1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Следовательно, в этой задаче F (q )= F (у )— Jа =—const ио = У ^ = т /* /3 .(а)Далее, согласно формуле (133) и соотношениям (б) и (в), полученным в задаче182,c = ( - ^ r ) o= (ci + c>) h* — mgl/2( с > 0).(б)Следовательно, по формулам (136)т / 6 (с, + с,) h * -3 m g i* - У ----------ш * ---------2лТ==т-Задача 184. Механическая система состоит из весомых стержней / , 2 и диска 3,имеющих оси вращения в точках Ot, 0 JV О, соответственно и связанных друг с другом невесомыми стержнями АВ и D E (в точках A , B ,D , Е шарниры).
В положении,показанном на рис. 373, системанаходится в равновесии; при этомстержень 7 вертикален (прикрепленная к его концу А горизонтальная пружина имеет удлинение Хст),а стержень 2 — горизонтален (прикрепленная к его концу D вертикальная пружина не деформирована). Длины стержней равны 1Х и lt ,массы — mt и лц, масса диска —-г-от*, коэффициенты жесткости пружин — Cj и с,.Определить; 1) значение Хст;2) условие устойчивости равновесия системы; 3) частоту и период еесобственных колебаний,.Р е щ е н и е. Выберем в качестве обобщенной координаты системы малыйугол фх отклонения стержня I от равновесного положения.
При таком отклонении,очевидно, &sa= & sg = 6 sg =Следовательно,и /УРз==^1<Р1 * где гз —радиус диска. Кроме того, удлинение горизонтальной пружины X1= A ct+ A s >( ===Xct4_/i9 i. а удлинение вертикальной пружины Л ,= А5д = M >j= ii<Pi• Тогда дляпотенциальной энергии системы, принимая во внимание формулы (64) и (64')391из § 127, получим значениеI*'= mig ^ cos <pi + mtg A sta ф ,+ Ц- ( X „ + 1 ^ ) * + - y l[ ф!или, полагая сое фх= 1—ф*/2 , sin ф2= ф 2 и учитывая, что / 2ф1= ЛФ1 •n = n 0 + (mIg - )- 2 c 1XcT)ф1 -Ь [2 (ci-|-ct) lx— mjg]ф*(все постоянные величины включены в По).
Отсюда находим("»r f+ 2cj Хст)+ [ 2 (сх + с2) к — mrf]щ.В положении равновесия, т. е. при Ф1= 0 , эта производная должна равнятьсянулю. Следовательно, должно быть /n jg+ 2 c 1XCT= 0 илиkcr = — mtg/(2ci)i(а)Таким образом, в положении равновесия пружина сжата на эту величину. Далееполучим=12 (Cl + с,) /х- mig]дф1.1Тогда, согласно условиям (130), заключаем, что равновесие будет устойчивым,если2 (c i+ c s)/ 1> m 1g.(б)Кроме того, из равенства (133) следует, что квазиупругий коэффициентс = [ 2 (с1+ с ^ / 1— mjgl^/2 .(в)Для кинетической энергии системы получим значение'т 1 (2 т **Лг 1 т * - ‘ д Лт= ~*2 (( -з-'1ф1+I -т з>- ‘1аф4+—г>фзJ.Т —где mxiil3, т 2/|/3, mtr\l2 — моменты инерции тел 1 , 2 , 3 относительно их осей вращения; ф1, <ps, ф, — угловые скорости этих тел.
Но из найденных выше зависимостей между ф! , фх и ф3, фх следует, что /гфа= / 1ф1 и /',ф ,= / 1фх. Тогда, учтя еще равенство (132), получим:Г = т ( ‘Т + ' Т + 1 г ) / ’ ,»>* и а = ( 2"11 + 2« » + 3т* ) 4 -(г)При найденных значениях с и а формулы (136) дают;*=/V6 (ci Н~сг) h — 3/nxg(2/7ii-)-2m 2+3/ns) lx ’2лк 's 149. МАЛЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯСИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫКак и в § 148, будем считать, что рассматриваемая механическаясистема при <7=0 находится в положении устойчивого равновесия.Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще вдвух случаях.1.З а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я .
Пусть на точки системы,когда она выведена из равновесного положения, кроме потенциальных сил начинают действовать еще силы вязкого сопротивления392(диссипативные силы) Fh= —цЛок= — щ (drh/dq)q*. Тогда обобщенную диссипативную силу <?я можно найти по формуле (109) из § 143и преобразовать окончательно [подобно тому, как это сделано в§ 148 при получении равенства (132)] к виду<?д= — м(ц — const).(138)Теперь, составляя уравнение ЛагранжаT t (% )-w + zr=Q*(139)и заменяя в нем Т, П и Qa их значениями (132), (133), (138), получим окончательно следующее дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы:q - f 2bq + k*q = 0,(140)где обозначено)i/a = 2b,с/а — к*.(140')Уравнение (140) совпадает с уравнением (76) из § 95.
Следовательно, для малых колебаний системы с одной степенью свободыимеют место все результаты, полученные в § 95 для точки. Такимобразом:а) при к > Ь система совершает затухающие колебания с частотой______= У к *— Ь* и периодом т = 2я/Лх;б) при k^Jb система совершает неколебательное движение.Закон движения системы дают во всех случаях уравнения,полученные в § 95, если в них заменить х на q.
Общие свойстваэтих движений аналогичны отмеченным в § 148.2.В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я - Пусть на точки механической системы, рассмотренной в п. 1, действуют еще возмущающие силы, изменяющиеся со временем по закону Ftl= F ll<)sinpt.Тогда, по аналогии с тем путем, который указан в п. 1 для определения Qa, можно найти обобщенную возмущающую силуQ, = Qt s\npt.(141)В итоге в правой части уравнения Лагранжа (139) добавится ещесила Q, и из него окончательно получится следующее дифференциальное уравнейие вынужденных колебаний системы:q + 2bq + k*q=* Р t sin pt,гдеP t = Qja\(142)остальные обозначения указаны в равенствах (140'),Уравненйе (142) совпадает с уравнением (91) из § 96. Следовательно, все результаты, полученные в § 96 для точки, имеют место*На условия устойчивости равновесия (130) эти силы не влияют, так какпри равновесии и *= 0 , а следовательно, н f * = 0 .393и для малых колебаний системы с одной степенью свободы, а соответствующие уравнения будут определять закон движения системы,если в них заменить х на q.
Эго относится и к результатам; полученным в § 96 для случая отсутствия сопротивления (Ь—0), и ковсем рассмотренным в § 96 свойствам вынужденных колебаний.В частности, резонанс при малом сопротивлении будет тоже иметьместо, когда pa?k.| ISO. МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯСТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫКолебания Системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные практические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свободы рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особенностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями свободы.Пусть положение системы определяется обобщенными координатами qit qtи при <h= ? 2= 0 система находится в устойчивом равновесии.
Тогда кинетическуюи потенциальную энергии системы, с точностью до квадратов малых величин можно найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде:^*= '2 {ви $ '+ 2 * и ? 1 ? » + в | » Й );(143)П = П« + -2 - (cn7x-)-2fit7i7i + Ctjvl),(144)где инерционные коэффициенты a,t, a ,,, a „ и квазиупругие коэффициенты с,,.си> cii — величины постоянные.
Если воспользоваться двумя уравнениями Лагранжа вида (131) и подставить в них эти значения Т и П, то получим следующ ие дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двуя степенями свободы_+ « « «$ » = 0, 1^ « f l + ***S*+c12l?l+ <*«$« = •• /Будем искать решение уравнений (145) в виде:sin ( « + « ) , ? , = В sin(JM+a),(146)где А , В, к, а — постоянные величины. Подставив эти значения qlt qt в уравнения(148) ■ сократив на sin (M + a ), получим(cn - a u A*)/l‘+ ( c „ —a „**)B = 0 , \(Си—в ц * * М + (с81—в„А *)В = 0 .
/(147)Ч тобы уравнения (147) давали для Аж В решения, отличные от нуля, определитель этой системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты приА я В в уравнениях должны быть пропорциональны, т. е.*ц—Ci,—attk?В_itM(Мв)Отсюда для определенна А* получаем следующее уравнение, называемое уравнениемчастот:(си —<hi**)(c»»—e»*A*)— (сц—ai^*)*==0 .(1^9)К орни hr\ иэ т о г о уравнения вещественны и положительны; это доказывается математически, но мож ет быть обосновано и тем, то иначе кх = ЧЛ ;] и к2 =—tJ/c2 не будут вещественны и уравнения (145) не будут иметь решений вида(146), чего для системы находящейся в устойчивом равновесии, быть не может(после возмущений она должна двигаться вблизи положения qx = q 2= 0).394Определив из (149) к j и к2, найдем две совокупности частных решенийвида (146).
Если учесть, что согласно (148) В = п А , эти решения будут:sin (*!<+<»,).q^ —At sin (k^t -)- a,),sin (^ Z + a ,);q1? —j sin(ktt -f- otj),(150)(151)где nx и n, — значения, которые n получает из (148) при k = k lt и k = k t соответственно.Колебания, определяемые уравнениями (150) и П5П. называются главными колебаниями, а их частоты ^ и ( г 2 - собственными частотами системы. При этом,колебание с частотой к { (всегда меньшей) называют первым главным колебанием,а с частотой kt — вторым главным колебанием.
Числа пх и л,, определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. qt/qt) в каждом из этих колебаний,называют коэффициентами формы.Так как уравнения (145) являются линейными, то суммы частных решений(150) и (151) тоже будут решениями этих уравнений:? , = Л, sin (fc jH -a ^ -M , sin ( V + « « ) .\(152)? * = M i sin ( * i < + « i ) + M i sin ( V + a *MРавенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных A f, А ш, си,сц, определяемых по начальным условиям, дают общее решение ураввеяжй (145)■ определяют закон малых колебаний системы. Эти колебания слагаются из двухглавных колебаний с частотами Лх и А, и не являются гармоначескиаш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
