1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (826918), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Свободная материальная точка имеет три степенисвободы (независимыми будут три возможных перемещения вдольтрех взаимно перпендикулярных осей); одновременно положениетйчки определяется тремя независимыми координатами х, у, г и •>•. д.Этот результат оказывается общим, т. е. у механической системы с геометрическими связями число независимых координат, опре*В математике символом «d» обозначается, как известно, дифференциал,а символом «6» обозначают так называемую вариацию функции.359деляющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. Поэтому у такой системы число степеней свободы можно определять как по числу независимых возможных перемещений, так ипо числу независимых координат.
Так, у кривошипно-ползунногомеханизма (см. ниже рис. 356) одна степень свободы (у него одно независимое возможное перемещение, например поворот кривошипаОА, и одна независимая координата, например уголф). У свободного твердого тела шесть степеней свободы (независимых перемещений — три поступательных вдоль координатных осей и три поворота вокруг этих осей, а независимых координат — три координат^полюса и три угла Эйлера).§ 139. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙПерейдем к рассмотрению еще одного принципа механики, который устанавливает общее условие равновесия механической системы.
Под равновесием (см. § 1) мы понимаем то состояние системы, прикотором все ее точки под действием приложенных сил находятся впокое по отношению к инерциальной системе отсчета (рассматриваем так называемое «абсолютное» равновесие). Одновременно будем считать все наложенные на систему связи стационарными испециально это в дальнейшем каждый раз оговаривать не будем.Введем понятие о возможной работе, как об элементарной работе,которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещениемэтой точки. Будем возможную работу активной силы F* обозначатьсимволом 6Л* (6Ла= Р -б л ), а возможную работу реакции N связи —символом 6 A r(6Ar= N фг).Дадим теперь общее определение понятия об идеальных связях,которым мы уже пользовались (см. § 123): идеальными называютсясвязи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любомвозможном перемещении системы равна нулю, т. е.28Л Г*=0.(98)Приведенное в § 123 и выраженное равенством (52) условие идеальности связей, когда они одновременно являются стайионарными, соответствует определению (98), так как при стационарныхсвязях каждое действительное перемещение совпадает с одним извозможных.
Поэтому примерами идеальных связей будут все примеры, приведенные в § 123.Д ля определения необходимого условия равновесия докажем,что если механическая система с идеальными связями находитсяпод действием приложенных сил в равновесии, то при любом возможном перемещении системы должно выполняться равенство26/12 = 0(99)или| •6rk = S F | 6sk cos ak = 0,(99')где a h — угол между силой и возможным перемещением.360Обозначим равнодействующие всех (и внешних, и внутренних)активных сил и реакций связей, действующих на какую-нибудь точку системы Bh, соответственно через F| и Nh.
Тогда, посколькукаждая из точек системы находится в равновесии, Fk+ N k= 0, а следовательно, и сумма работ этих сил при любом перемещении точкиВк будет тоже равна нулю, т. е. 6Л *+бЛ £=0. Составив такие равенства для всех точек системы и сложив их почленно, получим+= 0.Но так как связи идеальные, а бг* представляют собой возможныеперемещения точек системы, то вторая сумма по условию (98) будетравна нулю. Тогда равна нулю и первая сумма, т.
е. выполняетсяравенство (99). Таким образом, доказано, что равенство (99) выражает необходимое условие равновесия системы.Покажем, что это условие является и достаточным, т. е. что еслик точкам механической системы, находящейся в покое, приложитьактивные силы /•*, удовлетворяющие равенству (99), то системаостанется в покое.
Предположим обратное, т. е. что система при этомпридет в движение и некоторые ее точки совершат действительныеперемещения dr*,. Тогда силы F| совершат на этих перемещенияхработу и по теореме об изменении кинетической энергии будет:dr = 2 d /ll(di4S = Fl-dr*),где, очевидно, d7^>0, так как вначале система была в покое; следовательно, и 2di4J>0. Но при стационарных связях действительные перемещения dr* совпадают с какими-то из возможных перемещений 6о, и на этих перемещениях тоже должно быть 26Л £>0,что противоречит условию (99). Таким образом, когда приложенныесилы удовлетворяют условию (99), система из состояния покоявыйти не может и это условие является достаточным условиемравновесия.Из доказанного вытекает следующий п р и н ц и п в о з м о ж н ы х п е р е м е щ е н и й * : для равновесия механической системыс идеальными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любомвозможном перемещении.
системы была равна нулю. Математическисформулированное условие равновесия выражается равенством(99), которое называют также уравнением возможных работ. Эторавенство можно еще представить в аналитической форме (см. § 87):'2l (FixS xk + Fly by„ + Flz 6zll) = О.(100)*В форме, близкой к современной, но без доказательства этот принцип высказал знаменитый математик и механик (швейцарец по происхождению) ИогаинБернулли (1667— 1748). В общем виде принцип впервые сформулировал и доказалЖ.
Лагранж (1788 г.) Обобщение принципа на случай неудерживающих связейбыло дано М.В. Остроградским в работах 1838— 1842 гг.361Принцип возможных перемещений устанавливает общее условиеравновесия механической системы, не требующее рассмотрения равновесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее приидеальных связях исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.f 140. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧПриступая к решению задачи, следут вначале определить числостепеней свободы рассматриваемой системы (в частности, механизма), по числу независимых возможных перемещений или координатсистемы.В плоских механизмах число степеней свободы можно практически определять тай.
Представим себе, что механизм движется. Если, остановив поступательное или вращательное движение какого-нибудь одного звена, мы одновременноостанавливаем весь механизм, то он имеет одну степень свободы. Если после этогочасть механизма может продолжать движение, но, когда затем будет остановленоперемещение какого-нибудь другого звена, механизм остановится, t q о н имеетдве степени свободы и т. д. Аналогично, если определить положение механизмакакой-нибудь координатой и когда она постоянна, механизм не может двигаться — у него одна степень свободы. Если же после этого часть механизма мо^кетдвигаться, то выбирается вторая координата и т.
д.Для решения задачи геометрическим методом, когда системаимеет одну степень свободы, надо: 1 ) изобразить все действующиена систему активные силы; 2) сообщить системе возможное перемещение и показать на чертеже элементарные перемещения 6sh точекприложения сил или углы бф* элементарных поворотов тел, на которые действуют силы (у элементарных перемещений будем на чертеже указывать их модули 6s„, которые непосредственно входят вусловия равновесия); 3) подсчитать элементарные работы всехактивных сил на данном перемещении по формулам;ЬА% =bsk —6sAcos а*или 6ЛJ = m0 (f|) бфА(101)и составить условие (99); 4) установить зависимость между величинами бsfc и бср*, вошедшими в равенство (99), и выразить эти величины через какую-нибудь одну, что для системы с одной степеньюсвободы всегда можно сделать.После замены в равенстве (99) всех величн бsk, 6<ph через однуполучим уравнение, из которого и найдется искомая в задаче величина или зависимость.Зависимости между бsk и 6<pft можно находить: а) из соответствующих геометрических соотношений (задачи 164, 169); б) изкинематических соотношений, считая, что система движется, иопределяя при данном положении системы зависимости междулинейными vh или угловыми <ofc скоростями соответствующих точекили тел системы, а затем полагая 6sh= v kdt, 6<pfc=<ohctt, что справедливо, так как получаемые точками или телами за время dt действительные перемещения будут при стационарных связях однимииз возможных (иначе, здесь можно сразу считать зависимости меж362ду возможными перемещениями такими же, как между соответствующими скоростями, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
