1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Тогдаон по тележке будетскользить, двигаясь поступательно, и Г , = mau?;/2 = т ,( х —s)’ / 2 .В результате для системыТ=(х — s)*/2.Легко видеть, что первое из уравнений (г) при этом не изменится, а второе, таккак теперь d7Vds=m, (s—х), примет вид s—* = 0 и дает*=*. В результате из первогоуравнения системы (г) находим для ускорения тележки значение a1= f / m 1.Объясняется такой результат тем, что при отсутствии тре"ния тележка не увлекает с собой катка и движется так, как если бы катка на ней вообще не было.Задача 17*.
На барабан / , имеющий радиус R и массу т 1? распределенную поего ободу, намотан тросик, к которому посредством пружины с коэффициентомжесткости с прикреплен груз 2 массой т , (рис. 370; включеfнием такой пружины можно моделировать упругость тросика).К барабану приложена пара сил с моментом М вр. Составитьдля системы уравнения Лагранжа и определить частоту колебаний, сопровождающих движение тел системы.Р е ш е н и е .
У системы две степени свободы. Выберемв качестве обобщенных координат угол <р поворота барабанаи удлинение х пружины (<7i=<p, q2~ x ) . Тогда уравненияЛагранжа будут:d / дТ \AtдТ.( а Г Г ■-5Г”d / ддТТ \\•ЧдТдх ) '(а)Изобразив действующие силы (F и F' — силы упругости пружины; численно F = F '= c x ), найдем сначала Qi и Q,. Сообщаясистеме возможное перемещение, при котором « р > 0 , а х == const, и учтя, что на этом перемещении сумма работ сил Fи F' равна нулю, получим бАх=* (М а9—т&Д)6q>. Для другого независимого возможного перемещения (о х > 0 , ф = const)будет 6 A i= (m tg —сх)6х.
Следовательно,Q i^M gf—mtgR, Qt=mte—cx.fmtgРис. 370(б)Кинетическая энергия системы 7 '= 7 ’ 1+ 7 ' , ) где 7’1= У 1ф*/2, Tt= m tv\!2. В данном случае / 1 = т 1^*, а u ,= u OT+Onep и vt= 'x — R<p. ТогдаТ=+т » ( i — R<f)*/2.383ОтсюдадТ-дфдТ,•дТ„ \= m1Ri<f— mtR (x— R y), - т - = т , (х — Лф),дхдф=4р-=0.(в>дхПодставляя величины (в) н (б) в равенства (а), получим:(m i+mt)R<p— mtx = M t f /R—mtg,(г)— т 2/?ф + mai = rriig— rx.(д)Э то будут искомые уравнения. Сложив их почленно, получим mxR4 = M ^ R —cXiа исключив из этого равенства и равенства (д) R<f, найдем следующее дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, совершаемых с частотой к:* + k*X = l £ k + 8 ' ГДег= Уmi +m atтгт%Абсолютное движение груза происходит по закону s = x —Rф.
Это движение тож$сопровождается колебаниями с частой k. Колебаниями с такой же частотой сопро1вождается и вращение барабана.Задача 180. К оси В однородного катка весом Я, который может кататься безскольжения вдоль горизонтальной плоскости, прикреплен шарнирно однородныйстержень BD длиной / и весом р (рис. 371). Составить дифференциальные уравнения движения системы и найти закон ее малых колебаний, еслив начальный м'мент стержень отклоняют отравновесного положения на малый угол ф( и отпускают без начальной скорости.Решение.Система имеет две степенисвободы.
Выберем в качестве обобщенных координат расстояние х центра цилиндра от его начального положения и угол ф отклонения стержня от вертикали (</i=x, qt= ф).Так как действующие на систему силы потенциальные (силы тяжести), составим для нееуравнения Лагранжа в виде (129):d / dL \dLM \ .d 'x )nd fd L \dL’d<( d q > )*Pn. .*где L = T — П — функция Лагранжа. Потенциальной энергией системы будетП = —р (//2) cos ф.Кинетическая энергия системы Т— Ta tt-\-Tc-t. Значение Тилг для рассматриваемого случая вычислено в задаче 136 (см.
$ 121). Учитывая полученный там результат и формулу (44), а также то, что для стержня J c= M P / l2, получаем:3 Я*,= Т —g Я—,_1 р>1 р/*TC“ T= jч- vg c + -:12g:ФЗдесь vb = x , а i c ^ o i + ^ n t p . где численно »OT=0,5/<p, i'Dep= о д —х; следовательно (рис . 371),vb = /* ф * /4 + х , 4- Лрх cos ф.Окончательно найдем следующее выражение для функции Лагранжа:** +(•**+1*9 со» Ф+ у Ч>* ) + Р jcos ф,откудаdLdLp ( I •З Я +2р • . pi •, P ■\^ . = - ^ т х с° зф + т ф ] .384dLdL, 0;d x'p .•• .I,^ .
» - ^ / х ф8Ш ф -р т 8 1пф.Подставляя эти величины в равенства (а), получим после очевидных сокращенийследующие дифференциальные уравнения движения системы:^ ((З Я + 2р ) х + р /ф c o s ф ] = О,d / •^(.\2••ХСОвф+д- / ф ^ + ^ ф $ 1 п ф+ г81п ф =0.(б).Перейдем теперь к отысканию закона малых колебаний системы. При этом считаем угол ф и смещение х малыми величинами одного и того же порядка малости,т. е. полагаем, что ф = е /, (/), х = е / , (/), где е — малая величина, а / х (f), / .
(t) — некоторые функции от времени (ограниченные вместе с их производными), определяющие закон колебаний. Очевидно, что при этом и скорости ф = е /1(/), x =e/*(Qбудут также малыми величинами порядка е.Чтобы составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы,надо в уравнениях (б) сохранить только члены порядка е, а малые более высокогопорядка отбросить. Для этого в слагаемом р/ф cos ф, которое входит в первое изуравнений, надо положить cos ф = 1, а во втором уравнении принять sin ф = ф ,cos ф = 1 и член хфФ отбросить целиком как имеющий порядок е*. В результатеуравнения (б) примут вид:^ ((З Я + 2 р )х + р /ф ] = 0,^ *+ у /ф )+ « ф = 0 .Отсюда, вычисляя производные, найдем окончательно следующие дифференциальные уравнения малых колебаний рассматриваемой системы:(ЗЯ + 2р) if+ р/ф = 0,х -f- (2//3) <р+ £ ф = 0.(в)Определив из первого уравнения х и подставив его значение во второе уравнение, получимФ + А»Ф = 0 ,(г)гдеЭ(ЗЯ + 2р)6Я + р£IдоwИнтегрируя уравнение (г) и определяя постоянные интегрирования по начальнымусловиям задачи (при / = 0 ф=фв.
<р= 0 ), найдем окончательноф=«Ро cos kt.(е)Интегрируя теперь первое из уравнений (в) и учитывая, что При / = 0 х — 0, х=.0,Ф = Ф о , ф = 0, получим(ЗЯ.+2р)дс+р/ (ф—фо)=0.Замена здесь ф его значением из равенства (е) даетх = = 3,p +(ж )Уравнения (е), (ж) и определяют закон малых колебаний системы. Частота к этихколебаний дается равенством (д).Такой сравнительно простой результат получился в данной задаче потому, чтоздесь Q i= 0. Вообще же, колебания системы с двумя степенями свободы оказываются значительно более сложными и слагаются из колебаний с двумя разными частотами kx v к2 (см. § 150).Задача 181. Составить уравнения движения симметричного гироскопа в формеЛагранжа. Рассмотреть случай медленной прецессии.Р е ш е н и е .
Гироскоп имеет три степени свободы. В качестве обобщенныхкоординат выберем углы Эйлера ф, ф, 6 (см. рис. 172 в § 60). Тогда уравнения Лаг2 5 - ' 870385ранжа будут:d дТAt АрдТ _Зф•’d дТ#FAt ^ду^d дТ♦'дТ _At $W- Q0-' а'Кинетическая эвергня гироскопа определяется формулой (79”) из § 132. Считаем,как всегда, ось Ог направленной по оси симметрии гироскопа. Тогда Jx = J y иf =~2+(б)Чтобы выразить Т в обобщенных координатах, воспользуемся кинематическим! уравнениями Эйлера (см. § 61):wx = ^ s1 n eslii4 p 4 -6 cos ф,<о„=Ч >81пвсозф— ЙЯлф,« ,= ф -(-$ с о 8 0 .И* m i уравненийe>* + ® 5 = + ,s ln *0 + 6, 1coj=(<p-|-ij>cos 0)*.Л ед сп м яя обе эти величины в равенство (б), найдемт = Y V , <** sin* 0 + ё*) + Jt (ф +cos ©)*].Тогда учитывая, что /*(ф -Н £ cos 0 )= У 1ш1, получим:дТ.,/ , ( ф + ч>со*0) = / , ( в „^ = / x^ s i n * 0 + /, o » , cos0 ,дфд7*——= J X6,dQдТ---- = / хф* sin 0 cos 0 —дв9Рл^ -= 0 ;47 jjx=“ 0 ;£hjisin 0.Для подсчета обобщенных сил обратимся к рис.
172. Если координате ф сообщить приращение бф > 0 , то гироскоп совершит элементарный поворот вокруг осиОг. Элементарная работа при таком повороте О.Д|=М*(мр, где М г — главный момент всех действующих сил относительно оси Ог. Следовательно, Q q = M z..Аналогичным путем, учитывая, что при изменении угла ф гироскоп совершаетповорот вокруг оси Ог i, а при изменении угла в — вокруг линии узлов О К,найдем, что Q+ = M Zi, Q e-M 0K.Подставляя все вычисленные величины в равенства (а), получим окончательно следующие дифференциальные уравнения движения Гироскопа в форме Лагранжа:г*"ЗГ•sin* вгде-f- / /*г cos 0) = М r(В)/ х^я1пв СО8в+/»«Вж^К1п0=МОЛ, {» , = ? + $ COS 0.В отличие о т уравнений Эйлера (см. § 132, п.
3) эти уравнения определяютдвижение только симметричного тела, для которого Jx = Jy, но зато онипроще, чем совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера.В частном случае, когда на гироскоп действует только сила тяжести ~Р,приложенная в какой-то точке С на оси Ог (см. рис. 172; точка С на нем непоказана), и расстояние О С —а, а ось Ог, вертикальна, будет М , = 0, М . = 0,M OK~Pawa.Q..гг,С л у ч а й м е д л е н н о й п р е ц е сс и и . Рассмотрим случай, когда <p=Q == const, ф= со= const, 0 = const и П » ш . Тогда первые два из уравнений (в)386дают Л4г = 0 и ^ * , = 0 , а из третьего уравнения, пренебрегая малой величиной, содержащей ф2, находимМ ок=sin 0 .Результат совпадает с тем, который дает элементарная теория гироскопа [см.§ 131, формула (76)].Глава X X X *МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫУСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯОКОЛОПОЛОЖЕНИЯ§ 147.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
