1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 83
Текст из файла (страница 83)
—bqs= 0 , и мыпридем к противоречию с условием (116).Таким образом, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующиевыбранным дл$ системы обобщенным координатам, были равны нулю.Число условий равновесия (117) равно, как видим, числу обобщенныхкоординат, т. е. числу степеней свободы системы.Из сравнения метода вычисления обобщенных сил (см. § 143) испособа решения задач, которым пользовались в § 140, видно, чтопо существу при решении задач с помощью принципа возможных перемещений мы вычисляли соответствующие обобщенные силы, а затем приравнивали их нулю.Рассмотрим еще два примера.1.Условием равновесия системы, изображенной на рис.
366, будет Q i= 0 илиP i= fP tl sin а. Поскольку при вычислении Qi было принято, что Ртр~ j N /пр>то условие Q i= 0 дает наибольшее значение Рг, при котором груз А не опускается,т. е. определяет предельное положение равновесия (см. § 25), Система будет в равновесии и при P i< fP 3l sin о .375и2.
Для системы, изображенной на рис. 367, из условий равновесия Q i—0Qt = 0 получаем очевидный результат: при равновесии <р=0 , х = р /с = Х ст.С Л у ч а й п о т е н ц и а л ь н ы х с и л . В этом случае условияравновесия (117), если учесть равенства (114) и (115), дают:£ -0 .dqi^ = 0......... fdqt= 0(118)=0-(118,)dqsv'ИЛИЙ - ° ........ iОтсюда следует, что при равновесии полный дифференциалфункций U или П равен нулю, т. е.d t/(?i, 7*- • •.
<7*)=° или dll (qi, <7„. . ., <7Л)= 0 .(119)Равенства (118) или (119) выражают необходимые условияэкстремума функции нескольких переменных. Следовательно, система, на.которую действуют потенциальные силы, в тех положениях,для которых силовая функция или потенциальная энергия системыимеет экстремум (в частности, минимум или максш^ум), находится вравновесии. Вопрос об устойчивости этих положений равновесиябудет рассмотрен в § 147.f148. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖАЧтобы найти уравнения движения механической системы вобобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики(102), которое дает26A* + 2 6 ,4 J = 0 .(120)Для общности не будем предполагать, что все наложенные насистему связи являются идеальными. Поэтому в первую сумму могут входить как работы активных сил, так и, например, работысил трения.Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определяется об о б щ е н н ы м и координатами (104).
Тогда по формуле (112)2бЛ* = Q t+S<7,+ •••+Q ,6<^.(121)Очевидно, что совершенно так же, как это было сделано в § 143для сил F k, можно преобразовать_к обобщенным координатамэлементарную работу сил инерции FJ. При этом получим2 M * = Qje<71+ Q!6<?t+ . . - + Q ? e ? „(121')где QJ, Q2, . .Q* — обобщенные силы инерции, которые согласноформулам (109, (111) будут:<Й = 2 / * . ^ ,376...(122)Подставляя величины (121) и (121') в уравнение (120), найдем(Qi + QDtyi + (Qt + Q!)+ .
. . + (Q , + QS) &q, = 0.Так как все 6qlt 6qt, . . ., bq, между собой независимы, точение6 равенство может выполняться тогда и только тогда,каждый из коэффициентов при bqu 6qt, . . . , 6qs в отдельностинулю, в чем убеждаемся, рассуждая так же, как при выводенений (117). Следовательно, должно бытьQ i + Q j = 0,Q* + QJ = 0, . . . , Q , + Q? = 0.полукогдаравенурав(123)Полученными уравнениями можно непосредственно пользоваться для решения задач динамики. Однако процесс составления этихуравнений значительно упростится, если выразить все входящиесюда обобщенные силы инерции через кинетическую энергию системы.
Преобразуем сначала соответствующим образом величинуQJ. Поскольку сила инерции любой из точек системы F t = — mhali=~ — mhdvh/dt, то первая из формул (122) дает024)Чтобы выразить QJ через кинетическую энергию системы, надо преобразовать правую часть равенства (124) так, чтобы она содержалатолько скорости уточек системы. С этой целью заметим преждевсего, что<| 2 5 >В справедливости равенства (125) легко убедиться, продифференцировав произведение, стоящее справа в скобках. Дальнейшеепреобразование осуществляется с помощью следующих двух равенств:«7 idqiиМ\дЯ1/(126)fy iДокажем сначала справедливость первого из них.
Так как согласно (106) rfc= 7 fc((/x, qt, . . . , qs), то“ _= S?k ' , д~к •д7к •дйк _ д Г кСправедливость второго из равенств (126) следует из того, чтооперации полного дифференцирования По t и частного по qt переместительны, т. е.d ( дгк\д ( dr*\ dvkd t K d q J - дЯ1\ ~ З г ) ~ dqiПодставив теперь величины (126) в равенство (120), получимdy* д7к __ й_ ( - dvk\d<"a?id rV *'^ /-dvk* ’ a?tА ( 1 д Л \ _ 1 ffll<м\2а£/TJffT*377и формула (124), есть учесть, чтосумма производных равна производной от суммы, a w|=wj, примет видdq 'где 7 '= 2 т Ли|/2 — кинетическая энергия системы.Аналогичные выражения получатся для всех остальных обобщенных сил инерции.
В результате равенства (123) дадут окончательно(127)Уравнения (127) и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравненияхЛагранжа*. Число этих уравнений, как видим, равно числу степеней свободы системы.Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простойметод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количествател (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того,как эти тела движутся; определяется число уравнений Лагранжатолько числом степеней свободы системы.
Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений (127) входят обобщенные активные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранееисключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.Основная задача динамики в обобщенных координатах состоитв том, чтобы, зная обобщенные силы Qlt Qa, .
. ., Qs и начальныеусловия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определитьобобщенные координаты qu qt, . . ., qs как функции времени. Таккак кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей q{,то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по tв левых частях этих уравнений йоявятся вторые производные повремени qt от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат quЯг..........ЯзС л у ч а й п о т е н ц и а л ь н ы х с и л .
Если действующие насистему силы потенциальные, то, используя формулы (115), можно*Уравнения Лагранжа могут применяться для изучения движения любыхмеханических систем с геометрическими (точнее с голономными) связями. Для изучения движения Неголономных систем (см. § 137) используются другие.уравнения,которые в данном курсе не рассматриваются.378первое из уравнений (127) представить в виде-/" 1 \d /\*7i/в Г + ЭПя оdqi д<>1ИЛИd Г д (Г -П )-]« LdotJ'д ( Т - П)dqt=0.Последнее равенство справедливо потому, что потенциальнаяэнергия П зависит только от координат qlt qt, . .
., qs, а от обобщенных скоростей не зависит и dTl/dq^O.Аналогично преобразуются все остальные уравнения системы(127). Введем функцию1 = Г — П.(128)Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей,равная разности между кинетической и потенциальной энергиямисистемы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом.
Тогда в случае потенциальных сил уравнения Лагранжапримут видй_/ d L \ _ dL__ п*^ / i ‘" U J’d / dL\dL=0 ,дЧ>d /dL \dL(129)QИз полученного результата следует, что состояние механическойсистемы, на которую действуют потенциальные силы, определяетсязаданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движениясистемы.При соответствующем обобщении понятий, функции, аналогичные функции Лагранжа, описывают состояние других физическихсистем (непрерывной среды, гравитационного или электромагнш-ного поля и др.) Поэтому уравнения Лагранжа вида (129) играютважную роль в ряде областей физики.§ 146. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧУравнениями Лагранжа, как уже указывалось, можно пользоваться для изучения движения любой механической системы сгеометрическими или сводящимися к геометрическим (голономными)связями, независимо от того, сколько тел (или точек) входит всистему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное илиотносительное) рассматривается.Чтобы для данной механической системы составить уравненияЛагранжа, надо: 1) установить число степеней свободы системыи выбрать обобщенные координаты (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
