, то q — линейная скорость; если q — угол, тоq — угловая скорость; если q — площадь, то q — секторная скорость и т. д. Как видим, понятием об обобщенной скорости охватываются все встречавшиеся нам ранее в кинематике понятия о скоростях.§ 143.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
